第12講函數(shù)模型及其應(yīng)用1.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A.一次函數(shù)模型B.冪函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型D.對數(shù)函數(shù)模型2.在某種新型材料的研制過程中,實驗人員獲得了一組實驗數(shù)據(jù)(如下表),現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個來近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=log12x3.某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,后3年年產(chǎn)量保持不變,則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是()圖K12-14.已知某種動物的數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y=alog3(x+1),設(shè)這種動物第2年有100只,則到第8年它們發(fā)展到只. 5.擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位:元)由f(m)=1.06×(0.5×m+1)給出,其中m>0,m是不超過m的最大整數(shù)(如3=3,3.9=3,3.01=3),則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為元. 6.如圖K12-2(1)是反映某條公交線路收支差額(即營運所得票價收入與付出成本的差)y與乘客量x之間關(guān)系的圖像.由于目前該條公交線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整的建議,如圖K12-2(2)和圖K12-2(3)所示.圖K12-2給出以下說法:圖(2)的建議是:提高付出成本并提高票價;圖(2)的建議是:降低付出成本但保持票價不變;圖(3)的建議是:提高票價但保持付出成本不變;圖(3)的建議是:提高票價并降低付出成本.其中所有正確說法的序號是()A.B.C.D.7.2018·馬鞍山一檢 某高校為提升科研能力,計劃逐年加大科研經(jīng)費投入.若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費1300萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費開始超過2000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年8.我國為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理,除了應(yīng)征稅收外,還征收附加稅.已知某種酒每瓶的售價為70元,不收附加稅時,每年大約銷售100萬瓶.若每銷售100元國家要征收附加稅x元(即稅率為x%),則每年銷售量將減少10x萬瓶,如果要使每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅不少于112萬元,則x的最小值為()A.2B.6C.8D.109.2018·滁州模擬 將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量y=aent.假設(shè)過5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過mmin甲桶中的水只有a4L,則m的值為()A.5B.8C.9D.1010.某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=C,0<xA,C+B(x-A),x>A.已知某家庭2018年前三個月的煤氣費如下表:月份用氣量煤氣費一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣,則煤氣費為()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元11.如圖K12-3,已知邊長為8米的正方形鋼板被裁去了DEF部分,圖K12-3其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM,使點P在邊DE上,則矩形BNPM面積的最大值為平方米. 12.某公司要購買一批機器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤f(x)(萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位:年,xN+)的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=-x2+18x-25,則每臺機器運轉(zhuǎn)年時,年平均利潤最大,最大年平均利潤為萬元. 13.食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害.為了給消費者提供放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社計劃每年投入200萬元給甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜.根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬元)的關(guān)系滿足P=80+42a,Q=14a+120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收入為f(x)(單位:萬元).(1)求f(50)的值.(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收入最高?14.2018·北京西城區(qū)模擬 某商品每件的成本為9元,售價為30元,一個星期可賣出72件,如果降低價格,銷售量可以增加,且一個星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位:元,0x30)成正比.已知商品單價降低2元時,一個星期多賣出8件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù).(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大?最大利潤是多少?15.2018·合肥模擬 水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液,已知每投放a(0<a4且aR)個單位的營養(yǎng)液,它在水中的濃度y(克/升)隨著時間x(天)變化的函數(shù)關(guān)系式為y=af(x),其中f(x)=3+x3-x(0x2),5-x(2<x5).若多次投放,則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應(yīng)時刻的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)水中營養(yǎng)液的濃度不低于4克/升時,它才能有效.(1)若只投放一次2個單位的營養(yǎng)液,則有效時間最多可能達到幾天?(2)若先投放2個單位的營養(yǎng)液,3天后再投放b個單位的營養(yǎng)液,要使接下來的2天中,營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效,試求b的最小值.7課時作業(yè)(十二)1.A解析 根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知,自變量每增加1,函數(shù)值增加2,因此函數(shù)值的增量是均勻的,故最可能為一次函數(shù)模型.2.B解析 由y隨x的變化趨勢知,函數(shù)在(0,+)上是增函數(shù),且y的增長速度隨x的增大越來越快,又A中函數(shù)增長速度不變,C中函數(shù)是增長速度逐漸變慢的函數(shù),D中函數(shù)是減函數(shù),故排除A,C,D,易知B中函數(shù)y=12(x2-1)最符合題意.3.A解析 前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,說明呈高速增長,只有A,C中的圖像符合要求.又后3年年產(chǎn)量保持不變,故選A.4.200解析 由題意知100=alog3(2+1),a=100,y=100log3(x+1),當(dāng)x=8時,y=100log3(8+1)=100×2=200.5.4.24解析 因為m=6.5,所以m=6,則f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.6.C解析 根據(jù)題意和圖(2)知,兩直線平行即票價不變,直線向上平移說明付出成本變小了,即說明了此建議是降低付出成本但保持票價不變,故中說法正確;由圖(3)看出,付出成本不變,但是直線的傾斜角變大了,也就是說乘客量相同時收入增加了,即票價提高了,說明此建議是提高票價但保持付出成本不變,故中說法正確.故選C.7.B解析 若2018年是第一年,則第n年的科研經(jīng)費為1300×1.12n萬元,由1300×1.12n>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,得n>lg2-lg1.3lg1.123.8,n4,科研經(jīng)費開始超過2000萬元的年份是2021年,故選B.8.A解析 由題意可知,每年此項經(jīng)營中所收取的附加稅為104×(100-10x)×70×x100元,令104×(100-10x)×70×x100112×104,解得2x8.故x的最小值為2.9.A解析5min后甲桶和乙桶的水量相等,函數(shù)y=f(t)=aent,滿足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln12,若再過mmin后甲桶中的水只有a4L,則f(m+5)=14a,即15ln12·(m+5)=ln14,即15ln12·(m+5)=2ln12,解得m=5.故選A.10.A解析 根據(jù)題意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=12,C=4,所以f(x)=4,0<x5,4+12(x-5),x>5,所以f(20)=4+12×(20-5)=11.5.故選A.11.48解析 設(shè)MP=x,PN=y,作PQAF于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4.在EDF中,EQPQ=EFFD,所以x-48-y=42,即y=-12x+10,4x8.設(shè)矩形BNPM的面積為S(x),則S(x)=xy=x10-12x=-12(x-10)2+50,因為函數(shù)S(x)在4,8上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=8時,S(x)有最大值,S(8)=-12×(8-10)2+50=48(平方米).12.58解析 設(shè)每臺機器的年平均利潤為g(x)萬元,根據(jù)已知條件得,每臺機器的年平均利潤g(x)與機器運轉(zhuǎn)時間x的函數(shù)關(guān)系式為g(x)=f(x)x=-x2+18x-25x=18-x+25x,則g(x)=18-x+25x18-2x·25x=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=25x,即x=5時等號成立,則g(x)max=g(5)=8.故每臺機器運轉(zhuǎn)5年時,年平均利潤最大,最大年平均利潤為8萬元.13.解:(1)若甲大棚投入50萬元,則乙大棚投入150萬元.所以f(50)=80+42×50+14×150+120=277.5(萬元).(2)由題知,f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,依題意得x20,200-x20,解得20x180,故f(x)=-14x+42x+250(20x180).令t=x,則t2=x,t25,65,y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,當(dāng)t=82,即x=128時,y取得最大值282,所以投入甲大棚128萬元,乙大棚72萬元時,總收入最高,最高為282萬元.14.解:(1)由題意得82=4,即商品單價每降低x元,則一個星期多賣出4x件.設(shè)一個星期的商品銷售利潤(單位:元)為f(x),則f(x)=(30-x-9)(72+4x)=4(x+18)(-x+21)=4(-x2+3x+378)=-4x2+12x+1512(0x30).(2)由(1)得f(x)=4(-x2+3x+378)=4-x-322+94+378=-4x-322+9+1512=-4x-322+15211521,所以當(dāng)x=32時,f(x)取得最大值1521,此時定價為每件30-32=572=28.5(元),最大銷售利潤為1521元.15.解:(1)營養(yǎng)液有效則需滿足y4,則0x2,2·3+x3-x4或2<x5,2(5-x)4,解得1x2或2<x3,所以1x3,所以營養(yǎng)液有效時間最多可達3天.(2)設(shè)第二次投放營養(yǎng)液x(0x2)天后,第一次投放的營養(yǎng)液的濃度為y1,第二次投放的營養(yǎng)液的濃度為y2,水中的營養(yǎng)液的濃度為y,則y1=25-(x+3)=4-2x,y2=b·3+x3-x,由題意得y=y1+y2=4-2x+b·3+x3-x4在0,2上恒成立,所以b2x·3-x3+x在0,2上恒成立,令t=3+x,t3,5,則b-2t+18t+18在t3,5上恒成立,又-2t+18t+1818-2×2t·18t=18-122,當(dāng)且僅當(dāng)t=18t,即t=32時等號成立,所以b18-122,所以b的最小值為18-122.