培優(yōu)點(diǎn)十三 三視圖與體積表面積 一、三視圖與體積的結(jié)合 例1：某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為），則該幾何體的體積是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三視圖可得該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱（如圖所示）， 其中底面直角梯形的上、下底邊分別為，，高為，直四棱柱的高為， 所以該幾何體的體積為，故選B． 二、三視圖與表面積的結(jié)合 例2：如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個(gè)半圓和 兩個(gè)線段組成，則該幾何體的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三視圖知，該幾何體是一個(gè)大半圓柱挖去一個(gè)小半圓柱得到的， 兩個(gè)半圓柱的底面半徑分別為和，高均為， 所以該幾何體的表面積為． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐后剩余的部分， 畫出直觀圖如圖所示， 設(shè)四棱柱的體積為，圓錐的體積為，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)， 得該幾何體的體積，故選C． 2．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線條畫出的是一個(gè)三棱錐的三視圖，則該三棱錐中最長(zhǎng)棱的 長(zhǎng)度為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖，三棱錐即為所求幾何體， 根據(jù)題設(shè)條件，知輔助的正方體棱長(zhǎng)為，，，，，，，則最長(zhǎng)棱為，長(zhǎng)度為． 3．古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭 制成．一個(gè)“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分（看成一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體）的體積為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體， 其中圓柱的高為，底面圓的半徑為，半球的半徑為， 所以組合體的體積為，故選A． 4．某幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面與底面的面積的比值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三視圖可知，該幾何體是高為的四棱錐，如圖所示，記為． 易知面積最小的面為左側(cè)面，其面積為． 將底面補(bǔ)為梯形，則底面的面積為， 所以面積最小的面與底面的面積的比值為，故選C． 5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，則該幾何體的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱體和一個(gè)球體的四分之一的組合體， 則所求的幾何體的表面積為，故選B． 6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積 為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖可知，該幾何體是由底面半徑為，高為的半圓柱挖去一個(gè)半徑為的半球得到的， 則該幾何體的表面積． 故選B． 7．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 所求幾何體可看作將長(zhǎng)方體截去兩個(gè)三棱柱得到的幾何體，在長(zhǎng)方體中還原該幾何體， 如圖中所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，， 兩個(gè)三棱柱的高為，底面是兩直角邊長(zhǎng)分別為和的直角三角形， 故該幾何體的體積，故選C． 8．某裝飾品的三視圖如圖所示，則該裝飾品的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由裝飾品的三視圖可知，該裝飾品是由一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體， 切去四個(gè)四分之一的圓錐所得的幾何體，其中圓錐的底面半徑為，高為， 則該裝飾品的表面積為，故選C． 9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三視圖知，該幾何體是由棱長(zhǎng)為的正方體截去一個(gè)底面半徑為、高為的圓錐和一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱而得到的， 所以該幾何體的體積，故選C． 10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中闡述：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣”若稱為“陽(yáng)馬”的某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則對(duì)該幾何體描述： ①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形； ②最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為； ③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形； ④外接球的表面積為． 其中正確的個(gè)數(shù)是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 對(duì)于①，由三視圖知“陽(yáng)馬”的直觀圖如圖中四棱錐所示，其中平面， 所以，，，所以，為直角三角形， 結(jié)合，知平面，所以，故為直角三角形， 同理可知為直角三角形，所以“陽(yáng)馬”的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，正確； 對(duì)于②，由三視圖及直觀圖得，，， 連接， 則， 所以“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為，正確； 對(duì)于③，由②的側(cè)棱長(zhǎng)知，側(cè)面四個(gè)直角三角形的斜邊均不相等，所以不存在全等的直角三角形，錯(cuò)誤； 對(duì)于④，考慮將“陽(yáng)馬”補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為、、的長(zhǎng)方體，易知長(zhǎng)方體的外接球即“陽(yáng)馬”的外接球其直徑， 所以“陽(yáng)馬”的外接球的表面積為，正確． 綜上可知，正確的個(gè)數(shù)為，故選D． 11．某工人現(xiàn)欲用車床將一正方體鐵塊進(jìn)行加工處理，加工后成品的三視圖如圖所示．網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則加工后成品與去除部分幾何體的體積比為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三視圖可知，該幾何體為正方體中間挖去一個(gè)圓柱后所得，且正方體的棱長(zhǎng)為，圓柱的底面半徑為，高為， 設(shè)正方體的體積為，圓柱的體積為， 所以加工后成品的體積． 加工后成品與去除部分的體積比為．故選C． 12．某三棱錐的三視圖如圖所示，其中小正方形的邊長(zhǎng)均為．三棱錐上的點(diǎn)在俯視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則線段長(zhǎng)度的最大值為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根據(jù)三視圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中還原該幾何體的直觀圖， 為如圖所示的三棱錐，則點(diǎn)即點(diǎn)在左視圖上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)， 點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)在底面上的投影， 因?yàn)樯系狞c(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為的長(zhǎng)，故線段長(zhǎng)度的最大值為． 二、填空題 13．已知某幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中曲線為四分之一圓弧），則該幾何體的體積為． 【答案】 【解析】由已知三視圖得到幾何體是棱長(zhǎng)為的正方體挖去底面半徑為的圓柱， 正方體的棱長(zhǎng)為，圓柱的體積為，所以幾何體體積為． 14．如圖是某幾何體的三視圖，圖中方格的單位長(zhǎng)度為，則該幾何體的表面積為． 【答案】 【解析】由三視圖還原幾何體如下圖所示， 可得三棱錐，計(jì)算可得，，，，，，，， 為等腰三角形，高為，， 則該幾何體表面積為． 15．一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為． 【答案】 【解析】由已知，半球的直徑為，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為， 所以其體積為． 故答案為． 16．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為． 【答案】 【解析】由題意可知幾何體的直觀圖如圖： 所以幾何體的體積為，故選C． 15