規(guī)范解答集訓(xùn)(六)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式(建議用時：60分鐘)1(2019·洛陽模擬)已知函數(shù)f(x)ex(x22xa)(其中aR，a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)曲線yf(x)在(a，f(a)處的切線為l，當(dāng)a1,3時，求直線l在y軸上截距的取值范圍解(1)f(x)ex(x22xa)ex(2x2)ex(x2a2)，當(dāng)a2時，f(x)0恒成立，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<2時，f(x)0x22ax或x，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)，(，)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞減(2)f(a)ea(a2a)，f(a)ea(a2a2)，所以直線l的方程為yea(a2a)ea(a2a2)(xa)令x0，得截距bea(a3a)，記g(a)ea(a3a)(1a3)，則g(a)ea(a33a2a1)，記h(a)a33a2a1(1a3)，則h(a)3a26a1<0(1a3)，所以h(a)在1,3上單調(diào)遞減，所以h(a)h(1)2<0，所以g(a)<0，即g(a)在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，所以g(3)g(a)g(1)，即截距的取值范圍是24e3,02(2019·武漢調(diào)研)已知mR，函數(shù)f(x)ln x2x2mx1，g(x)3x22mx(m21)ln x1.(1)若f(x)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若m0為g(x)f(x)恒成立時m取到的最大值，求mm0時曲線yf(x)在x1處的切線方程解(1)令f(x)4xm0(x>0)，得4x2mx10(x>0)若m0，此時4x2mx10(x>0)恒成立；若m>0，有m2160，即0<m4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，4(2)若g(x)f(x)恒成立，即F(x)g(x)f(x)x2mxm2ln x0恒成立，F(xiàn)(x)2xm(x>0)，若m>0，則x(0，m)時，F(xiàn)(x)<0，x(m，)時，F(xiàn)(x)>0，故F(x)，F(xiàn)(x)隨x的變化如表，x(0，m)m(m，)F(x)0F(x)極小值F(x)minF(m)m2ln m0，即m1，故0<m1；若m<0，則當(dāng)x時，F(xiàn)(x)取得最小值，F(xiàn)(x)minFm2ln0，即ln0，2em<0，根據(jù)題意，此時可以不予考慮；若m0，則F(x)x20恒成立由m0為g(x)f(x)恒成立時m取到的最大值，知m01.當(dāng)mm01時，f(x)ln x2x2x1，f(1)2，即切點(diǎn)為(1,2)，又f(x)4x1，f(1)4，所以切線的斜率為4，故所求的切線方程為y4x2.3已知函數(shù)f(x)ax22(a1)x2ln x，a(0，)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若a4，證明：對任意的x2，都有f(x)<ex(x1)axln x成立(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718 28)解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax2(a1)，當(dāng)a(0,1)時，f(x)在(0,1)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a1時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a(1，)時，f(x)在和(1，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)當(dāng)a4時，即證4x26x3ln xex(x1)，x2，設(shè)g(x)4x26x3ln xex(x1)(x2)，則g(x)8x6xex.令h(x)8x6xex，則h(x)8(x1)ex<8(x1)ex83e2<0，h(x)在2，)上單調(diào)遞減，h(x)8x6xexh(2)1662e22e2<0，即g(x)<0在2，)上恒成立，g(x)在2，)上單調(diào)遞減，g(x)4x26x3ln xex(x1)g(2)16123ln 2e2<43e27e2<0，原不等式恒成立4已知函數(shù)f(x)x2(a1)xaln x.(1)當(dāng)a<1時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若不等式f(x)(a1)xxa1e對于任意xe1，e成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)x(a1).若0<a<1，則當(dāng)0<x<a或x>1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a<x<1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減若a0，則當(dāng)0<x<1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)在(a,1)上單調(diào)遞減，在(0，a)和(1，)上單調(diào)遞增(2)原題等價(jià)于對任意x，有aln xxae1成立，設(shè)g(x)aln xxa，x，則g(x)maxe1.g(x)axa1，令g(x)<0，得0<x<1；令g(x)>0，得x>1.函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減，在(1，e上單調(diào)遞增，g(x)max為gaea與g(e)aea中的較大者設(shè)h(a)g(e)geaea2a(a>0)，則h(a)eaea2>220，h(a)在(0，)上單調(diào)遞增，故h(a)>h(0)0，g(e)>g，從而g(x)maxg(e)aea.aeae1，即eaae10.設(shè)(a)eaae1(a>0)，則(a)ea1>0，(a)在(0，)上單調(diào)遞增又(1)0，滿足eaae10的a的取值范圍為(，1a>0，a的取值范圍為(0,15已知函數(shù)f(x)x3x2ax2的圖象過點(diǎn)A.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)f(x)2m3有3個零點(diǎn)，求m的取值范圍解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3x2ax2的圖象過點(diǎn)A，所以4a4a2，解得a2，即f(x)x3x22x2，所以f(x)x2x2.由f(x)>0，得x<1或x>2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(，1)，(2，)(2)由(1)知f(x)極大值f(1)22，f(x)極小值f(2)242，由數(shù)形結(jié)合(圖略)，可知要使函數(shù)g(x)f(x)2m3有三個零點(diǎn)，則<2m3<，解得<m<.所以m的取值范圍為.6(2019·開封模擬)已知函數(shù)f(x)aln xx22x.(1)當(dāng)a4時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)yf(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，求證：<ln 2.解(1)a4時，f(x)4ln xx22x，x(0，)，f(x)，x(0，)，令f(x)>0，解得x>2，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)，令f(x)<0，解得0<x<2，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)(2)f(x)，x(0，)，設(shè)g(x)2x22xa，若f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2，則g(x)0在(0，)上有兩個不同的根x1，x2，可得0<a<，a2x2(1x2)，又0<x1<x2，<x2<1，x212x2ln x2，設(shè)h(x)x12xln x，<x<1，h(x)2ln x<0，h(x)在上單調(diào)遞減，h(x)<h2ln ln 2，<ln 2.- 5 -