1專題專題 1313導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1 1）研究函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)單調(diào)性一一、【知識(shí)精講】【知識(shí)精講】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.二二、【典例精練】【典例精練】考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例 1】已知函數(shù)f(x)ax3x2(aR R)在x43處取得極值.(1)確定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax22x，因?yàn)閒(x)在x43處取得極值，所以f43 0，即 3a432243 16a3830，解得a12.(2)由(1)得g(x)12x3x2ex，故g(x)12x(x1)(x4)ex.令g(x)0，即x(x1)(x4)0，解得1x0 或x0，得單調(diào)遞增區(qū)間；(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得單調(diào)遞減區(qū)間.2.若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，用“，”與“和”連接.2考點(diǎn)二討論函數(shù)的單調(diào)性【例 2】(2017全國(guó)卷改編)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x，其中參數(shù)a0.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)0，求a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，則f(x)e2x，在(，)上單調(diào)遞增.若a0，則由f(x)0，得xlna2.當(dāng)x，lna2時(shí)，f(x)0.故f(x)在，lna2上單調(diào)遞減，在區(qū)間 lna2，上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a0 時(shí)，f(x)e2x0 恒成立.若aa2e34時(shí)，f(x)0.綜上，a的取值范圍是2e34，0.【解法小結(jié)】1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).2.個(gè)別導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在x0 時(shí)取到)，f(x)在 R R 上是增函數(shù).考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用多維探究角度 1比較大小或解不等式【例31】(1)已知函數(shù)yf(x)對(duì)于任意的x0，2 滿足f(x)cosxf(x)sinx1lnx，其中f(x)3是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是()A.2f3 f4C.2f6 3f4D.3f3 f6(2)已知函數(shù)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)1e，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有f(x)f(x)0，設(shè)F(x)f（x）ex，則不等式F(x)1e2的解集為()A.(，1)B.(1，)C.(1，e)D.(e，)【答案】(1)B(2)B【解 析】(1)令g(x)f（x）cosx，則g(x)f（x）cosxf（x）（sinx）cos2x1lnxcos2x.由0 x0，解得1ex2；由0 x2，g（x）0，解得 0 x4，所以g3 g4，所以f3cos3f4cos4，即2f3 f4.(2)F(x)f(x)exexf(x)(ex)2f(x)f(x)ex，又f(x)f(x)0，知F(x)0，F(xiàn)(x)在 R R 上單調(diào)遞減.由F(x)1，所以不等式F(x)1e2的解集為(1，).角度 2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例 32】（2019 全國(guó)卷 III）已知函數(shù)32()22f xxax.（1）討論()f x的單調(diào)性；（2）當(dāng) 0a0，則當(dāng)(,0),3ax 時(shí)，()0fx；當(dāng)0,3ax時(shí)，()0fx故()f x在(,0),3a單調(diào)遞增，在0,3a單調(diào)遞減；若a=0，()f x在(,)單調(diào)遞增；若a0，f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.4.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對(duì)x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.三三、【名校新題】【名校新題】1.(2019青島月考)函數(shù)f(x)cosxx在(0，)上的單調(diào)性是()A.先增后減B.先減后增C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減【答案】D【解析】易知f(x)sinx1，x(0，)，則f(x)0，所以f(x)cosxx在(0，)上遞減.2.(2019福州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)x312x在區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.k3 或1k1 或k3B.不存在這樣的實(shí)數(shù)kC.2k2D.3k1 或 1k3【答案】D6【解析】由f(x)x312x，得f(x)3x212，令f(x)0，解得x2 或x2，只要f(x)0 的解有一個(gè)在區(qū)間(k1，k1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(k1，k1)上就不單調(diào)，則k12k1 或k12k1，解得3k1 或 1k3.3.(2019淄博桓臺(tái)月考)若函數(shù)f(x)kxlnx在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A.(，2B.12，C.2，)D.，12【答案】B【解析】由于f(x)k1x，f(x)kxlnx在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞增，等價(jià)于f(x)k1x0 在(2，)上恒成立，由于k1x，而 01x2，則f(x)2x4 的解集為()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.(，)【答案】B【解析】由f(x)2x4，得f(x)2x40，設(shè)F(x)f(x)2x4，則F(x)f(x)2，因?yàn)閒(x)2，所以F(x)0 在 R 上恒成立，所以F(x)在 R 上單調(diào)遞增.又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40 等價(jià)于F(x)F(1)，所以x1.5(2019百校聯(lián)盟聯(lián)考)若函數(shù)f(x)ex(sinxa)在區(qū)間2，2 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A 2，)B(1，)C(2，)D1，)【答案】D【解析】由題意知f(x)ex(sinxcosxa)0 在區(qū)間2，2 上恒成立，即a 2sinx4 在區(qū)間2，2 上恒成立，x44，34，sinx4 22，1，2sinx4 2，71)，a1，故選 D.6.(2019惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)xsinxcosxx2，則不等式f(lnx)fln1x2f(1)的解集為()A.(e，)B.(0，e)C.0，1e(1，e)D.1e，e【答案】D【解析】f(x)xsinxcosxx2是偶函數(shù)，所以fln1xf(lnx)f(lnx).則原不等式可變形為f(lnx)f(1)f(|lnx|)0，得x0 時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.|lnx|11lnx11ex0，解得a3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，0)(0，).8.若函數(shù)f(x)13x312x22ax在23，上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是_.【答案】19，【解析】對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(x)x2x2ax122142a.當(dāng)x23，時(shí)，f(x)的最大值為f23 292a.令292a0，解得a19.所以a的取值范圍是19，.9.(2016全國(guó)卷改編)若函數(shù)f(x)x13sin 2xasinx在(，)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_.【答案】13，138【解析】f(x)123cos 2xacosx123(2cos2x1)acosx43cos2xacosx53，f(x)在 R 上單調(diào)遞增，則f(x)0 在 R 上恒成立.令 cosxt，t1，1，則43t2at530 在1，1上恒成立，即 4t23at50 在t1，1上恒成立.令g(t)4t23at5，則g（1）43a50，g（1）43a50，解得13a13.10.已知函數(shù)f(x)x4axlnx32，其中aR，且曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線y12x.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)14ax21x，由f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線y12x知f(1)34a2，解得a54.(2)由(1)知f(x)x454xlnx32(x0).則f(x)x24x54x2.令f(x)0，且x0，x5(x1 舍去).當(dāng)x(0，5)時(shí)，f(x)5 時(shí)，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(5，)，減區(qū)間為(0，5).11.(2019成都七中檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)ax2alnx，g(x)1xeex，其中aR，e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x1 時(shí)，g(x)0.【解析】(1)解由題意得f(x)2ax1x2ax21x(x0).當(dāng)a0 時(shí)，f(x)0 時(shí)，由f(x)0 有x12a，當(dāng)x0，12a時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.(2)證明令s(x)ex1x，則s(x)ex11.當(dāng)x1 時(shí)，s(x)0，所以s(x)s(1)，即 ex1x，從而g(x)1xeexe（ex1x）xex0.12.(2019昆明診斷)已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)12ax22x.(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1，4上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】h(x)lnx12ax22x，x0.h(x)1xax2.(1)若函數(shù)h(x)在(0，)上存在單調(diào)減區(qū)間，則當(dāng)x0 時(shí)，1xax21x22x有解.設(shè)G(x)1x22x，所以只要aG(x)min.又G(x)1x121，所以G(x)min1.所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，).(2)由h(x)在1，4上單調(diào)遞減，當(dāng)x1，4時(shí)，h(x)1xax20 恒成立，則a1x22x恒成立，設(shè)G(x)1x22x，所以aG(x)max.又G(x)1x121，x1，4，因?yàn)閤1，4，所以1x14，1，所以G(x)max716(此時(shí)x4)，所以a716.又當(dāng)a716時(shí)，h(x)1x716x2（7x4）（x4）16x，x1，4，h(x)（7x4）（x4）16x0，10當(dāng)且僅當(dāng)x4 時(shí)等號(hào)成立.h(x)在1，4上為減函數(shù).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是716，.13.（2019 全國(guó)卷 II）已知函數(shù) 11lnxf xxx.（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線exy 的切線.【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，1），（1，+）單調(diào)遞增因?yàn)閒（e）=e 110e 1，22222e1e3(e)20e1e1f，所以f（x）在（1，+）有唯一零點(diǎn)x1，即f（x1）=0又1101x，1111111()ln()01xfxf xxx ，故f（x）在（0，1）有唯一零點(diǎn)11x綜上，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)（2）因?yàn)?ln01exx，故點(diǎn)B（lnx0，01x）在曲線y=ex上由題設(shè)知0()0f x，即0001ln1xxx，故直線AB的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx曲線y=ex在點(diǎn)001(ln,)Bxx處切線的斜率是01x，曲線lnyx在點(diǎn)00(,ln)A xx處切線的斜率也是01x，所以曲線lnyx在點(diǎn)00(,ln)A xx處的切線也是曲線y=ex的切線14.（2019 全國(guó)卷 III）已知函數(shù)32()2f xxaxb.11（1）討論()f x的單調(diào)性；（2）是否存在,a b，使得()f x在區(qū)間0,1的最小值為1且最大值為 1？若存在，求出,a b的所有值；若不存在，說明理由.【解析】（1）2()622(3)fxxaxxxa令()0fx，得x=0 或3ax.若a0，則當(dāng)(,0),3ax 時(shí)，()0fx；當(dāng)0,3ax時(shí)，()0fx故()f x在(,0),3a單調(diào)遞增，在0,3a單調(diào)遞減；若a=0，()f x在(,)單調(diào)遞增；若a0，則當(dāng),(0,)3ax 時(shí)，()0fx；當(dāng),03ax時(shí)，()0fx故()f x在,(0,)3a單調(diào)遞增，在,03a單調(diào)遞減.（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在.（i）當(dāng)a0 時(shí)，由（1）知，()f x在0，1單調(diào)遞增，所以()f x在區(qū)間0，l的最小值為(0)=fb，最大值為(1)2fab.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)1b ，21ab，即a=0，1b （ii）當(dāng)a3 時(shí)，由（1）知，()f x在0，1單調(diào)遞減，所以()f x在區(qū)間0，1的最大值為(0)=fb，最小值為(1)2fab此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)21ab，b=1，即a=4，b=1（iii）當(dāng) 0a3 時(shí)，由（1）知，()f x在0，1的最小值為3327aafb，最大值為b或2ab若3127ab，b=1，則33 2a，與 0a3 矛盾.12若3127ab，21ab，則3 3a 或3 3a 或a=0，與 0a3 矛盾綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，1b 或a=4，b=1 時(shí)，()f x在0，1的最小值為1，最大值為 1