考點(diǎn)規(guī)范練31基本立體圖形一、基礎(chǔ)鞏固1.下列說法正確的是()A.棱柱的兩個底面是全等的正多邊形B.平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形C.直棱柱正棱柱D.正四面體正三棱錐2.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面,則該圓錐的母線與軸所成的角為()A.30°B.45°C.60°D.90°3.在一個密閉透明的圓柱形桶內(nèi)裝一定體積的水,將該圓柱形桶分別豎直、水平、傾斜放置時,圓柱形桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何體形狀不可能是()A.圓面B.矩形面C.梯形面D.橢圓面或部分橢圓面4.過半徑為2的球的一條半徑的中點(diǎn),作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積與球的體積的比為()A.932B.916C.38D.3165.中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載:“今有羨除”.劉徽注:“羨除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”現(xiàn)有一個羨除如圖所示,四邊形ABCD、ABFE、CDEF均為等腰梯形,ABCDEF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個羨除的體積是()A.110B.116C.118D.1206.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()(注:尺是中國古代計量單位,1米=3尺)A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.已知球的半徑為2,相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓.若兩圓的公共弦長為2,則兩圓的圓心距等于()A.2B.3C.2D.18.已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)均在某球面上,PC為該球的直徑,ABC是邊長為4的等邊三角形,三棱錐P-ABC的體積為163,則此三棱錐的外接球的表面積為()A.163B.403C.643D.8039.點(diǎn)A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC=6,ABC=90°,若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為()A.2B.4C.8D.1610.在如圖所示的直觀圖中,四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2 cm,則在直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形ABCO的形狀為,面積為 cm2. 11.(2018天津,文11)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為. 12.如圖,在四邊形ABCD中,DAB=90°,ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,若四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周成為幾何體.(1)求該幾何體的體積;(2)求出該幾何體的表面積.二、能力提升13.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=3,ASC=BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為()A.33B.23C.3D.114.現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱,它的體對角線長為9和15,高是5,則該直四棱柱的側(cè)面積為. 15.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為. 16.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.三、高考預(yù)測17.若一個四面體的四個側(cè)面是全等的三角形,則稱這樣的四面體為“完美四面體”,現(xiàn)給出四個不同的四面體AkBkCkDk(k=1,2,3,4),記AkBkCk的三個內(nèi)角分別為Ak,Bk,Ck,其中一定不是“完美四面體”的為()A.A1B1C1=357B.sin A2sin B2sin C2=357C.cos A3cos B3cos C3=357D.tan A4tan B4tan C4=357考點(diǎn)規(guī)范練31基本立體圖形1.D解析選項A中兩個底面全等,但不一定是正多邊形;選項B中一般的棱柱不能保證側(cè)棱與底面垂直,即截面是平行四邊形,不一定是矩形;選項C中正棱柱直棱柱,故A,B,C都錯;選項D中,正四面體是各條棱均相等的正三棱錐,故正確.2.A解析設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的半徑為r,則圓錐底面周長為12×2r=r,設(shè)底面半徑為r',則2r'=r,r'=12r.圓錐的母線長為側(cè)面展開圖的半徑r,設(shè)該圓錐的母線與軸所成的角為,則sin=r'r=12,=30°.3.C解析將圓柱形桶豎放,水面為圓面;將圓柱形桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱形桶水平放置,水面為矩形面,所以圓柱形桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何體形狀不可能是梯形面,故選C.4.A解析R=2,設(shè)截面圓M的半徑為r,則R2=14R2+r2,r2=3.所得截面的面積與球的體積比為r243R3=932,故選A.5.D解析過點(diǎn)A作APCD,AMEF,過點(diǎn)B作BQCD,BNEF,垂足分別為P,M,Q,N,將一側(cè)的幾何體放到另一側(cè),組成一個三棱柱,底面積為12×10×3=15,棱柱的高為8,V=15×8=120.故選D.6.B解析設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h.米堆底部弧長為8尺,14·2R=8,R=16.體積V=14×13·R2h=112××162×5.3,V3209(立方尺).堆放的米約為3209×1.6222(斛).7.B解析設(shè)兩圓的圓心分別為O1,O2,球心為O,公共弦為AB,其中點(diǎn)為E,則OO1EO2為矩形,于是對角線O1O2=OE,而OE=OA2-AE2=22-12=3,O1O2=3.故選B.8.D解析依題意,記三棱錐P-ABC的外接球的球心為O,半徑為R,點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,則由VP-ABC=13SABCh=13×34×42×h=163,得h=43.又PC為球O的直徑,因此球心O到平面ABC的距離等于12h=23.又正三角形ABC的外接圓半徑為r=AB2sin60°=43,因此R2=r2+232=203,三棱錐P-ABC的外接球的表面積等于4R2=803,選D.9.D解析由題意,知SABC=3,設(shè)ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點(diǎn),當(dāng)DQ與面ABC垂直時,四面體ABCD的最大體積為13SABC·DQ=3,DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,R=2,則這個球的表面積為S=4×22=16.故選D.10.矩形8解析由斜二測畫法的特點(diǎn)知該平面圖形是一個長為4cm,寬為2cm的矩形,所以四邊形ABCO的面積為8cm2.11.13解析正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,V四棱錐A1-BB1D1D=V正方體-V三棱錐A1-ABD-V三棱柱BCD-B1C1D1=1-13×12×1×1×1-12×1×1×1=13.12.解(1)如圖所示,過點(diǎn)C作CEAD的延長線于點(diǎn)E,作CFAB于點(diǎn)F.由已知得,DE=2,CE=2,CF=4,BF=5-2=3.BC=CF2+BF2=5.故該平面圖形繞AD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓臺AE除去圓錐DE.其中圓臺AE的體積V1=3(AB2+CE2+AB·CE)·AE=3(52+22+5×2)×4=52.圓錐DE的體積V2=3×EC2×DE=3×22×2=83.故所求幾何體的體積V=V1-V2=52-83=1483.(2)由(1)知,幾何體的表面由圓臺AE的下底面、側(cè)面,圓錐DE的側(cè)面構(gòu)成.圓臺AE的下底面圓的面積S1=25,圓臺AE的側(cè)面積S2=×(2+5)×5=35,圓錐DE的側(cè)面積S3=×2×22=42,故所求幾何體的表面積S=S1+S2+S3=(60+42).13.C解析如圖,過A作AD垂直SC于D,連接BD.由于SC是球的直徑,所以SAC=SBC=90°.又ASC=BSC=30°,又SC為公共邊,所以SACSBC.由于ADSC,所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13SABD·SC.由于在RtSAC中,ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=23.由于AD=SA·CASC=3.同理在RtBSC中也有BD=SB·CBSC=3.又AB=3,所以ABD為正三角形.所以VS-ABC=13SABD·SC=13×12×(3)2·sin60°×4=3,所以選C.14. 160解析如圖,設(shè)底面對角線AC=a,BD=b,交點(diǎn)為O,對角線A1C=15,B1D=9,a2+52=152,b2+52=92,a2=200,b2=56.該直四棱柱的底面是菱形,AB2=AC22+BD22=a2+b24=200+564=64,AB=8.直四棱柱的側(cè)面積S=4×8×5=160.15. 415解析如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知ODBC,OG=36BC.設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5-x,三棱錐的高h(yuǎn)=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.因為SABC=12×23x×3x=33x2,所以三棱錐的體積V=13SABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5.令f(x)=25x4-10x5,x0,52,則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在2,52單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(2)=80.所以V3×80=415,所以三棱錐體積的最大值為415.16.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即9779也正確.17.B解析若sinA2sinB2sinC2=357,由正弦定理可得,B2C2A2C2A2B2=357,設(shè)B2C2=3x,A2C2=5x,A2B2=7x,因為“完美四面體”的四個側(cè)面是全等的三角形,D2A2=3x,D2B2=5x,D2C2=7x.把該四面體的頂點(diǎn)當(dāng)成長方體的四個頂點(diǎn),四條棱當(dāng)作長方體的四條面對角線,則長方體面上的對角線長為3x,5x,7x,設(shè)長方體的棱長為a,b,c,則a2+b2=9x2,b2+c2=25x2,a2+c2=49x2,方程組無解,即這樣的四面體不存在,四個側(cè)面不全等,故D2A2B2C2一定不是完美四面體,故選B.10