第71練 橢圓的幾何性質(zhì) 基礎(chǔ)保分練1.橢圓1的離心率是_.2.(2019·宿遷模擬)過(guò)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若F1PF260°，則橢圓的離心率為_.3.已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(1，0)，F(xiàn)2(1,0)，點(diǎn)A是直線xy20上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，則橢圓C的離心率的最大值為_.4.已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，若SABC3SBCF2，則橢圓的離心率為_.5.已知圓C1：x22cxy20，圓C2：x22cxy20，橢圓C：1(a>b>0)，若圓C1，C2都在橢圓內(nèi)，且圓C1，C2的圓心分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是_.6.(2018·江蘇如東中學(xué)月考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，離心率為，M是橢圓上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，則直線MF1的斜率為_.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若該橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得F1F2P為等腰三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是_.8.(2019·江蘇省如東中學(xué)測(cè)試)橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，AFBF，ABF，則橢圓的離心率的取值范圍為_.9.若橢圓x21的一條弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在直線的方程是_.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，若BAOBFO90°，則橢圓的離心率是_.能力提升練1.若AB是過(guò)橢圓1(a>b>0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且AM，BM與兩坐標(biāo)軸均不平行，kAM，kBM分別表示直線AM，BM的斜率，則kAM·kBM_.2.(2018·南京質(zhì)檢)直線yx與橢圓C：1(a>b>0)交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_.3.已知P在橢圓1(a>b>0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，()·()0，且F1PF2的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率e_.4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則PMPF1的最大值為_.5.(2018·鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C與y軸的交點(diǎn)，若以F1，F(xiàn)2，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形一定不可能為鈍角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是_.6.如圖所示，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，離心率為，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，若SPF1ASPF1F221，則直線PF1的斜率為_.答案精析基礎(chǔ)保分練1.2.3.4.解析橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，將xc代入橢圓方程可得y±，可設(shè)A，C(x，y)，由SABC3SBCF2，可得2，即有2(xc，y)，即2c2x2c，2y，可得x2c，y，代入橢圓方程可得1.又e，b2a2c2，所以4e2e21，解得e.5.6.±解析由離心率為可得，可得，即ba，因?yàn)镸F2與x軸垂直，故點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為c，故1，解得y±±a，則M，直線MF1的斜率為kMF1±±×2±.7.解析橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得F1F2P為等腰三角形，6個(gè)不同的點(diǎn)有兩個(gè)為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，另外四個(gè)分別在第一、二、三、四象限，且上下對(duì)稱左右對(duì)稱，設(shè)P在第一象限，PF1>PF2，當(dāng)PF1F1F22c時(shí)，PF22aPF12a2c，即2c>2a2c，解得e>，又因?yàn)閑<1，所以<e<1；當(dāng)PF2F1F22c時(shí)，PF12aPF22a2c，即2a2c>2c且2c>ac，解得<e<.綜上，<e<1或<e<.8.解析B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為F，根據(jù)橢圓定義知，AFAF2a，又BFAF，AFBF2a，O是RtABF的斜邊中點(diǎn)，AB2c，又AF2csin，BF2ccos，代入得2csin2ccos2a，即e.，sin1，e.9.12x3y50解析設(shè)該弦與橢圓相交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，y1y2，由點(diǎn)平分弦AB可得x1x2，y1y2.由得4，即kAB4，故所求直線的方程為12x3y50.經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程滿足題意.10.解析BAOBFO90°，BAOFBO，tanBAOtanFBO，即，得b2ac，a2c2ac，即e2e10，0<e<1，e.能力提升練1.2.1解析以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，也必過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，以這兩個(gè)焦點(diǎn)及A，B兩點(diǎn)可作一個(gè)矩形，直線yx的傾斜角為120°，所以矩形的寬是c，長(zhǎng)是c，由橢圓定義知矩形的長(zhǎng)寬之和等于2a，即cc2a，所以e1.3.解析由橢圓的性質(zhì)，可知O為F1F2的中點(diǎn)，所以，由()·()0及()·()0，得|，所以F1PF290°.設(shè)PF1m<PF2，則由橢圓的定義，可得PF22aPF12am，而F1F22c.因?yàn)镕1PF2的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，所以2PF2PF1F1F2，即m2c2(2am)，解得m(4a2c)，即PF1(4a2c).所以PF22a(4a2c)(2a2c).又F1PF290°，所以F1FPFPF，即22(2c)2.整理得5a22ac7c20，解得ac或ac(舍去).則e.4.15解析由橢圓方程可得a5，b4，c3.F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，如圖所示，由橢圓的定義可得PF1PF22a10，PMPF1PM2aPF210(PMPF2)10MF21015，則PMPF1的最大值為15.故答案為15.5.解析因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C與y軸的交點(diǎn)，以F1，F(xiàn)2，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形一定不可能為鈍角三角形，所以F1PF290°，所以tanOPF21，所以1，cb，c2a2c2,2c2a2，即，又0<e<1，所以0<e.6.解析由，得a2c.設(shè)直線PF1的斜率為k(k>0)，則直線PF1的方程為yk(xc).因?yàn)镾PF1ASPF1F221，即SPF1A2SPF1F2，即·PF1·2×·PF1·，所以|kcb|4|kc|，解得b3kc(舍去)或b5kc.又因?yàn)閍2b2c2，即a225k2c2c2，所以4c225k2c2c2，解得k2，又k>0，所以k.7