考點(diǎn)測(cè)試68坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考概覽考綱研讀1了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況2了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化3能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程4了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義5能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程一、基礎(chǔ)小題1參數(shù)方程為(0t5)的曲線為()A線段 B雙曲線的一支C圓弧 D射線答案A解析化為普通方程為x3(y1)2，即x3y50，由于x3t222，77，故曲線為線段故選A2直線(t為參數(shù))的傾斜角為()A30° B60° C90° D135°答案D解析將直線參數(shù)方程化為普通方程為xy10，其斜率k1，故傾斜角為135°故選D3在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作圓4sin的切線，則切線的極坐標(biāo)方程是()Asin2 Bcos2Csin2 Dcos2答案B解析4sin的直角坐標(biāo)方程為x2y24y0，即x2(y2)24，而點(diǎn)化為直角坐標(biāo)是(2，2)，過(guò)(2，2)作圓的切線，其方程為x2，即cos2故選B4在極坐標(biāo)系中，過(guò)圓6cos的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為_(kāi)答案cos3解析把6cos兩邊同乘，得26cos，所以圓的普通方程為x2y26x0，即(x3)2y29，圓心為(3，0)，故所求直線的極坐標(biāo)方程為cos35在極坐標(biāo)系中，直線sin2被圓4所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)答案4解析分別將直線與圓的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為xy20，x2y216，則圓心O到直線xy20的距離d2，半弦長(zhǎng)為2，所以弦長(zhǎng)為46在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C1的極坐標(biāo)方程為(cossin)2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)答案(2，4)解析曲線C1的直角坐標(biāo)方程為xy2，曲線C2的普通方程為y28x，由得所以C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，4)二、高考小題7(2018·北京高考)在極坐標(biāo)系中，直線cossina(a>0)與圓2cos相切，則a_答案1解析由可將直線cossina化為xya0，將2cos，即22cos化為x2y22x，整理成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y21又直線與圓相切，圓心(1，0)到直線xya0的距離d1，解得a1±，a>0，a18(2018·天津高考)已知圓x2y22x0的圓心為C，直線(t為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則ABC的面積為_(kāi)答案解析由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y21，直線的直角坐標(biāo)方程為xy20，則圓心到直線的距離d，由弦長(zhǎng)公式可得|AB|2×，則SABC××9(2017·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓22cos4sin40上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，則|AP|的最小值為_(kāi)答案1解析由22cos4sin40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圓心坐標(biāo)為C(1，2)，半徑長(zhǎng)為1點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)P在圓C外又點(diǎn)A在圓C上，|AP|min|PC|121110(2017·天津高考)在極坐標(biāo)系中，直線4cos10與圓2sin的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案2解析由4cos10得2cos2sin10，故直線的直角坐標(biāo)方程為2x2y10由2sin得22sin，故圓的直角坐標(biāo)方程為x2y22y，即x2(y1)21圓心為(0，1)，半徑為1圓心到直線2x2y10的距離d1，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)三、模擬小題11(2018·北京通州月考)下面直線中，平行于極軸且與圓2cos相切的是()Acos1 Bsin1 Ccos2 Dsin2答案B解析由2cos得22cos，即x2y22x，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y21，所以圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1與x軸平行且與圓相切的直線方程為y1或y1，則極坐標(biāo)方程為sin1或sin1，所以選B12(2018·合肥調(diào)研)已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，當(dāng)圓心C到直線kxy40的距離最大時(shí)，k的值為()A B C D答案D解析C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)21，圓心C(1，1)，又直線kxy40過(guò)定點(diǎn)A(0，4)，故當(dāng)CA與直線kxy40垂直時(shí)，圓心C到直線的距離最大，kCA5，k，k選D一、高考大題1(2018·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos30(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解(1)由xcos，ysin，得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24(2)由(1)知C2是圓心為A(1，0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線，曲線C1的方程為y記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)綜上，所求C1的方程為y|x|22(2018·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytan·x2tan，當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1t20又由得t1t2，故2cossin0，于是直線l的斜率ktan23(2018·全國(guó)卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21當(dāng)時(shí)，l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，記tank，則l的方程為ykxl與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<1或k>1，即，或，綜上，的取值范圍是，(2)l的參數(shù)方程為t為參數(shù)，<<設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin10于是tAtB2sin，tPsin又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)，<<4(2017·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)若a1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a解(1)曲線C的普通方程為y21當(dāng)a1時(shí)，直線l的普通方程為x4y30由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，(2)直線l的普通方程為x4ya40，故C上的點(diǎn)(3cos，sin)到l的距離為d當(dāng)a4時(shí)，d的最大值為由題設(shè)得，所以a8；當(dāng)a4時(shí)，d的最大值為由題設(shè)得，所以a16綜上，a8或a165(2017·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos4(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0)由題設(shè)知|OP|，|OM|1由|OM|·|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos(>0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos·22當(dāng)時(shí)，S取得最大值2所以O(shè)AB面積的最大值為2二、模擬大題6(2018·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)21以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為(cossin)5(1)求圓C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)在圓上找一點(diǎn)A，使它到直線l的距離最小，并求點(diǎn)A的極坐標(biāo)解(1)x2(y1)21即x2y22y0因?yàn)?x2y2，siny，所以圓C的極坐標(biāo)方程為22sin，即2sin(cossin)5即cossin5，因?yàn)閏osx，siny，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為yx5(2)曲線C：x2(y1)21是以C(0，1)為圓心，1為半徑的圓設(shè)圓上點(diǎn)A(x0，y0)到直線l：yx5的距離最短，所以圓C在點(diǎn)A處的切線與直線l：yx5平行即直線CA與l的斜率的乘積等于1，即×()1因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，所以x(y01)21，聯(lián)立可解得x0，y0或x0，y0所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，或，又由于圓上點(diǎn)A到直線l：yx5的距離最小，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的極徑為，極角滿足tan且為第一象限角，則可取所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，7(2019·福建福州四校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線C2的方程為yx以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求解(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x2)2(y2)21，則C1的極坐標(biāo)方程為24cos4sin70，由于直線C2過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為，故其極坐標(biāo)方程為(R)(2)由得2(22)70，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為1，2，則1222，127，8(2018·河南鄭州二模)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為cosa，且l過(guò)點(diǎn)A，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值；(2)過(guò)點(diǎn)B(1，1)與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點(diǎn)，求|BM|·|BN|的值解(1)由直線l過(guò)點(diǎn)A可得cosa，故a，易得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得曲線C1上的點(diǎn)(2cos，sin)到直線l的距離d，其中sin，cos，dmax(2)由(1)知直線l的傾斜角為，直線l1的參數(shù)方程為y(t為參數(shù))又易知曲線C1的普通方程為1，把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得t27t50，設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，t1t2，依據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM|·|BN|t1t2|9(2018·山西太原二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過(guò)點(diǎn)P(a，1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，aR)，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos0(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值解(1)C1的參數(shù)方程為消參得普通方程為xya10，C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos0，兩邊同乘得2cos24cos20，得y24x所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y24x(2)曲線C1的參數(shù)方程可轉(zhuǎn)化為(t為參數(shù)，aR)，代入曲線C2：y24x，得t2t14a0，由()24××(14a)>0，得a>0，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由|PA|2|PB|得|t1|2|t2|，即t12t2或t12t2，當(dāng)t12t2時(shí)，解得a；當(dāng)t12t2時(shí)，解得a，綜上，a或10(2018·河北衡水中學(xué)模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程是，在以極點(diǎn)為原點(diǎn)O，極軸為x軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度)的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程；(2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值解(1)C1的極坐標(biāo)方程是，4cos3sin24，4x3y240，故C1的直角坐標(biāo)方程為4x3y240曲線C2的參數(shù)方程為x2y21，故C2的普通方程為x2y21(2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)N(2cos，2sin)，則點(diǎn)N到曲線C1的距離d其中滿足tan當(dāng)sin()1時(shí)，d有最小值，所以|MN|的最小值為11