專題能力訓練15直線與圓一、能力突破訓練1.已知直線l1:x+3y-7=0與直線l2:kx-y-2=0,若直線l1,l2與x軸、y軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則k的值等于()A.-3B.3C.-6D.62.已知三點A(1,0),B(0,3),C(2,3),則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.53B.213C.253D.433.直線y=kx+3與圓(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N兩點,若|MN|23,則實數k的取值范圍是()A.-,-125B.-,-125C.-,125D.-,1254.(2019河南八市重點高中聯考,7)已知直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=2相交于A,B兩點,則“k=1”是“AOB=120°”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.(2018全國,文15)已知直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|=. 6.(2019浙江“七彩陽光”聯盟聯考,14)公元前3世紀,古希臘數學家阿波羅尼斯(Apollonius)在平面軌跡一書中,曾研究了眾多的平面軌跡問題,其中有如下結果:平面內到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓,后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中,已知點A(-2,0), B(2,0),則滿足|PA|=2|PB|的點P的軌跡的圓心為,面積為. 7.(2019北京,文11)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,則以點F為圓心,且與l相切的圓的方程為. 8.已知P是拋物線y2=4x上的動點,過P作拋物線準線的垂線,垂足為M,N是圓(x-2)2+(y-5)2=1上的動點,則|PM|+|PN|的最小值是. 9.在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線x-3y=4相切.(1)求O的方程;(2)若O上有兩點M,N關于直線x+2y=0對稱,且|MN|=23,求直線MN的方程;(3)設O與x軸相交于A,B兩點,若圓內的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數列,求PA·PB的取值范圍.10.已知O:x2+y2=4,點A(3,0),以線段AB為直徑的圓內切于O,記點B的軌跡為.(1)求曲線的方程;(2)直線AB交O于C,D兩點,當B為CD的中點時,求直線AB的方程.11.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若OM·ON=12,其中O為坐標原點,求|MN|.二、思維提升訓練12.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關系是()A.內切B.相交C.外切D.相離13.(2018全國,文8)已知直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則ABP面積的取值范圍是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,3214.(2019云南保山一模,15)已知坐標原點為O,過點P(2,6)作直線2mx-(4m+n)y+2n=0(m,n不同時為零)的垂線,垂足為M,則|OM|的取值范圍是. 15.在平面直角坐標系中,當P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為P'yx2+y2,-xx2+y2;當P是原點時,定義P的“伴隨點”為它自身.現有下列命題:若點A的“伴隨點”是點A',則點A'的“伴隨點”是點A;單位圓上的點的“伴隨點”仍在單位圓上;若兩點關于x軸對稱,則它們的“伴隨點”關于y軸對稱;若三點在同一條直線上,則它們的“伴隨點”一定共線.其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號) 16.在平面直角坐標系xOy中,已知C1:(x+3)2+(y-1)2=4和C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直線l過點A(4,0),且被C1截得的弦長為23,求直線l的方程;(2)設P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與C1和C2相交,且直線l1被C1截得的弦長與直線l2被C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標.17.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).(1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程;(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;(3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ,求實數t的取值范圍.專題能力訓練15直線與圓一、能力突破訓練1.B解析由題意可知直線l1,l2的斜率分別為kl1=-13,kl2=k.因為直線l1,l2與x軸、y軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,所以直線l1,l2互相垂直.所以kl1·kl2=-1,即-13·k=-1,解得k=3.2.B解析由題意知,ABC外接圓的圓心是直線x=1與線段AB垂直平分線的交點,設為P,而線段AB垂直平分線的方程為y-32=33x-12,它與x=1聯立得圓心P坐標為1,233,則|OP|=12+2332=213.3.B解析當|MN|=23時,在弦心距、半徑和半弦長構成的直角三角形中,可知圓心(1,-2)到直線y=kx+3的距離為4-(3)2=1,即|k+5|1+k2=1,解得k=-125.若使|MN|23,則k-125.4.A解析圓心(0,0)到直線l:y=kx+1的距離為d=11+k2.若AOB=120°,則有11+k2=2·12,解得k2=1,即k=±1.若k=1,則AOB=120°但AOB=120°,則k=-1或k=1,故選A.5.22解析圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=|0-(-1)+1|2=2,所以弦長|AB|=2r2-d2=24-2=22.6.103,0649解析設P(x,y),|PA|=2|PB|,(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,即(x+2)2+y2=4(x-2)2+4y2,化簡可得x-1032+y2=649.故圓心坐標為103,0,面積為649.7.(x-1)2+y2=4解析在拋物線y2=4x中,2p=4,p=2,焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1,以點F為圓心,且與x=-1相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.8.26-1解析拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),圓(x-2)2+(y-5)2=1的圓心為C(2,5),根據拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離,進而推斷出當P,C,F三點共線時,點P到點C的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值為|FC|=(2-1)2+(5-0)2=26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=26-1.9.解(1)依題意,O的半徑r等于原點O到直線x-3y=4的距離,即r=41+3=2.所以O的方程為x2+y2=4.(2)由題意,可設直線MN的方程為2x-y+m=0.則圓心O到直線MN的距離d=|m|5.由垂徑定理,得m25+(3)2=22,即m=±5.所以直線MN的方程為2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)設P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比數列,得(x+2)2+y2·(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因為PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),且點P在O內,所以x2+y2<4,x2-y2=2.由此得y2<1.所以PA·PB的取值范圍為-2,0).10.解(1)設AB的中點為M,切點為N,連接OM,MN,則|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A關于y軸的對稱點A',連接A'B,則|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以點B的軌跡是以A',A為焦點,長軸長為4的橢圓.其中,a=2,c=3,b=1,故曲線的方程為x24+y2=1.(2)因為B為CD的中點,所以OBCD,則OBAB.設B(x0,y0),則x0(x0-3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=23,y0=±23.則kOB=±22,kAB=2,則直線AB的方程為y=±2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.解(1)由題設,可知直線l的方程為y=kx+1.因為l與C交于兩點,所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范圍為4-73,4+73.(2)設M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由題設可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.二、思維提升訓練12.B解析圓M的方程可化為x2+(y-a)2=a2,故其圓心為M(0,a),半徑R=a.所以圓心到直線x+y=0的距離d=|0+a|12+12=22a.所以直線x+y=0被圓M所截弦長為2R2-d2=2a2-22a2=2a,由題意可得2a=22,故a=2.圓N的圓心N(1,1),半徑r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,顯然R-r<|MN|<R+r,所以兩圓相交.13.A解析設圓心到直線AB的距離d=|2+0+2|2=22.點P到直線AB的距離為d'.易知d-rd'd+r,即2d'32.又AB=22,SABP=12·|AB|·d'=2d',2SABP6.14.5-5,5+5解析根據題意,直線2mx-(4m+n)y+2n=0,即m(2x-4y)-n(y-2)=0,則有2x-4y=0,y-2=0,解得x=4,y=2,則直線恒過定點(4,2).設點Q(4,2),又MP與該直線垂直,且M為垂足,則點M的軌跡是以PQ為直徑的圓,其方程為(x-3)2+(y-4)2=5.所以5-5|OM|5+5,即|OM|的取值范圍是5-5,5+5.15.解析對于,若令P(1,1),則其伴隨點為P'12,-12,而P'12,-12的伴隨點為(-1,-1),而不是P,故錯誤;對于,令單位圓上點的坐標為P(cosx,sinx),其伴隨點為P'(sinx,-cosx)仍在單位圓上,所以正確;設A(x,y)與B(x,-y)為關于x軸對稱的兩點,則A的“伴隨點”為A'yx2+y2,-xx2+y2,B點的伴隨點為B'-yx2+y2,-xx2+y2,A'與B'關于y軸對稱,故正確;對于,取直線l:y=1.設其“伴隨曲線”為C,其上任一點M(x,y),與其對應的直線l上的點為N(t,1).則由定義可知x=1t2+1,y=-tt2+1,2+2得x2+y2=1+(-t)2(t2+1)2=11+t2=x,整理得x2+y2-x=0,顯然不是一條直線.故錯誤.所以正確的序號為.16.解(1)設直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂徑定理,得圓心C1到直線l的距離d=22-2322=1.由點到直線距離公式,得|-3k-1-4k|k2+1=1,化簡,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.當k=0時,直線l的方程為y=0;當k=-724時,直線l的方程為y=-724(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直線l的方程為y=0或7x+24y-28=0.(2)設點P坐標為(m,n),直線l1,l2的方程分別為y-n=k(x-m)和y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+1km=0.直線l1被C1截得的弦長與直線l2被C2截得的弦長相等,兩圓半徑相等,由垂徑定理得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等.|-3k-1+n-km|k2+1=-4k-5+n+1km1k2+1,化簡,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.關于k的方程有無窮多解,2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0.解得m=52,n=-12或m=-32,n=132.故點P坐標為52,-12或-32,132.17.解圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.(1)由圓心N在直線x=6上,可設N(6,y0).因為圓N與x軸相切,與圓M外切,所以0<y0<7,于是圓N的半徑為y0,從而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圓N的標準方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因為直線lOA,所以直線l的斜率為4-02-0=2.設直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離d=|2×6-7+m|5=|m+5|5.因為BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)設P(x1,y1),Q(x2,y2).因為A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.將代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓x-(t+4)2+(y-3)2=25上,從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共點,所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,實數t的取值范圍是2-221,2+221.12