第61講數(shù)學歸納法 1.若f(n)=1+12+13+16n-1(nN*),則f(1)的值為()A.1B.15C.1+12+13+14+15D.以上答案都不正確2.用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,在第二步時,正確的證法是()A.假設(shè)n=k(kN*)時命題成立,證明n=k+1時命題成立B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))時命題成立,證明n=k+1時命題成立C.假設(shè)n=2k+1(kN*)時命題成立,證明n=k+1時命題成立D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))時命題成立,證明n=k+2時命題成立3.2018·仙桃期末 已知n為正整數(shù),用數(shù)學歸納法證明f(n)=1+3+5+(2n-1)=n2時,假設(shè)n=k(kN*)時命題為真,即f(k)=k2成立,則當n=k+1時,需要用到的f(k+1)與f(k)之間的關(guān)系式是()A.f(k+1)=f(k)+2k-3B.f(k+1)=f(k)+2k-1C.f(k+1)=f(k)+2k+1D.f(k+1)=f(k)+2k+34.對任意nN*,34n+2+a2n+1都能被14整除,則最小的自然數(shù)a=. 5.用數(shù)學歸納法證明“1+12+13+12n-1<n(n>1,nN*)”,由n=k(k>1,kN*)時不等式成立,推證n=k+1時,左邊應(yīng)增加的項的項數(shù)是. 6.2018·商丘期末 某個命題與正整數(shù)有關(guān),若當n=k(kN*)時該命題成立,那么推得當n=k+1時該命題成立.現(xiàn)已知當n=8時,該命題不成立,那么可推得()A.當n=7時,該命題成立B.當n=7時,該命題不成立C.當n=9時,該命題成立D.當n=9時,該命題不成立7.2018·嘉峪關(guān)期中 用數(shù)學歸納法證明“5n-2n(nN*)能被3整除”的第二步中,n=k+1時,為了使用假設(shè),應(yīng)將5k+1-2k+1變形為()A.5(5k-2k)+3×2kB.(5k-2k)+4×5k-2kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-3×5k8.對于不等式n2+n<n+1(nN*),某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下:(1)當n=1時,12+1<1+1,不等式成立.(2)假設(shè)當n=k(kN*)時,不等式k2+k<k+1成立,那么當n=k+1時,(k+1)2+k+1=k2+3k+2<(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1,所以當n=k+1時,不等式成立.則上述證法()A.過程全部正確B.n=1的驗證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確9.已知1+2×3+3×32+4×33+n×3n-1=3n(na-b)+c對一切nN*都成立,則a,b,c的值為()A.a=12,b=c=14B.a=b=c=14C.a=0,b=c=14D.不存在這樣的a,b,c10.用數(shù)學歸納法證明“1+2+3+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)”時,由n=k(k>1,kN)等式成立,推證n=k+1時,左邊應(yīng)增加的項為. 11.2018·紹興期末 用數(shù)學歸納法證明(1+a)n>1+na,其中a>-1,a0,n是大于1的自然數(shù).12.2017·淄博質(zhì)檢 設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足當f(k)k+1,kN*成立時,總能推出f(k+1)k+2成立,那么下列說法正確的是()A.若f(1)<2成立,則f(10)<11成立B.若f(3)4成立,則當k1時,均有f(k)k+1成立C.若f(2)<3成立,則f(1)2成立D.若f(4)5成立,則當k4時,均有f(k)k+1成立13.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個區(qū)域,則f(n)的表達式為. 4課時作業(yè)(六十一)1.C解析 等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù),且分母最大為6n-1,則當n=1時,分母最大為5,故選C.2.D解析A,B,C中,n=k+1不一定表示正奇數(shù),只有D中k為正奇數(shù),k+2為正奇數(shù).故選D.3.C解析 用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+2n-1=n2時,假設(shè)n=k(kN*)時,命題成立,即f(k)=1+3+5+(2k-1)=k2,則當n=k+1時,f(k+1)=1+3+5+(2k-1)+(2k+1),需要用到的f(k+1)與f(k)之間的關(guān)系式是f(k+1)=f(k)+2k+1.4.5解析 當n=1時,36+a3能被14整除,則a=3或5.當a=3且n=2時,310+35不能被14整除,故a3.檢驗可知a=5滿足題意.5.2k解析 由n=k(k>1,kN*)到n=k+1時,不等式左邊增加的項為12k+12k+1+12k+1-1,共增加了(2k+1-1)-(2k-1)=2k項.6.B解析 由題意可知,原命題對n=8不成立,則原命題對n=7也不成立,否則,n=7時命題成立,由已知推得n=8時命題也成立,與當n=8時該命題不成立矛盾.7.A解析 假設(shè)n=k(kN*)時命題成立,即5k-2k能被3整除.當n=k+1時,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.8.D解析n=1的驗證及歸納假設(shè)都正確,但從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設(shè),而通過不等式的放縮法直接證明,不符合數(shù)學歸納法的證題要求.故選D.9.A解析等式對一切nN*均成立,當n=1,2,3時等式成立,即1=3(a-b)+c,1+2×3=32(2a-b)+c,1+2×3+3×32=33(3a-b)+c,整理得3a-3b+c=1,18a-9b+c=7,81a-27b+c=34,解得a=12,b=c=14.故選A.10.(2k+2)+(2k+3)解析 用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,當n=1時,左邊是1+2+3;假設(shè)n=k時,等式成立,左邊為1+2+3+(2k+1),則當n=k+1時,左邊為1+2+3+(2k+1)+(2k+2)+2(k+1)+1,從n=k到n=k+1時,左邊需增加的項是(2k+2)+(2k+3).11.證明:(1)當n=2時,(1+a)2=1+2a+a2>1+2a,不等式成立.(2)假設(shè)n=k(k2,kN)時,不等式成立,即(1+a)k>1+ka,則當n=k+1時,(1+a)k+1=(1+a)k(1+a)>(1+ka)(1+a)=1+a(k+1)+ka2>1+(k+1)a,即n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,(1+a)n>1+na成立.12.D解析 當f(k)k+1成立時,總能推出f(k+1)k+2成立,說明如果當k=n,nN*時,f(n)n+1成立,那么當k=n+1時,f(n+1)n+2也成立,所以如果當k=4時,f(4)5成立,那么當k4時,f(k)k+1也成立.故選D.13.n2+n+22解析1條直線將平面分成1+1=2(個)區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4(個)區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7(個)區(qū)域n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+n)=1+n(n+1)2=n2+n+22(個)區(qū)域.