第60講 直接證明與間接證明 1.2018·菏澤模擬 命題“對(duì)于任意角,cos4-sin4=cos2”的證明過(guò)程“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos2”應(yīng)用了()A.分析法B.綜合法C.綜合法與分析法結(jié)合使用D.放縮法2.2018·唐山模擬 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列說(shuō)法,其中正確的個(gè)數(shù)為()(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0;a>b與a<b及ac中至少有一個(gè)成立;ac,bc,ab不能同時(shí)成立.A.0B.1C.2D.33.分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”時(shí),索的因應(yīng)是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<04.已知實(shí)數(shù)a,b,x,y滿(mǎn)足a2+b2=1,x2+y2=3,則ax+by的最大值為. 5.給出下列條件:ab>0;ab<0;a>0,b>0;a<0,b<0.其中能使ba+ab2成立的條件的序號(hào)是. 6.2018·陜西澄城模擬 用分析法證明:欲使A>B,只需C<D,這里是的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)f(x)=12x,a,b是正實(shí)數(shù),A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,則A,B,C的大小關(guān)系為()A.ABCB.ACBC.BCAD.CBA8.2018·三明期末 用反證法證明命題“已知p3+q3=2,求證:p+q2”時(shí),可假設(shè)“p+q>2”;證明命題“若x2=4,則x=-2或x=2”時(shí),可假設(shè)“x-2或x2”.以下結(jié)論正確的是()A.與的假設(shè)都錯(cuò)誤B.與的假設(shè)都正確C.的假設(shè)正確,的假設(shè)錯(cuò)誤D.的假設(shè)錯(cuò)誤,的假設(shè)正確9.2018·焦作期中 用分析法證明不等式(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)時(shí),最后得到的一個(gè)顯然成立的命題是()A.(ac+bd)20B.a2+b20C.(ad-bc)20D.c2+d2010.2018·臨沂期末 “若x>0,y>0且x+y>2,求證1+xy<2,1+yx<2中至少有一個(gè)成立.”用反證法證明這個(gè)命題時(shí),下列假設(shè)正確的是()A.假設(shè)1+xy>2,1+yx>2B.假設(shè)1+xy2,1+yx2C.假設(shè)1+xy和1+yx中至多有一個(gè)不小于2D.假設(shè)1+xy和1+yx中至少有一個(gè)不小于211.給出下面三個(gè)不等式:(1)a2+b2+c2ab+bc+ac;(2)a(1-a)14;(3)ba+ab2;其中恒成立的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)12.比較大小:8-5 10-7.13.設(shè)a,b,c,d都是小于1的正數(shù),求證:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)這四個(gè)數(shù)不可能都大于1.5課時(shí)作業(yè)(六十)1.B解析 綜合法的基本思路是“由因?qū)Ч?由已知走向求證,即從已知條件出發(fā),經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理,最后達(dá)到待證結(jié)論.故本題證明的過(guò)程應(yīng)用了綜合法.2.B解析假設(shè)等式成立,則需a=b=c,不合題意,故錯(cuò)誤;假設(shè)全部不成立,則可知a=b=c,不合題意,所以正確;令a=1,b=2,c=3,可得ac,bc,ab同時(shí)成立,所以錯(cuò)誤.故選B.3.C解析 由題意知要證b2-ac<3a,只需證b2-ac<3a2,即證(a+c)2-ac<3a2,只需證a2+2ac+c2-ac-3a2<0,只需證-2a2+ac+c2<0,即證2a2-ac-c2>0,只需證(a-c)(2a+c)>0,即證(a-c)(a-b)>0.4.3解析 不妨設(shè)a=sin,b=cos,x=3sin,y=3cos,則ax+by=3sinsin+3coscos=3(sinsin+coscos)=3cos(-)3,故ax+by的最大值是3.5.解析 要使ba+ab2成立,只需ba>0且ab>0成立,即a,b都不為0且同號(hào)即可,故能使ba+ab2成立.6.A解析 分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論成立的充分條件成立,是的充分條件.故選A.7.A解析a+b2ab2aba+b,且f(x)=12x在R上是減函數(shù),fa+b2f(ab)f2aba+b,即ABC.8.C解析 命題,證明“已知p3+q3=2,求證:p+q2”時(shí),可假設(shè)“p+q>2”,故的假設(shè)正確;命題,證明“若x2=4,則x=-2或x=2”時(shí),應(yīng)該假設(shè)“x-2且x2”.故的假設(shè)錯(cuò)誤.故選C.9.C解析 為了證明(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),只要證明a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即證明2abcda2d2+b2c2,也就是證明(ad-bc)20,這是顯然成立的.10.B解析 由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用,故用反證法證明命題時(shí),可以假設(shè)原命題的否定不成立進(jìn)行推證.故應(yīng)假設(shè)1+xy2,1+yx2.11.B解析a2+b2+c2=a2+b22+a2+c22+b2+c22ab+ac+bc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立);a(1-a)a+1-a22=14當(dāng)且僅當(dāng)a=12時(shí)等號(hào)成立;當(dāng)ba<0時(shí),ba+ab2不成立.12.>解析 猜測(cè)8-5>10-7.要證8-5>10-7,只需證8+7>10+5,即證(8+7)2>(10+5)2,即證15+256>15+250,即證56>50,即證56>50,顯然成立,故8-5>10-7.13.證明:假設(shè)4a(1-b)>1,4b(1-c)>1,4c(1-d)>1,4d(1-a)>1,則有a(1-b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14,所以a(1-b)>12,b(1-c)>12,c(1-d)>12,d(1-a)>12.又因?yàn)閍(1-b)a+(1-b)2,b(1-c)b+(1-c)2,c(1-d)c+(1-d)2,d(1-a)d+(1-a)2,所以a+1-b2>12,b+1-c2>12,c+1-d2>12,d+1-a2>12,將上面各式相加得2>2,矛盾.所以4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)這四個(gè)數(shù)不可能都大于1.