(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)與不等式練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)(含解析)
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(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)與不等式練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)(含解析)
第4講導(dǎo)數(shù)與不等式1設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)ex2x2a,xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)求證:當(dāng)a>ln 21且x>0時,ex>x22ax1.解:(1)由f(x)ex2x2a(xR),知f(x)ex2.令f(x)0,得xln 2.當(dāng)x<ln 2時,f(x)<0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(,ln 2)上單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln 2時,f(x)>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln 2,)上單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,ln 2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2,),f(x)在xln 2處取得極小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a,無極大值(2)證明:要證當(dāng)a>ln 21且x>0時,ex>x22ax1,即證當(dāng)a>ln 21且x>0時,exx22ax1>0.設(shè)g(x)exx22ax1(x0)則g(x)ex2x2a,由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a.又a>ln 21,則g(x)min>0.于是對xR,都有g(shù)(x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增于是對x>0,都有g(shù)(x)>g(0)0.即exx22ax1>0,故ex>x22ax1.2(2019·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)mexln x1.(1)當(dāng)m1時,求曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)若m(1,),求證:f(x)>1.解:(1)當(dāng)m1時,f(x)exln x1,所以f(x)ex,所以f(1)e1,又因?yàn)閒(1)e1,所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y(e1)(e1)(x1),即y(e1)x.(2)證明:當(dāng)m>1時,f(x)mexln x1>exln x1,要證明f(x)>1,只需證明exln x2>0,設(shè)g(x)exln x2,則g(x)ex(x>0),設(shè)h(x)ex(x>0),則h(x)ex>0,所以函數(shù)h(x)g(x)ex在(0,)上單調(diào)遞增,因?yàn)間e2<0,g(1)e1>0,所以函數(shù)g(x)ex在(0,)上有唯一零點(diǎn)x0,且x0,因?yàn)間(x0)0,所以ex0,即ln x0x0,當(dāng)x(0,x0)時,g(x)<0;當(dāng)x(x0,)時,g(x)>0,所以當(dāng)xx0時,g(x)取得最小值g(x0),故g(x)g(x0)ex0ln x02x02>0,綜上可知,若m(1,),則f(x)>1.3(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)已知函數(shù)f(x)x(ex1)a(ex1)(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值;(2)當(dāng)x(0,)時,f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解:(1)f(x)xexex1aex.因?yàn)閒(1)ee1ae1,所以a2.(2)設(shè)g(x)f(x)ex1xexaex,則g(x)ex(x1)exaex(x2a)ex,設(shè)h(x)x2a,注意到f(0)0,f(0)g(0)2a,(i)當(dāng)a2時,h(x)x2a>0在(0,)上恒成立,所以g(x)>0在(0,)上恒成立,所以g(x)在(0,)上是增函數(shù),所以g(x)>g(0)2a0,所以f(x)>0在(0,)上恒成立所以f(x)在(0,)上是增函數(shù),所以f(x)>f(0)0在(0,)上恒成立,符合題意(ii)當(dāng)a>2時,h(0)2a<0,h(a)2>0,x0(0,a),使得h(x0)0,當(dāng)x(0,x0)時,h(x)<0,所以g(x)<0,所以g(x)在(0,x0)上是減函數(shù),所以f(x)在(0,x0)上是減函數(shù)所以f(x)<f(0)2a<0,所以f(x)在(0,x0)上是減函數(shù),所以當(dāng)x(0,x0)時,f(x)<f(0)0,不符合題意綜上所述,a2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,24(2019·福建五校第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2(2m1)xln x(mR)(1)當(dāng)m時,若函數(shù)g(x)f(x)(a1)ln x恰有一個零點(diǎn),求a的取值范圍;(2)當(dāng)x>1時,f(x)<(1m)x2恒成立,求m的取值范圍解:(1)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,)當(dāng)m時,g(x)aln xx2,所以g(x)2x.(i)當(dāng)a0時,g(x)x2,x>0時無零點(diǎn)(ii)當(dāng)a>0時,g(x)>0,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,取x0e,則g(x0)g(e)1<0,因?yàn)間(1)1,所以g(x0)·g(1)<0,此時函數(shù)g(x)恰有一個零點(diǎn)(iii)當(dāng)a<0時,令g(x)0,解得x.當(dāng)0<x<時,g(x)<0,所以g(x)在上單調(diào)遞減;當(dāng)x>時,g(x)>0,所以g(x)在上單調(diào)遞增要使函數(shù)g(x)恰有一個零點(diǎn),則galn 0,即a2e.綜上所述,若函數(shù)g(x)恰有一個零點(diǎn),則a2e或a>0.(2)令h(x)f(x)(1m)x2mx2(2m1)xln x,根據(jù)題意,當(dāng)x(1,)時,h(x)<0恒成立h(x)2mx(2m1).(i)若0<m<,則x時,h(x)>0恒成立,所以h(x)在上是增函數(shù),且h(x),所以不符合題意(ii)若m,則x(1,)時,h(x)>0恒成立,所以h(x)在(1,)上是增函數(shù),且h(x),所以不符合題意(iii)若m0,則x(1,)時,恒有h(x)<0,故h(x)在(1,)上是減函數(shù),于是h(x)<0對任意的x(1,)都成立的充要條件是h(1)0,即m(2m1)0,解得m1,故1m0.綜上,m的取值范圍是1,0 - 4 -