第4講導(dǎo)數(shù)與不等式1設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 21且x>0時，ex>x22ax1.解：(1)由f(x)ex2x2a(xR)，知f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.當(dāng)x<ln 2時，f(x)<0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(，ln 2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln 2時，f(x)>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln 2，)上單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a，無極大值(2)證明：要證當(dāng)a>ln 21且x>0時，ex>x22ax1，即證當(dāng)a>ln 21且x>0時，exx22ax1>0.設(shè)g(x)exx22ax1(x0)則g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a.又a>ln 21，則g(x)min>0.于是對xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增于是對x>0，都有g(shù)(x)>g(0)0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.2(2019·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)mexln x1.(1)當(dāng)m1時，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)若m(1，)，求證：f(x)>1.解：(1)當(dāng)m1時，f(x)exln x1，所以f(x)ex，所以f(1)e1，又因?yàn)閒(1)e1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x.(2)證明：當(dāng)m>1時，f(x)mexln x1>exln x1，要證明f(x)>1，只需證明exln x2>0，設(shè)g(x)exln x2，則g(x)ex(x>0)，設(shè)h(x)ex(x>0)，則h(x)ex>0，所以函數(shù)h(x)g(x)ex在(0，)上單調(diào)遞增，因?yàn)間e2<0，g(1)e1>0，所以函數(shù)g(x)ex在(0，)上有唯一零點(diǎn)x0，且x0，因?yàn)間(x0)0，所以ex0，即ln x0x0，當(dāng)x(0，x0)時，g(x)<0；當(dāng)x(x0，)時，g(x)>0，所以當(dāng)xx0時，g(x)取得最小值g(x0)，故g(x)g(x0)ex0ln x02x02>0，綜上可知，若m(1，)，則f(x)>1.3(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)已知函數(shù)f(x)x(ex1)a(ex1)(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處切線的斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)x(0，)時，f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)xexex1aex.因?yàn)閒(1)ee1ae1，所以a2.(2)設(shè)g(x)f(x)ex1xexaex，則g(x)ex(x1)exaex(x2a)ex，設(shè)h(x)x2a，注意到f(0)0，f(0)g(0)2a，(i)當(dāng)a2時，h(x)x2a>0在(0，)上恒成立，所以g(x)>0在(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以g(x)>g(0)2a0，所以f(x)>0在(0，)上恒成立所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以f(x)>f(0)0在(0，)上恒成立，符合題意(ii)當(dāng)a>2時，h(0)2a<0，h(a)2>0，x0(0，a)，使得h(x0)0，當(dāng)x(0，x0)時，h(x)<0，所以g(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，x0)上是減函數(shù)所以f(x)<f(0)2a<0，所以f(x)在(0，x0)上是減函數(shù)，所以當(dāng)x(0，x0)時，f(x)<f(0)0，不符合題意綜上所述，a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，24(2019·福建五校第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2(2m1)xln x(mR)(1)當(dāng)m時，若函數(shù)g(x)f(x)(a1)ln x恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)當(dāng)x>1時，f(x)<(1m)x2恒成立，求m的取值范圍解：(1)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)m時，g(x)aln xx2，所以g(x)2x.(i)當(dāng)a0時，g(x)x2，x>0時無零點(diǎn)(ii)當(dāng)a>0時，g(x)>0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，取x0e，則g(x0)g(e)1<0，因?yàn)間(1)1，所以g(x0)·g(1)<0，此時函數(shù)g(x)恰有一個零點(diǎn)(iii)當(dāng)a<0時，令g(x)0，解得x.當(dāng)0<x<時，g(x)<0，所以g(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x>時，g(x)>0，所以g(x)在上單調(diào)遞增要使函數(shù)g(x)恰有一個零點(diǎn)，則galn 0，即a2e.綜上所述，若函數(shù)g(x)恰有一個零點(diǎn)，則a2e或a>0.(2)令h(x)f(x)(1m)x2mx2(2m1)xln x，根據(jù)題意，當(dāng)x(1，)時，h(x)<0恒成立h(x)2mx(2m1).(i)若0<m<，則x時，h(x)>0恒成立，所以h(x)在上是增函數(shù)，且h(x)，所以不符合題意(ii)若m，則x(1，)時，h(x)>0恒成立，所以h(x)在(1，)上是增函數(shù)，且h(x)，所以不符合題意(iii)若m0，則x(1，)時，恒有h(x)<0，故h(x)在(1，)上是減函數(shù)，于是h(x)<0對任意的x(1，)都成立的充要條件是h(1)0，即m(2m1)0，解得m1，故1m0.綜上，m的取值范圍是1，0 - 4 -