第45講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.過點(0,1)作直線l,使l與拋物線y2=4x有且僅有一個公共點,則這樣的直線l有()A.1條B.2條C.3條D.4條2.已知對任意kR,直線y-kx-1=0與橢圓x25+y2m=1恒有公共點,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)3.已知F1,F2是橢圓x216+y29=1的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點.在AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為()A.6B.5C.4D.34.2018·遼寧朝陽一模 拋物線C:y2=2px(p>0)的準線與x軸的交點為M,過點M作C的兩條切線,切點分別為P,Q,則PMQ=. 5.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線l,直線l與雙曲線C交于點P,若點P的橫坐標為2a,則雙曲線C的離心率為.  6.設(shè)拋物線C:x2=4y的焦點為F,A,B為拋物線C上縱坐標不相等的兩點,若|AF|+|BF|=4,則線段AB的垂直平分線在y軸上的截距為()A.2B.3C.4D.57.2018·四川雙流中學月考 過拋物線y2=mx(m>0)的焦點作直線交拋物線于P,Q兩點,若線段PQ的中點的橫坐標為3,|PQ|=54m,則m=()A.4B.6C.8D.108.過拋物線y2=43x的焦點的直線l與雙曲線C:x22-y2=1的兩個交點分別為(x1,y1),(x2,y2),若x1x2>0,則直線l的斜率k的取值范圍是()A.-12,12B.-,-1212,+C.-22,22D.-,-2222,+9.2018·石家莊質(zhì)檢 若傾斜角為4的直線經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F,與橢圓交于A,B兩點,且AF=2FB,則該橢圓的離心率為()A.23B.22C.33D.3210.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,點M,N是橢圓C上關(guān)于長軸對稱的兩點,若直線AM與BN相交于點P,則點P的軌跡方程是()A.x=±a(y0)B.y2=2b(|x|-a)(y0)C.x2+y2=a2+b2(y0)D.x2a2-y2b2=1(y0)11.設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)12.2018·云南紅河州模擬 已知經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與該拋物線相交于A,B兩點,且|FA|=2|FB|,若直線AB被圓x2+y2=2p所截得的弦長為4,則p=. 13.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線y=43x與雙曲線相交于A,B兩點,若AFBF,則雙曲線的漸近線方程為.  14.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F.(1)點A,P滿足AP=-2FA,當點A在拋物線C上運動時,求動點P的軌跡方程.(2)在x軸上是否存在點Q,使得點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點在拋物線C上?如果存在,求出所有滿足條件的點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.15.2018·南昌質(zhì)檢 已知點P23,263是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與拋物線E:y2=2px(p>0)的一個公共點,且橢圓C的一個焦點F與拋物線E的焦點相同.(1)求橢圓C及拋物線E的方程;(2)設(shè)l1,l2為過F且互相垂直的兩條動直線,l1與橢圓C交于A,B兩點,l2與拋物線E交于C,D兩點,求四邊形ACBD面積的最小值.16.2018·遼寧凌源二中月考 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63, 短軸長為2.(1) 求橢圓的標準方程;(2) 直線l:y=kx+m(k0)與y軸的交點為A(點A不在橢圓外), 且與橢圓交于兩個不同的點P,Q,若線段PQ的中垂線恰好經(jīng)過橢圓的下頂點B, 且與線段PQ交于點C, 求ABC面積的最大值.8課時作業(yè)(四十五)1.C解析 由題意可知,滿足題意的直線l共有3條:直線x=0,直線y=1以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x=0).2.C解析 若x25+y2m=1表示橢圓,則m>0且m5.直線y=kx+1過定點(0,1),由題意,只需點(0,1)在橢圓x25+y2m=1上或橢圓內(nèi)部即可,則1m1,解得m1,所以實數(shù)m的取值范圍是1,5)(5,+).3.A解析 根據(jù)橢圓的定義知AF1B的周長為4a=16,故所求的第三邊的長度為16-10=6.4.2解析 由題意得M-p2,0,設(shè)過點M的切線方程為x=my-p2(m0),代入y2=2px中,得y2-2pmy+p2=0,=4p2m2-4p2=0,m=±1,即切線的斜率k=1m=±1,MQMP,因此PMQ=2.5.2+3解析 不妨設(shè)直線l的方程為y=ba(x-c).直線l與雙曲線C的交點P的橫坐標為2a,(2a)2a2-y2b2=1,解得y=-3b或y=3b(舍去),-3b=ba(2a-c),整理得c=(2+3)a,雙曲線C的離心率e=ca=2+3.6.B解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2+2=4,即y1+y2=2,由線段AB的中點M的坐標為x1+x22,y1+y22,可得Mx1+x22,1,又kAB=y2-y1x2-x1=x22-x124(x2-x1)=x2+x14,所以線段AB的垂直平分線的方程為y-1=-4x1+x2x-x1+x22,令x=0,得y=3,故線段AB的垂直平分線在y軸上的截距為3,故選B.7.C解析 設(shè)點P,Q的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),若線段PQ的中點的橫坐標為3,則x1+x22=3,由|PQ|=x1+x2+m2=6+m2=54m,得m=8.8.D解析 易知直線l過點(3,0),雙曲線的漸近線方程為y=±22x,當k>22或k<-22時,直線l與雙曲線的右支有兩個交點,滿足x1x2>0,故選D.9.A解析 設(shè)直線的參數(shù)方程為x=c+22t,y=22t,代入橢圓方程并整理得12a2+12b2t2+2b2ct-b4=0,設(shè)點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-22b2ca2+b2,t1·t2=-2b4a2+b2,由AF=2FB得t1=-2t2,代入,化簡得8c2=a2+b2,即c2a2=29,所以ca=23.故選A.10.D解析 由題意可知A(-a,0),B(a,0),設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0)(y00),P(x,y)(y0).可得直線PA的斜率k1=y0x0+a,則直線PA的方程為y=y0x0+a(x+a),同理,直線PB的斜率k2=y0a-x0,直線PB的方程為y=y0a-x0(x-a).兩式相乘得y2=y02a2-x02(x2-a2),由x02a2+y02b2=1,得y02=b2a2(a2-x02),代入式得y2=b2a2(x2-a2),整理得x2a2-y2b2=1(a>b>0)(y0),則點P的軌跡方程為x2a2-y2b2=1(a>b>0)(y0).11.D解析 當直線l與x軸垂直,且0<r<5時,滿足條件的直線l有且僅有2條.當直線l與x軸不垂直時,不妨設(shè)切點M(5+rcos,rsin)(0<<),則切線斜率k=-cossin.另一方面,由于M是AB的中點,故由點差法得k=2rsin,則r=-2cos,所以r>2.因為M(5+rcos,rsin)在拋物線內(nèi),所以r2sin2<4(5+rcos),又rcos=-2,所以化簡得r<4,故2<r<4.當2<r<4時,由r=-2cos知滿足條件且在x軸上方的切點M只有1個,從而總的切線有4條.故選D.12.3或6解析 拋物線y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,不妨設(shè)直線AB的方程為x=my+p2(m>0),代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=-p2,由|FA|=2|FB|可得y1=-2y2,由可得m=24,于是直線AB的方程為x=24y+p2,即4x-2y-2p=0,從而圓心(0,0)到直線AB的距離d=2p18,又圓的半徑r=2p,弦長為4,所以2p-4p218=4,解得p=3或p=6.13.y=±2x解析 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點在x軸上,右焦點為F(c,0).由y=43x,x2a2-y2b2=1,消去y并整理得(9b2-16a2)x2=9a2b2,即x2=9a2b29b2-16a2.由A與B關(guān)于原點對稱,可設(shè)Ax0,43x0,B-x0,-43x0,則FA=x0-c,43x0,FB=-x0-c,-43x0,x02=9a2b29b2-16a2.AFBF,FA·FB=0,即(x0-c)(-x0-c)+43x0-43x0=0,整理得c2=259x02,a2+b2=259×9a2b29b2-16a2,即9b4-32a2b2-16a4=0,(b2-4a2)(9b2+4a2)=0.a>0,b>0,9b2+4a20,b2-4a2=0,即b=2a,故雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±2x.14.解:(1)設(shè)動點P的坐標為(x,y),點A的坐標為(xA,yA),則AP=(x-xA,y-yA).因為點F的坐標為(1,0),所以FA=(xA-1,yA),由AP=-2FA得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA).即x-xA=-2(xA-1),y-yA=-2yA,解得xA=2-x,yA=-y.因為點A在拋物線C上,所以(-y)2=4(2-x),整理得動點P的軌跡方程為y2=8-4x.(2)設(shè)點Q的坐標為(t,0),點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點為Q'(x0,y0),則y0x0-t=-12,y02=x0+t,解得x0=-35t,y0=45t.因為點Q'在拋物線C上,所以點Q'的坐標滿足y02=4x0,可得4t2+15t=0,解得t=0或t=-154.所以存在滿足題意的點Q,其坐標為(0,0)或-154,0.15.解:(1)點P23,263是拋物線E:y2=2px(p>0)上一點,2632=2p·23,解得p=2,拋物線E的方程為y2=4x.由題意可得F(1,0),a2-b2=1,又點P23,263在橢圓C:x2a2+y2b2=1上,49a2+83b2=1,結(jié)合a2-b2=1得b2=3,a2=4,橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)由題可知直線l2的斜率不為0,故直線l1的斜率存在,設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).當k=0時,|AB|=4,直線l2的方程為x=1,|CD|=4,故S四邊形ACBD=12·|AB|·|CD|=8.當k0時,直線l2的方程為y=-1k(x-1),由y=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.由弦長公式得|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=12(k2+1)4k2+3.同理可得|CD|=4(k2+1).S四邊形ACBD=12·|AB|·|CD|=12·12(k2+1)4k2+3·4(k2+1)=24(k2+1)24k2+3.令t=k2+1,t(1,+),則S四邊形ACBD=24t24t-1=244t-1t2=24-(1t-2) 2+4,當t(1,+)時,1t(0,1),-1t-22+4<3,S四邊形ACBD>243=8.綜上所述,四邊形ACBD面積的最小值為8.16.解:(1)由ca=63,2b=2,a2=b2+c2得a=3,b=1,c=2,因此橢圓的標準方程為x23+y2=1.(2)易得點A的坐標為(0,m),點B的坐標為(0,-1).設(shè)P,Q的坐標分別為(x1,kx1+m),(x2,kx2+m).由y=kx+m,x23+y2=1,得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0,則x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3(m2-1)1+3k2.易知線段PQ的中點C的橫坐標為x1+x22=-3km1+3k2.縱坐標為kx1+x22+m=-3k2m1+3k2+m=m1+3k2,因此點C的坐標為-3km1+3k2,m1+3k2.由題意知BCPQ,即m1+3k2-(-1)-3km1+3k2-0=-1k,從而1+3k2=2m.因為直線l與橢圓有兩個不同的交點,所以=12(1-m2+3k2)>0,即m2<1+3k2,從而有m2<2m,即0<m<2.又m=1+3k22>12,因此12<m<2.由點A不在橢圓之外,得-1m1,所以12<m1.|AB|=|m+1|=m+1,點C到線段AB的距離d=3|km|1+3k2=3m·2m-132m=32×2m-1,所以SABC=12·|AB|·d=12×(m+1)×32×2m-1=34×2m3+3m2-1.令f(m)=2m3+3m2-1,則f'(m)=6m2+6m,當m12,1時,f'(m)>0,所以f(m)在12,1上單調(diào)遞增,所以SABC34×f(1)=34×4=32,所以ABC面積的最大值為32.