第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題1.(2015·浙江卷)設(shè)，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m()A.若l，則 B.若，則lmC.若l，則 D.若，則lm解析由面面垂直的判定定理，可知A選項正確；B選項中，l與m可能平行；C選項中，與可能相交；D選項中，l與m可能異面.答案A2.(2017·深圳四校聯(lián)考)若平面，滿足，l，P，Pl，則下列命題中是假命題的為()A.過點P垂直于平面的直線平行于平面B.過點P垂直于直線l的直線在平面內(nèi)C.過點P垂直于平面的直線在平面內(nèi)D.過點P且在平面內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面解析由于過點P垂直于平面的直線必平行于平面內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面，因此A正確.過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面，不一定在平面內(nèi)，因此B不正確.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項C，D正確.答案B3.如圖，在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDE平面ABC解析因為BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故選項A正確.在正四面體中，AEBC，PEBC，AEPEE，BC平面PAE，DFBC，則DF平面PAE，又DF平面PDF，從而平面PDF平面PAE.因此選項B，C均正確.答案D4.(2017·西安調(diào)研)設(shè)l是直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A.若l，l，則 B.若l，l，則C.若，l，則l D.若，l，則l解析A中，或與相交，不正確.B中，過直線l作平面，設(shè)l，則ll，由l，知l，從而，B正確.C中，l或l，C不正確.D中，l與的位置關(guān)系不確定.答案B5.(2017·天津濱海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是()A. B.C. D.解析由題意知，BD平面ADC，且AC平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，又由知正確；由知錯.答案B二、填空題6.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個數(shù)為_.解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形.由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形.答案47.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_時，平面MBD平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可).解析由定理可知，BDPC.當DMPC(或BMPC)時，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)8.(2016·全國卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號).解析對于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤.對于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，m，所以ml，所以mn，故正確.對于，因為，所以，沒有公共點.又m，所以m，沒有公共點，由線面平行的定義可知m，故正確.對于，因為mn，所以m與所成的角和n與所成的角相等.因為，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確.答案三、解答題9.(2017·青島質(zhì)檢)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點.(1)求證：EF平面BCG；(2)求三棱錐DBCG的體積.(1)證明由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G為AD的中點，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BCG.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)解在平面ABC內(nèi)，作AOBC，交CB的延長線于O，如圖由平面ABC平面BCD，平面ABC平面BDCBC，AO平面ABC，知AO平面BDC.又G為AD中點，因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半.在AOB中，AOAB·sin 60°，所以VDBCGVGBCDSDBC·h×BD·BC·sin 120°·.10.(2016·北京卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA平面CEF？說明理由.(1)證明因為PC平面ABCD，所以PCDC.又因為ACDC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)證明因為ABCD，DCAC，所以ABAC.因為PC平面ABCD，所以PCAB.又因為PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點F，使得PA平面CEF.理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又因為E為AB的中點，所以EFPA.又因為PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.11.設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面.則下列說法正確的是()A.若mn，n，則mB.若m，則mC.若m，n，n，則mD.若mn，n，則m解析A中，由mn，n可得m或m與相交或m，錯誤；B中，由m，可得m或m與相交或m，錯誤；C中，由m，n可得mn，又n，所以m，正確；D中，由mn，n，可得m或m與相交或m，錯誤.答案C12.(2017·貴陽模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()A.O是AEF的垂心 B.O是AEF的內(nèi)心C.O是AEF的外心 D.O是AEF的重心解析由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA平面PEF，從而PAEF，而PO平面AEF，則POEF，因為POPAP，所以EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O為AEF的垂心.答案A13.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；PDA45°.其中正確的有_(把所有正確的序號都填上).解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六邊形的性質(zhì)得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正確；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，錯；由正六邊形的性質(zhì)得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直線BC平面PAE也不成立，錯；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45°，正確.答案14.(2016·四川卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90°，BCCDAD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PAB，并說明理由.(2)證明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：因為ADBC，BCAD.所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB.又AB平面PAB.CM平面PAB.所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)證明由已知，PAAB，PACD.因為ADBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD.又BD平面ABCD，從而PABD.因為ADBC，BCAD，M為AD的中點，連接BM，所以BCMD，且BCMD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.6