專(zhuān)題檢測(cè)（十九） 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程A組“124”滿(mǎn)分練一、選擇題1.冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(0，)B.C.(，) D.(，0)解析：選D設(shè)f(x)xa，則2a，所以a2，所以f(x)x2，它是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，0).故選D.2.(2019·全國(guó)卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a解析：選B由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得alog20.2<log210，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得b20.2>201，0<c0.20.3<0.201，所以a<c<b.故選B.3.函數(shù)f(x)|x|3的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)解析：選B函數(shù)f(x)|x|3是單調(diào)減函數(shù)，因?yàn)閒(1)10，f(2)10，所以f(1)f(2)0，可知函數(shù)f(x)|x|3的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1，2).4.(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一)如圖，一高為H且裝滿(mǎn)水的魚(yú)缸，其底部裝有一排水小孔，當(dāng)小孔打開(kāi)時(shí)，水從孔中勻速流出，水流完所用時(shí)間為T(mén).若魚(yú)缸水深為h時(shí)，水流出所用時(shí)間為t，則函數(shù)hf(t)的圖象大致是()解析：選B水位由高變低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故選B.5.若函數(shù)y(a>0，且a1)的定義域和值域都是0，1，則logaloga()A.1 B.2C.3 D.4解析：選C當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y在0，1上單調(diào)遞減，1且0，解得a2；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y在0，1上單調(diào)遞增，0且1，此時(shí)無(wú)解.a2，因此logalogalog2log283.故選C.6.若函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線(xiàn)yex關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的解析式為()A.f(x)ex1 B.f(x)ex1C.f(x)ex1 D.f(x)ex1解析：選D與yex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為yex.依題意，f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得yex的圖象，f(x)的圖象是由yex的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，f(x)e(x1)ex1.7.某商場(chǎng)為了解商品的銷(xiāo)售情況，對(duì)某種電器今年一至五月份的月銷(xiāo)售量Q(x)(臺(tái))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得數(shù)據(jù)如下：x(月份)12345Q(x)(臺(tái))691086根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為能較好地描述月銷(xiāo)售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)是()A.Q(x)axb(a0)B.Q(x)a|x4|b(a0)C.Q(x)a(x3)2b(a0)D.Q(x)a·bx(a0，b>0且b1)解析：選C觀察數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x增大時(shí)，Q(x)的值先增大后減小，且大約是關(guān)于Q(3)對(duì)稱(chēng)，故月銷(xiāo)售量Q(x)(臺(tái))與時(shí)間x(月份)變化關(guān)系的模擬函數(shù)的圖象是關(guān)于x3對(duì)稱(chēng)的，顯然只有選項(xiàng)C滿(mǎn)足題意，故選C.8.已知函數(shù)f(x)lg是奇函數(shù)，且在x0處有意義，則該函數(shù)為()A.(，)上的減函數(shù)B.(，)上的增函數(shù)C.(1，1)上的減函數(shù)D.(1，1)上的增函數(shù)解析：選D由題意知，f(0)lg(2a)0，a1，f(x)lglg，令>0，則1<x<1，排除A、B，又y1在(1，1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，1)上是增函數(shù).選D.9.設(shè)函數(shù)f(x)axk1(a>0，且a1)過(guò)定點(diǎn)(2，0)，且f(x)在定義域R上是減函數(shù)，則g(x)loga(xk)的圖象是()解析：選A由題意可知a2k10，解得k2，所以f(x)ax21，又f(x)在定義域R上是減函數(shù)，所以0<a<1.此時(shí)g(x)loga(x2)在定義域上單調(diào)遞減，且恒過(guò)點(diǎn)(1，0)，故選A.10.(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)解析：選C令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x).在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出yf(x)，yh(x)的示意圖，如圖所示.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移yh(x)的圖象，可知當(dāng)直線(xiàn)yxa過(guò)點(diǎn)(0，1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a<1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)yxa在yx1下方，即a>1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意.綜上，a的取值范圍為1，).故選C.11.(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(，0)上單調(diào)遞減，若af，bf(log24.1)，cf(20.5)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.abc B.bacC.cab D.cba解析：選D由題意，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以ff(log25)f(log25)，因?yàn)閘og25log24.1220.50，所以f(log25)f(log24.1)f(20.5)，即cba，故選D.12.(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)當(dāng)xm，m1時(shí)，不等式f(2mx)f(xm)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(，4) B.(，2)C.(2，2) D.(，0)解析：選B易知函數(shù)f(x)在xR上單調(diào)遞減，又f(2mx)f(xm)在xm，m1上恒成立，所以2mxxm，即2xm在xm，m1上恒成立，所以2(m1)m，解得m2，故選B.二、填空題13.(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一)已知函數(shù)f(x)x3alog3x，若f(2)6，則f_.解析：由f(2)8alog326，解得a，所以falog3alog32×log32.答案：14.(2019·河北模擬調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)loga(x1)(a0，且a1)在2，0上的值域是1，0，則實(shí)數(shù)a_；若函數(shù)g(x)axm3的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi).解析：函數(shù)f(x)loga(x1)(a0且a1)在2，0上的值域是1，0.當(dāng)a1時(shí)，f(x)loga(x1)在2，0上單調(diào)遞減，無(wú)解；當(dāng)0a1時(shí)，f(x)loga(x1)在2，0上單調(diào)遞增，解得a.g(x)3的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，g(0)30，解得m1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是1，).答案：1，)15.已知某房地產(chǎn)公司計(jì)劃出租70套相同的公寓房.當(dāng)每套房月租金定為3 000元時(shí)，這70套公寓房能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會(huì)多一套房子不能出租.設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)沒(méi)有出租的房子不需要花這些費(fèi)用)，則要使公司獲得最大利潤(rùn)，每套房月租金應(yīng)定為_(kāi)元.解析：設(shè)利潤(rùn)為y元，租金定為3 00050x(0x70，xN)元.則y(3 00050x)(70x)100(70x)(2 90050x)(70x)50(58x)(70x)50204 800，當(dāng)且僅當(dāng)58x70x，即x6時(shí)，等號(hào)成立，故每月租金定為3 0003003 300(元)時(shí)，公司獲得最大利潤(rùn).答案：3 30016.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間1，m上的最大值是2，則m的取值范圍是_.解析：f(x)作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在1，m上的最大值為2，又f(1)f(4)2，所以1<m4，即m(1，4.答案：(1，4B組“53”提速練1.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)則關(guān)于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0a1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.4 D.5解析：選D因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以x0時(shí)，f(x)f(x)畫(huà)出yf(x)和ya(0a1)的圖象，如圖共有5個(gè)交點(diǎn)，所以F(x)有5個(gè)零點(diǎn).2.已知函數(shù)f(x)loga(2x2x)(a>0，且a1)，當(dāng)x時(shí)，恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.(0，)C. D.解析：選A當(dāng)x時(shí)，2x2x(0，1)，因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，恒有f(x)>0，所以0<a<1，由2x2x>0得x>0或x<.又2x2x2，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.3.如圖，四棱錐P­ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上(P，B點(diǎn)除外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作平面平面PAD，截棱錐所得截面面積為y，若平面與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)yf(x)的大致圖象是()解析：選D法一：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MTPA交AB于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)M作MNBC交PC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NSPD交CD于點(diǎn)S，連接TS，則平面MTSN平面PAD，所以yS四邊形MTSN.由PA平面ABCD，可得MT平面ABCD，所以平面與平面PAD之間的距離xAT，且四邊形MTSN為直角梯形.由MTPA，MNBC，得，所以MT×42(2x)，MN×2x，所以yS四邊形MTSN·(MNST)(2x)(x2)4x2(0x2).故選D.法二：設(shè)M，N，S，T分別為棱PB，PC，CD，AB的中點(diǎn)，連接MN，NS，ST，MT，則易知四邊形MTSN為直角梯形.易證CD平面PAD，平面MTSN平面PAD，所以此時(shí)x1，y(MNST)×MT×(12)×23，即函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，3)，排除A、C；又當(dāng)x0時(shí)，ySPAD×2×44，所以排除B.故選D.4.(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)kx|xex|有兩個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()A.(0，) B.C.(0，1) D.(0，e)解析：選C令f(x)kx|xex|0，得kx|xex|，當(dāng)x0時(shí)，k，令g(x)1，x0，則g(x)0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，因?yàn)間10，g(1)10，所以在上存在一個(gè)a，使得g(a)0，所以y|g(x)|的圖象如圖所示.由題意知，直線(xiàn)yk與y|g(x)|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0k1，故選C.5.已知函數(shù)f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()A.(1，2 019) B.(1，2 020)C.2，2 020 D.(2，2 020)解析：選D法一：由于函數(shù)ysin x的周期為2，0x1，故它的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng).不妨設(shè)0abc，則ab1，c1，故有abc2，再由正弦函數(shù)的定義域和值域可得f(a)f(b)f(c)0，1，故有0log2 019c1，解得c2 019.綜上可得，2abc2 020，故選D.法二：作出函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)ym，如圖所示，不妨設(shè)abc，當(dāng)0x1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)ym的交點(diǎn)分別為A，B，由正弦曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得A(a，m)與B(b，m)關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，因此ab1，當(dāng)直線(xiàn)ym1時(shí)，由log2 019x1，解得x2 019.若滿(mǎn)足f(a)f(b)f(c)，且a，b，c互不相等，由abc可得1c2 019，因此可得2abc2 020，即abc(2，2 020).故選D.6.已知在(0，)上函數(shù)f(x)則不等式log2xlog(4x)1·f(log3x1)5的解集為_(kāi).解析：原不等式等價(jià)于或解得1x4或x1，所以原不等式的解集為.答案：7.某工廠常年生產(chǎn)紅木家具，根據(jù)預(yù)測(cè)可知，該產(chǎn)品近10年的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng).記2016年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位：萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.則你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號(hào)為_(kāi).解析：若模型為f(x)2xa，則由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此時(shí)f(2)6，f(3)10，f(4)18，與表格數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為f(x)logxa，則f(x)是減函數(shù)，與表格數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為f(x)axb，由已知得解得所以f(x)x，xN，所以最適合的函數(shù)模型的序號(hào)為.答案：8.(2019·吉林長(zhǎng)春四校5月聯(lián)考)已知g(x)為偶函數(shù)，h(x)為奇函數(shù)，且滿(mǎn)足g(x)h(x)2x.若存在x1，1，使得不等式m·g(x)h(x)0有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi).解析：因?yàn)間(x)h(x)2x，所以g(x)h(x)2x.又g(x)為偶函數(shù)，h(x)為奇函數(shù)，所以g(x)h(x)2x，聯(lián)立，得g(x)，h(x).由m·g(x)h(x)0，得m1.因?yàn)閥1為增函數(shù)，所以當(dāng)x1，1時(shí)，1，所以m，即實(shí)數(shù)m的最大值為.答案：- 9 -