綜合檢測(cè)二(標(biāo)準(zhǔn)卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁(yè)． 2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫(xiě)在相應(yīng)位置上． 3．本次考試時(shí)間120分鐘，滿分150分． 4．請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．設(shè)全集為R，集合A＝，B＝{x|x≥1}，則A∩B等于(　　) A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2} 答案　C 解析　由集合A＝，可知0<x<2； 因?yàn)锽＝{x|x≥1}，所以A∩B＝，故選C. 2．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝1－i，則復(fù)數(shù)z為(　　) A.＋i B．－＋i C.－i D．－－i 答案　D 解析　∵(1＋2i)z＝1－i， ∴z＝＝＝＝－－i，故選D. 3．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z＝2x－y的最小值為(　　) A．－3B．－2C．－1D．2 答案　B 解析　繪制不等式組表示的可行域(陰影部分包含邊界)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可得，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(－1,0) 處取得最小值z(mì)＝2x－y＝－2. 4.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝2，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 答案　A 解析　由題可知＝＋，又＝2，所以＝＋B＝＋(－)＝O＋，所以x＝，y＝，故選A. 5．(2x＋)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是(　　) A．6B．12C．24D．48 答案　C 解析　(2x＋)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝C(2x)4－k()k＝C24－k，令4－＝3解得k＝2，故x3的系數(shù)為C22＝24，故選C. 6．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的S值為(　　) A．15B．37C．83D．177 答案　B 解析　執(zhí)行程序，可得 S＝0，i＝1，不符合，返回循環(huán)； S＝2×0＋1＝1，i＝3，不符合，返回循環(huán)； S＝2×1＋3＝5，i＝5，不符合，返回循環(huán)； S＝2×5＋5＝15，i＝7，不符合，返回循環(huán)； S＝2×15＋7＝37，i＝9，符合，輸出S＝37. 故選B. 7．在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a4＝1，則當(dāng)2a2＋a6取得最小值時(shí)，log2q等于(　　) A.B．－C.D．－ 答案　A 解析　2a2＋a6≥2＝2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)q4＝2時(shí)取等號(hào)，所以log2q＝log22＝，故選A. 8.三世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法．所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法．如圖是劉徽利用正六邊形計(jì)算圓周率時(shí)所畫(huà)的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　設(shè)圓的半徑為r，則圓的面積S圓＝πr2，正六邊形的面積S正六邊形＝6××r2×sin60°＝r2，所以向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率P＝＝＝，故選A. 9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是由邊長(zhǎng)為2的正方形和半徑為1的半圓組成，則該幾何體的體積為(　　) A．8＋B．8＋C．4＋D．8＋ 答案　D 解析　由三視圖可知幾何體為半圓錐與正方體的組合體， V＝23＋××π×12×2＝8＋. 10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且asin2B＋bsinA＝0，若a＋c＝2，則邊b的最小值為(　　) A．4B．3C．2D. 答案　D 解析　根據(jù)asin2B＋bsinA＝0，由正弦定理可得sinAsin2B＋sinBsinA＝0?cosB＝－， ∵0<B<π，∴B＝，A＋C＝. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝4－ac. ∵a＋c＝2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝1時(shí)取等號(hào)， ∴ac≤1.∴b2＝4－ac≥3, 即b≥. 故邊b的最小值為. 11．已知直線l的傾斜角為45°，直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且MF1，NF2都垂直于x軸(其中F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為(　　) A.B.C.－1D. 答案　D 解析　∵直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且MF1，NF2都垂直于x軸， ∴根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性， 設(shè)點(diǎn)M(－c，－y)，N(c，y)(y>0)， 則－＝1，即|y|＝，且|MF1|＝|NF2|＝|y|， 又∵直線l的傾斜角為45°， ∴直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，|y|＝c， ∴＝c，整理得c2－ac－a2＝0， 即e2－e－1＝0，解方程得e＝. 12．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞) 答案　B 解析　∵2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立， ∴a≤x＋2lnx＋對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立， 令f(x)＝x＋2lnx＋，則f′(x)＝1＋－＝. 由f′(x)>0得x>1，即f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)；由f′(x)<0得0<x<1，即f(x)在(0,1)上為減函數(shù)． ∴f(x)min＝f(1)＝4， ∴a≤4，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4]． 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．f(x)＝則使f(a)＝－1成立的a值是________． 答案?。?或2 解析　f(x)＝f(a)＝－1， 當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝a＋1＝－1，解得a＝－4, 當(dāng)a＞0時(shí)，f(a)＝－(a－1)2＝－1，解得a＝2. 14．已知l1：mx－y－3m＋1＝0與l2：x＋my－3m－1＝0相交于點(diǎn)P，線段AB是圓C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一條動(dòng)弦，且|AB|＝2，則|＋|的最小值是________． 答案　4－2 解析　∵l1：mx－y－3m＋1＝0與l2：x＋my－3m－1＝0， ∴l(xiāng)1⊥l2，l1過(guò)定點(diǎn)(3,1)，l2過(guò)定點(diǎn)(1,3)， ∴點(diǎn)P的軌跡方程為圓(x－2)2＋(y－2)2＝2， 作CD⊥AB，則|CD|＝＝1， ∴點(diǎn)D的軌跡方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝1， 則|＋|＝2||， ∵圓P和圓D的圓心距為＝3>1＋， ∴兩圓外離， ∴|PD|的最小值為3－1－＝2－1， ∴|＋|的最小值為4－2. 15.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________. 答案　1 解析　由函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象知，A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2， 又f＝2sin＝2, ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)＝2sin，f(0)＝2sin＝1. 16．已知拋物線C：y2＝8x，點(diǎn)P(0,4)，點(diǎn)A在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離之和最小時(shí)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交拋物線于點(diǎn)B，則△AOB的面積為_(kāi)_______． 答案　4 解析　根據(jù)拋物線性質(zhì)知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，故當(dāng)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)達(dá)到最小值，由P(0,4)，F(xiàn)(2,0)，可得lAB：2x＋y－4＝0，聯(lián)立拋物線方程可得x2－6x＋4＝0，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10，原點(diǎn)到直線lAB：2x＋y－4＝0的距離d＝＝，所以△AOB的面積為×10×＝4. 三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(12分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝(－1)nan，求數(shù)列{bn}前2019項(xiàng)的和． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)， ?? ∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝27－2n. (2){bn}的前2019項(xiàng)的和S2019為 S2019＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2018＋b2019＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2018－a2017)－a2019 ＝(－2)×－(27－2×2019) ＝1993. 18．(12分)如圖，五邊形ABSCD中，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，三角形SBC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，將三角形SBC沿BC折起，使得點(diǎn)S在平面ABCD上的射影恰好在AD上． (1)當(dāng)AB＝時(shí)，證明：平面SAB⊥平面SCD； (2)若AB＝1，求平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對(duì)值． (1)證明　作SO⊥AD，垂足為O，依題意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD， 又AB⊥AD，SO∩AD＝O，SO，AD?平面SAD， ∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD. 利用勾股定理得SA＝＝＝，同理可得SD＝. 在△SAD中，AD＝2，SA＝SD＝，SA2＋SD2＝AD2， ∴SA⊥SD， 又SA∩AB＝A，∴SD⊥平面SAB， 又SD?平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD. (2)解　連接BO，CO， ∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC， ∴BO＝CO，又四邊形ABCD為長(zhǎng)方形， ∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD. 取BC中點(diǎn)為E，得OE∥AB，連接SE，∴SE＝， 其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝， 由以上證明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以直線OA，OE，OS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，－)，＝(－2,0,0)， 設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面SCD的法向量， 則有 即 令z1＝1得m＝(－，0,1)， 設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量， 則有即 令z1＝1得n＝(0，，1)． 則|cos〈m，n〉|＝＝＝， 所以平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對(duì)值為. 19．(12分)某芯片代工廠生產(chǎn)某型號(hào)芯片每盒12片，每批生產(chǎn)若干盒，每片成本1元，每盒芯片需檢驗(yàn)合格后方可出廠．檢驗(yàn)方案是從每盒芯片隨機(jī)取3片檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)次品，就要把全盒12片產(chǎn)品全部檢驗(yàn)，然后用合格品替換掉不合格品，方可出廠；若無(wú)次品，則認(rèn)定該盒芯片合格，不再檢驗(yàn)，可出廠． (1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求該盒芯片經(jīng)一次檢驗(yàn)即可出廠的概率； (2)若每片芯片售價(jià)10元，每片芯片檢驗(yàn)費(fèi)用1元，次品到達(dá)組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后，每片須由代工廠退賠10元，并補(bǔ)償1片經(jīng)檢驗(yàn)合格的芯片給組裝廠．設(shè)每片芯片不合格的概率為p(0<p<1)，且相互獨(dú)立． ①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0； ②若以①中的p0作為p的值，由于質(zhì)檢員操作疏忽，有一箱芯片未經(jīng)檢驗(yàn)就被貼上合格標(biāo)簽出廠到組裝工廠，試確定這箱芯片最終利潤(rùn)X(單位：元)的均值． 解　(1)設(shè)“該盒芯片經(jīng)一次檢驗(yàn)即可出廠”的事件為A, 則P(A)＝＝. (2)①因?yàn)閒(p)＝Cp3(1－p)9， 所以f′(p)＝C[3p2(1－p)9＋p3·9(1－p)8·(－1)] ＝Cp2(1－p)8(3－12p)， ∵p∈(0,1)，∴令f′(p)＝0，得p0＝， ∴當(dāng)p∈時(shí)，f′(p)>0，f(p)為單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)p∈時(shí)，f′(p)<0，f(p)為單調(diào)減函數(shù)， ∴p0＝為f(p)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 故f(p)的最大值點(diǎn)p0＝. ②由題設(shè)知，p＝p0＝， 設(shè)這箱芯片不合格品個(gè)數(shù)為n， 則n～B， 故E(n)＝12×＝3， 則E(X)＝120－12－30－3×2＝72. ∴這箱芯片最終利潤(rùn)X的均值是72元． 20．(12分)設(shè)常數(shù)t>2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(2,0)，直線l：x＝t，曲線Γ：y2＝8x(0≤x≤t，y≥0)．l與x軸交于點(diǎn)A、與Γ交于點(diǎn)B.P，Q分別是曲線Γ與線段AB上的動(dòng)點(diǎn)． (1)用t表示點(diǎn)B到點(diǎn)F距離； (2)設(shè)t＝3，|FQ|＝2，線段OQ的中點(diǎn)在直線FP上，求△AQP的面積； (3)設(shè)t＝8，是否存在以FP，F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 解　(1)方法一　由題意可得B(t,2)， 則|BF|＝＝t＋2， ∴|BF|＝t＋2. 方法二　由題意可得B(t,2)， 由拋物線的性質(zhì)可知，|BF|＝t＋＝t＋2，∴|BF|＝t＋2. (2)F(2,0)，|FQ|＝2，t＝3，則|FA|＝1， ∴|AQ|＝， ∴Q(3，)，設(shè)OQ的中點(diǎn)D，D， kDF＝＝－， 則直線PF的方程為y＝－(x－2)， 聯(lián)立整理得3x2－20x＋12＝0， 解得x＝，x＝6(舍去)， ∴△AQP的面積S＝××＝. (3)存在．假設(shè)存在，則設(shè)P， 易知，當(dāng)PF斜率不存在時(shí)，不存在符合題意的矩形， 則kPF＝＝，kFQ＝， 直線QF的方程為y＝(x－2)， ∴yQ＝(8－2)＝，Q， 根據(jù)＋＝，則E， ∴2＝8，解得y2＝， ∴存在以FP，F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上，且P. 21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx(a為常數(shù))． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝f(x)，x∈的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最小值． 解　(1)a＝1時(shí)，f(x)＝x－2lnx－1，f′(x)＝1－， 由f′(x)>0得x>2；f′(x)<0得0<x<2. 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)． (2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， 所以當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→＋∞，故要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸在x∈上無(wú)交點(diǎn)， 需對(duì)任意的x∈，f(x)>0成立， 即x∈時(shí)，a>2－. 令l＝2－，x∈， 則l′(x)＝， 再令m(x)＝2lnx＋－2，x∈， m′(x)＝<0，于是m在上為減函數(shù)， 故m(x)>m＝2－2ln2>0，∴l(xiāng)′(x)>0在上恒成立， ∴l(xiāng)(x)在上為增函數(shù)，∴l(xiāng)(x)<l在上恒成立， 又l＝2－4ln2，故要使a>2－恒成立，只要a∈[2－4ln2，＋∞)， ∴實(shí)數(shù)a的最小值為2－4ln2. 請(qǐng)?jiān)诘?2～23題中任選一題作答． 22．(10分)直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝6cosθ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值． 解　(1)由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9. (2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t2＋2(sinα－cosα)t－7＝0. 由Δ＝4(sinα－cosα)2＋4×7＞0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩根， 所以t1＋t2＝2(cosα－sinα)，t1t2＝－7， 又由直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，故結(jié)合參數(shù)的幾何意義得 |PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝≥2，當(dāng)sin2α＝1時(shí)取等號(hào)． 所以|PA|＋|PB|的最小值為2. 23．(10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最小值； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)<＋a在x∈[1,2]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)， f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝＋＋|x＋1|≥0＋＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，取等號(hào)． (2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)<＋a?|2x－a|＋x＋a<＋a?|a－2x|<－x?3x－<a<x＋，因?yàn)閤∈[1,2]時(shí)3x－的最小值為－2，x＋的最大值為6，所以－2<a<6，又因?yàn)閍>0，所以0<a<6. 13