單元質(zhì)檢二函數(shù)(時(shí)間:100分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知函數(shù)f(x)=2x-4,x>0,2x,x0,則f(f(1)=()A.2B.0C.-4D.-6答案C解析函數(shù)f(x)=2x-4(x>0),2x(x0),則f(f(1)=f(2-4)=f(-2)=-4.故選C.2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增的是()A.y=-1xB.y=-x2C.y=e-x+exD.y=|x+1|答案C解析選項(xiàng)A中函數(shù)是奇函數(shù),不合題意;選項(xiàng)B中函數(shù)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,不合題意;選項(xiàng)D中函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不合題意;故選C.3.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0上f(x)是減函數(shù).若f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)答案B解析由題意知f(-2)=f(2)=0,當(dāng)x(-2,0時(shí),f(x)<f(-2)=0.由對(duì)稱性知,當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)為增函數(shù),f(x)<f(2)=0,故x(-2,2)時(shí),f(x)<0,故選B.4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x3-1;當(dāng)-1x1時(shí),f(-x)=-f(x);當(dāng)x>12時(shí),fx+12=fx-12,則f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D解析由題意可知,當(dāng)-1x1時(shí),f(x)為奇函數(shù);當(dāng)x>12時(shí),由fx+12=fx-12可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.所以f(6)=2.故選D.5.設(shè)a=log32,b=ln 2,c=5-12,則()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a答案C解析因?yàn)閍=log32=1log23,b=ln2=1log2e,又log23>log2e>1,所以a<b.又c=5-12=15,5>2=log24>log23,所以c<a.綜上c<a<b,故選C.6.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,2x,x0,若f(a)=12,則實(shí)數(shù)a的值為()A.-1B.2C.-1或2D.1或-2答案C解析由題意得log2a=12,a>0或2a=12,a0,故a=2或a=-1.故選C.7.已知函數(shù)f(x)=12x-sin x,則f(x)在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案B解析函數(shù)f(x)=12x-sinx在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=12x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在0,2上的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示,由圖象可知,兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間0,2上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故選B.8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(31)=()A.0B.1C.-1D.2答案C解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)是奇函數(shù).f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù).當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=log2(x+1),f(31)=f(32-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.故選C.9.若函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是()答案C解析由函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a1)在R上為減函數(shù),得0<a<1.函數(shù)y=loga(|x|-1)是偶函數(shù),定義域?yàn)閤|x>1或x<-1,故排除A,B;當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象是把函數(shù)y=logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到的,所以當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,排除D.所以選C.10.已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則()A.f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增B.f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱答案C解析f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).當(dāng)x(0,1)時(shí),x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,當(dāng)x(1,2)時(shí),x增大,-x2+2x減小,ln(-x2+2x)減小,即f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,2)單調(diào)遞減,故排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)閒(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故排除選項(xiàng)D.故選C.11.某公司租地建倉(cāng)庫(kù),已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比,而每月車(chē)載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比.據(jù)測(cè)算,如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù),這兩項(xiàng)費(fèi)用y1,y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站()A.5千米處B.4千米處C.3千米處D.2千米處答案A解析設(shè)倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離為x千米,由題意,得y1=k1x,y2=k2x,其中x>0.由當(dāng)x=10時(shí),兩項(xiàng)費(fèi)用y1,y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20x+45x220x·45x=8,當(dāng)且僅當(dāng)20x=45x,即x=5時(shí)取等號(hào),故選A.12.設(shè)minm,n表示m,n二者中較小的一個(gè),已知函數(shù)f(x)=x2+8x+14,g(x)=min12x-2,log24x(x>0).若x1-5,a(a-4),x2(0,+),使得f(x1)=g(x2)成立,則a的最大值為()A.-4B.-3C.-2D.0答案C解析由題意得g(x)=log24x,0<x<1,12x-2,x1,則g(x)max=g(1)=2.在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象,如圖所示.由f(x)=2得x=-6或x=-2.x1-5,a,x2(0,+),使得f(x1)=g(x2)成立,a-2.a的最大值為-2.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2018全國(guó),文13)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a=. 答案-7解析因?yàn)閒(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.14.已知奇函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意xR都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,則f(2 015)+f(2 016)=. 答案-1解析由f(x+6)=f(x),知函數(shù)f(x)是周期為6的函數(shù).又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(2015)=f(6×336-1)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2016)=f(6×336+0)=f(0)=0,所以f(2015)+f(2016)=-1.15.(2018全國(guó),文16)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,則f(-a)=. 答案-2解析令g(x)=ln(1+x2-x),則g(-x)=ln(1+x2+x),g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,g(x)為奇函數(shù).f(x)=g(x)+1.f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.f(-a)=-2.16.已知直線y=mx與函數(shù)f(x)=2-13x,x0,12x2+1,x>0的圖象恰好有三個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 答案(2,+)解析作出函數(shù)f(x)=2-13x(x0)12x2+1(x>0)的圖象,如圖所示.直線y=mx的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線,當(dāng)斜率m0時(shí),直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m>0時(shí),直線y=mx始終與函數(shù)y=2-13x(x0)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn),故要使直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn),必須使直線y=mx與函數(shù)y=12x2+1(x>0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程mx=12x2+1在x>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即方程x2-2mx+2=0的判別式=4m2-4×2>0,且2m>0,解得m>2.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2,+).三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(10分)已知函數(shù)f(x)=m+logax(a>0,且a1)的圖象過(guò)點(diǎn)(8,2)和(1,-1).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值.解(1)由f(8)=2,f(1)=-1,得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,故函數(shù)解析式為f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-1+log2(x-1)=log2x2x-1-1(x>1).因?yàn)閤2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+1x-1+22(x-1)·1x-1+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時(shí),等號(hào)成立,函數(shù)y=log2x在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,所以log2x2x-1-1log24-1=1,故當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值1.18.(12分)已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間2,3上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=g(x)x.(1)求a,b的值;(2)若當(dāng)x-1,1時(shí),不等式f(2x)-k·2x0有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因?yàn)閍>0,所以g(x)在區(qū)間2,3上是增函數(shù),故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k·2x0可化為2x+12x-2k·2x,可化為1+12x2-2·12xk.令t=12x,則kt2-2t+1.因?yàn)閤-1,1,所以t12,2.記h(t)=t2-2t+1,因?yàn)閠12,2,所以h(t)max=1.所以k1,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-,1.19.(12分)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)x(xN*)千件,需另投入成本為C(x)萬(wàn)元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=13x2+10x(萬(wàn)元);當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí),C(x)=51x+10000x-1 450(萬(wàn)元).通過(guò)市場(chǎng)分析,當(dāng)每件售價(jià)為500元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷(xiāo)售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(單位:萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?解(1)當(dāng)0<x<80,xN*時(shí),L(x)=500×1000x10000-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;當(dāng)x80,xN*時(shí),L(x)=500×1000x10000-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x,L(x)=-13x2+40x-250(0<x<80,xN*),1200-x+10000x(x80,xN*).(2)當(dāng)0<x<80,xN*時(shí),L(x)=-13(x-60)2+950,當(dāng)x=60時(shí),L(x)取得最大值L(60)=950.當(dāng)x80,xN*時(shí),L(x)=1200-x+10000x1200-2x·10000x=1200-200=1000,當(dāng)x=10000x,即x=100時(shí),L(x)取得最大值L(100)=1000>950.綜上所述,當(dāng)x=100時(shí),L(x)取得最大值1000,即年產(chǎn)量為100千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大.20.(12分)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=t+22處取得最小值-t24(t0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表達(dá)式;(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值為-5,求此時(shí)t的值.解(1)設(shè)f(x)=ax-t+222-t24(a>0).因?yàn)閒(1)=0,所以(a-1)t24=0.又因?yàn)閠0,所以a=1,所以f(x)=x-t+222-t24(t0).(2)因?yàn)閒(x)=x-t+222-t24(t0),所以當(dāng)t+22<-1,即t<-4時(shí),f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f(-1)=-1-t+222-t24=-5,所以t=-92;當(dāng)-1t+2212,即-4t-1時(shí),f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=ft+22=-t24=-5,所以t=±25(舍去);當(dāng)t+22>12,即t>-1時(shí),f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).綜上,得t=-92.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a1).(1)當(dāng)a=12時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域.(2)當(dāng)a>1時(shí),求關(guān)于x的不等式f(x)<f(1)的解集.(3)當(dāng)a=2時(shí),若不等式f(x)-log2(1+2x)>m對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,3恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)當(dāng)a=12時(shí),f(x)=log1212x-1,故12x-1>0,解得x<0,故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,0).(2)由題意知,f(x)=loga(ax-1)(a>1),定義域?yàn)閤(0,+),易知f(x)在(0,+)上為增函數(shù),由f(x)<f(1),知x>0,x<1,x(0,1).(3)設(shè)g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x1,3,設(shè)t=2x-12x+1=1-22x+1,x1,3,故2x+13,9,t=1-22x+113,79,故g(x)min=g(1)=-log23.又f(x)-log2(1+2x)>m對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,3恒成立,故m<g(x)min=-log23.m的取值范圍為(-,-log23).22.(12分)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,且f(1)=-2.(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在區(qū)間-3,3上的最大值;(3)解關(guān)于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.解(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對(duì)任意xR恒成立,故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(2)任取x1,x2(-,+),且x1<x2,則x2-x1>0.f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,f(x2)<-f(-x1).又f(x)為奇函數(shù),f(x1)>f(x2).f(x)在(-,+)內(nèi)是減函數(shù).對(duì)任意x-3,3,恒有f(x)f(-3).f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,f(-3)=-f(3)=6,f(x)在-3,3上的最大值為6.(3)f(x)為奇函數(shù),整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).f(ax2-2x)<f(ax-2).f(x)在(-,+)內(nèi)是減函數(shù),ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.當(dāng)a=0時(shí),x(-,1);當(dāng)a=2時(shí),xx|x1,且xR;當(dāng)a<0時(shí),xx2a<x<1;當(dāng)0<a<2時(shí),xxx>2a或x<1;當(dāng)a>2時(shí),xxx<2a或x>1.綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為(-,1);當(dāng)a=2時(shí),原不等式的解集為x|x1,且xR;當(dāng)a<0時(shí),原不等式的解集為x2a<x<1;當(dāng)0<a<2時(shí),原不等式的解集為xx>2a或x<1;當(dāng)a>2時(shí),原不等式的解集為xx<2a或x>1.12