專題17 任意角的三角函數(shù)一、【知識精講】1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構成一個集合S|2k，kZ終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同2弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角的弧度數(shù)公式|(l表示弧長)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°弧長公式l|r扇形面積公式Slr|r2有關角度與弧度的兩個注意點(1)角度與弧度的換算的關鍵是180°，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度3任意角的三角函數(shù)(1)定義：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin ，cos ，tan (x0)(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的正弦線、余弦線和正切線二、常用結論匯總規(guī)律多一點(1)一個口訣三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2)三角函數(shù)定義的推廣設點P(x，y)是角終邊上任意一點且不與原點重合，r|OP|，則sin ，cos ，tan (x0)(3)象限角(4)軸線角二、【典例精練】考點一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角是第二象限角，則是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)在720°0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_【答案】(1)C(2) 675°或315°【解析】(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當k為偶數(shù)時，是第一象限角；當k為奇數(shù)時，是第三象限角.(2)所有與45°終邊相同的角可表示為：45°k×360°(kZ)，則令720°45°k×360°<0°(kZ)，得765°k×360°<45°(kZ)，解得k<(kZ)，從而k2或k1，代入得675°或315°.【解法小結】1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2k(0<2)(kZ)的形式，然后再根據(jù)所在的象限予以判斷.考點二弧度制及其應用【例2】已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l.若，R10 cm，求扇形的面積.【解析】由已知得，R10，S扇形·R2××102(cm2).【解法小結】1.應用弧度制解決問題的方法：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.2.求扇形面積的關鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.考點三三角函數(shù)的概念【例3】 (1)(2018·全國卷)已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A.B.C.D.1(2) 滿足cos 的角的集合為_.【答案】(1)B(2)【解析】（1）由題意可知tan ba，又cos 2cos2sin2，5(ba)21，得(ba)2，則|ba|.答案B (2) 作直線x交單位圓于C，D兩點，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.【解法小結】1.三角函數(shù)定義的應用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.三角函數(shù)線的應用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解.【思維升華】1.在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點.|OP|r一定是正值.2.在解決簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是體現(xiàn)數(shù)學直觀想象核心素養(yǎng).【易錯注意點】1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角.2.相等的角終邊相同，但終邊相同的角不一定相等.3.已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.三、【名校新題】1.(2019·石家莊模擬)已知角(0°<360°)終邊上一點的坐標為(sin 150°，cos 150°)，則()A150° B135°C300° D60°【答案】C【解析】由sin 150°>0，cos 150°<0，可知角終邊上一點的坐標為，故該點在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sin ，因為0°<360°，所以角為300°.2. (2019·西安一中月考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，角，的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，若點A，B的坐標分別為和，則cos()的值為()A.B.C.0 D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義可得cos ，sin ，cos ，sin .所以cos()cos cossin sin .3.(2019·石家莊模擬)已知點M在角終邊的反向延長線上，且|OM|2，則點M的坐標為()A.(2cos ，2sin ) B.(2cos ，2sin )C.(2cos ，2sin ) D.(2cos ，2sin )【答案】C【解析】由題意知，M的坐標為(2cos()，2sin()，即(2cos ，2sin ).4.（2019安徽省示范高中高三測試）角的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過點P（4，y）,且sin=-35，則tan=（ ）A.-43 B.43 C.-34 D.34【答案】C【解析】因為角的終邊經(jīng)過點P（4，y）,sin=-35，所以為第四象限角，所以cos=1-sin2=45,tan=sincos=-34.故選C.5.（2018安徽合肥二模）在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由誘導公式可得：，所以，由三角函數(shù)的定義可得：，則.故選B.6.（2019河北唐山一中模擬）已知角的終邊經(jīng)過點P-8m,-6sin300，且cos=-45，則m的值為（ ）A.-12 B.12 C.-32 D.32【答案】B【解析】由題意得，點P到原點的距離r=64m2+9,cos=-8m64m2+9=-45,m>0,解得m=127.(2019·濰坊一模)若角的終邊過點A(2，1)，則sin()A.B.C.D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)定義，cos ，則sincos .8.（2018江西南昌一模）已知角的終邊經(jīng)過點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義知，所以.故選A9.（2019廣州模擬）點P的坐標為（2,0），射線OP順時針旋轉20100后與圓x2+y2=4相較于點Q，則點Q的坐標為（ ）A.-2,2 B.-3,1 C.-1,3 D.1,-3【答案】B【解析】順時針旋轉20100后，終邊所在位置是-2100，即1500，設Qx0,y0,則x0=2cos1500=-3，y0=2sin1500=1,所以Q-3,110.（2019荊州市高三八校第一次聯(lián)考）設函數(shù)，若角的終邊經(jīng)過點，則的值為（ ）A1B3C4D9【答案】B【解析】，所以11.(2019·江蘇高郵模擬)在平面直角坐標系xOy中，60°角終邊上一點P的坐標為(1，m)，則實數(shù)m的值為_【答案】【解析】60°角終邊上一點P的坐標為(1，m)，tan 60°，tan 60°，m.12.(2019·許昌調(diào)研)設是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點，且cos x，則tan _.【答案】【解析】因為是第二象限角，所以cos x<0，即x<0.又cos x，解得x3，所以tan .13.已知角的終邊經(jīng)過點(3a9，a2)，且cos 0，sin >0，則實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】(2，3【解析】cos 0，sin >0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.2<a3.14.函數(shù)y的定義域為_.【答案】(kZ)【解析】2sin x10，sin x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).x(kZ).15.已知sin <0，tan >0.(1)求角的集合；(2)求的終邊所在的象限；(3)試判斷tan sin cos 的符號.【解析】(1)由sin <0，知在第三、四象限或y軸的負半軸上；由tan >0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合為.(2)由(1)知2k<<2k，kZ，故k<<k，kZ，故的終邊在第二、四象限.(3)當在第二象限時，tan <0，sin >0，cos <0，所以tan sin cos 取正號；當在第四象限時，tan <0，sin <0，cos >0，所以tan sin cos 也取正號.綜上，tan sin cos 取正號16.(2019寧夏高三聯(lián)考)已知扇形的圓心角是，半徑是R,弧長是l.（1）若=600，R=10cm,求扇形的弧長l.（2）若扇形的周長是20cm,當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？（3）當=3，R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.【解析】（1）因為=600=3，R=10cm,所以l=10×3=103(cm).（2）由已知得，l+2R=20,所以S=12lR=1220-2RR=10R-R2=-R-52+25.當R=5時，S取得最大值，此時l=10, =2.（3）設弓形面積為S1，由題意知l=23cm,S1=12×23×2-12×22×sin3=23-3cm2.9