第1講三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值1.若sinx+4=-45,則sin2x的值為. 2.已知tanx-4=-12,則tan2x-4的值為. 3.(2018江蘇蘇州期中)已知tan-4=2,則cos2的值是. 4.(2018江蘇高三檢測(cè))已知f(x)=cosx2-4,若f()=13,則sin=. 5.已知0<y<x<,且tanxtany=2,sinxsiny=13,則x-y=. 6.(2018江蘇南通海安高級(jí)中學(xué)階段檢測(cè))設(shè)0<<<2,且cos=17,cos(-)=1314,則tan的值為. 7.(2018江蘇南通沖刺小練)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(cos,sin),B(cos,sin)是直線(xiàn)y=3x+2上的兩點(diǎn),則tan(+)的值為. 8.已知4<<2,4<<2,且sin2sin2=sin(+)cos·cos,則tan(+)的最大值為. 9.已知sin2-=35,且為第四象限角,求下列各式的值.(1)tan-4;(2)2sin2+sin2cos2.10.(2018江蘇南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角,的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊為x軸的正半軸,終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為P,Q.已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為277,點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3314.(1)求cos2的值;(2)求2-的值.答案精解精析1.答案725解析sinx+4=-45,cos2x+4=1-2sin2x+4=1-2×1625=-725,即cos2x+2=-725.-sin2x=-725.sin2x=725.2.答案-17解析tanx-4=tanx-11+tanx=-12,則tanx=13,則tan2x=2tanx1-tan2x=34,tan2x-4=tan2x-11+tan2x=-17.3.答案-45解析tan-4=tan-11+tan=2,則tan=-3,則cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-45.4.答案-79解析由f()=13得cos2-4=13.令2-4=t,則cost=13,=2t+2,則sin=sin2t+2=cos2t=2cos2t-1=2×19-1=-79.5.答案3解析由tanxtany=2,sinxsiny=13得cosxcosy=16,則cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny=16+13=12,又0<y<x<,則0<x-y<,故x-y=3.6.答案3解析由0<<<2,得0<-<2,又cos=17,cos(-)=1314,所以sin=1-cos2=437,sin(-)=1-cos2(-)=3314,則tan=sincos=43,tan(-)=sin(-)cos(-)=3313,所以tan=tan-(-)=tan-tan(-)1+tantan(-)=43-33131+43×3313=3.7.答案-3解析由題意可得sin=3cos+2,sin=3cos+2,與sin2+cos2=1和sin2+cos2=1聯(lián)立解得sin=6+24,cos=2-64,sin=2-64,cos=-6-24,則tan=sincos=-2-3,tan=sincos=2-3,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=-3.8.答案-4解析因?yàn)?<<2,4<<2,所以cos,cos,sin,sin均不為0.由sin2sin2=sin(+)coscos,得sinsintantan=sincos+cos·sin,于是tantan=1tan+1tan,即tantan=tan+tantantan,也就是tan+tan=tan2tan2,其中tan,tan均大于1.因?yàn)閠an2tan2=tan+tan2tantan,所以tantan34.令t=1-tantan(-,1-34),則tan(+)=tan+tan1-tantan=tan2tan21-tantan=t+1t-2-4,當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取等號(hào).9.解析(1)sin2-=cos=35,為第四象限角,sin=-1-cos2=-45,tan=sincos=-43.tan-4=tan-11+tan=-43-11+-43=7.(2)2sin2+sin2cos2=2sin2+2sincoscos2-sin2=2sincos-sin=2tan1-tan=2×-431-43=-87.10.解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為277,P在單位圓上,為銳角,所以cos=277,所以cos2=2cos2-1=17.(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3314,所以sin=3314.又因?yàn)闉殇J角,所以cos=1314.因?yàn)閏os=277,且為銳角,所以sin=217,因此sin2=2sincos=437,所以sin(2-)=437×1314-17×3314=32.因?yàn)闉殇J角,cos2>0,所以0<2<2,又為銳角,所以-2<2-<2,所以2-=3.1.答案725解析sinx+4=-45,cos2x+4=1-2sin2x+4=1-2×1625=-725,即cos2x+2=-725.-sin2x=-725.sin2x=725.2.答案-17解析tanx-4=tanx-11+tanx=-12,則tanx=13,則tan2x=2tanx1-tan2x=34,tan2x-4=tan2x-11+tan2x=-17.3.答案-45解析tan-4=tan-11+tan=2,則tan=-3,則cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-45.4.答案-79解析由f()=13得cos2-4=13.令2-4=t,則cost=13,=2t+2,則sin=sin2t+2=cos2t=2cos2t-1=2×19-1=-79.5.答案3解析由tanxtany=2,sinxsiny=13得cosxcosy=16,則cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny=16+13=12,又0<y<x<,則0<x-y<,故x-y=3.6.答案3解析由0<<<2,得0<-<2,又cos=17,cos(-)=1314,所以sin=1-cos2=437,sin(-)=1-cos2(-)=3314,則tan=sincos=43,tan(-)=sin(-)cos(-)=3313,所以tan=tan-(-)=tan-tan(-)1+tantan(-)=43-33131+43×3313=3.7.答案-3解析由題意可得sin=3cos+2,sin=3cos+2,與sin2+cos2=1和sin2+cos2=1聯(lián)立解得sin=6+24,cos=2-64,sin=2-64,cos=-6-24,則tan=sincos=-2-3,tan=sincos=2-3,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=-3.8.答案-4解析因?yàn)?<<2,4<<2,所以cos,cos,sin,sin均不為0.由sin2sin2=sin(+)coscos,得sinsintantan=sincos+cos·sin,于是tantan=1tan+1tan,即tantan=tan+tantantan,也就是tan+tan=tan2tan2,其中tan,tan均大于1.因?yàn)閠an2tan2=tan+tan2tantan,所以tantan34.令t=1-tantan(-,1-34),則tan(+)=tan+tan1-tantan=tan2tan21-tantan=t+1t-2-4,當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取等號(hào).9.解析(1)sin2-=cos=35,為第四象限角,sin=-1-cos2=-45,tan=sincos=-43.tan-4=tan-11+tan=-43-11+-43=7.(2)2sin2+sin2cos2=2sin2+2sincoscos2-sin2=2sincos-sin=2tan1-tan=2×-431-43=-87.10.解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為277,P在單位圓上,為銳角,所以cos=277,所以cos2=2cos2-1=17.(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3314,所以sin=3314.又因?yàn)闉殇J角,所以cos=1314.因?yàn)閏os=277,且為銳角,所以sin=217,因此sin2=2sincos=437,所以sin(2-)=437×1314-17×3314=32.因?yàn)闉殇J角,cos2>0,所以0<2<2,又為銳角,所以-2<2-<2,所以2-=3.7