第7講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，求圓C的半徑． 解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，求常數(shù)a的值． 解：由消去參數(shù)s，得x＝2y＋1. 由消去參數(shù)t，得2x＝ay＋a. 因?yàn)閘1∥l2，所以＝(a≠0)，所以a＝4. 3．(2019·南京、鹽城模擬)在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝2cos θ的圓心到直線2ρsin＝1的距離． 解：將圓ρ＝2cos θ化為普通方程為x2＋y2－2x＝0，圓心為(1，0)， 又2ρsin＝1，即2ρ＝1， 所以直線的普通方程為x＋y－1＝0， 故所求的圓心到直線的距離d＝. 4．(2019·蘇北四市期中)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ－2cos θ，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． 解：由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y－2x, 標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2. 直線l的方程化成普通方程為x－y＋1＝0. 圓心到直線l的距離為d＝＝， 所求弦長(zhǎng)AB＝2＝. 5．已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(diǎn)(1，1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程． 解：由(t為參數(shù))，得曲線C的普通方程為x2＋y2＝2.則在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，故l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. 6．(2019·江蘇省四市聯(lián)考)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(a>0，θ為參數(shù))，點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為＋1，求a的值． 解：因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為 消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y＝2x＋1. 又因?yàn)閳AC的參數(shù)方程為(a>0，θ為參數(shù))， 所以圓C的普通方程為x2＋y2＝a2. 因?yàn)閳AC的圓心到直線l的距離d＝， 故依題意，得＋a＝＋1，解得a＝1. 7．(2019·江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(四))已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ－ ρsin θ－3＝0，與x軸交于點(diǎn)P，與橢圓(θ為參數(shù))交于A，B，求|PA|·|PB|. 解：直線ρcos θ－ρsin θ－3＝0的斜率為， 令θ＝0，得ρ＝3， 所以直線與x軸的交點(diǎn)為P(3，0)． 所以直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，① 橢圓的普通方程為x2＋16y2＝16，② ①代入②得19t2＋12t－28＝0， 設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2， 因?yàn)棣?gt;0，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝. 8．(2019·南京六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，r＞0)，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝1，若圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3，求r的值． 解：圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，r＞0) ，消去參數(shù)θ得 ＋＝r2(r＞0)， 所以圓心C，半徑為r， 直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝1，化為普通方程為x＋y－＝0. 圓心C到直線x＋y－＝0的距離為d＝＝2， 因?yàn)閳AC上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3，即d＋r＝3，所以r＝3－d＝3－2＝1. 9．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，求橢圓C的離心率． 解：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，直線l的方程為x＋y＝m，圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝b2， 由題意知所以a2－b2＝2b2，a2＝3b2， 所以e＝＝＝＝. 10．(2019·江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(七))已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－1，0)，其傾斜角為α，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－6ρcos θ＋1＝0，若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求α的取值范圍． 解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得x2＋y2－6x＋1＝0， 設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的方程得(－1＋tcos α)2＋(tsin α)2－6(－1＋tcos α)＋1＝0， 即t2－8tcos α＋8＝0， 由條件得Δ＝64cos2α－32≥0，cos2α≥， 又α∈[0，π)，故α∈∪. 4