第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1.(2016·全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A. B.C. D.2解析由圓的方程x2y22x8y130得圓心坐標(biāo)為(1，4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d1，解之得a.答案A2.(2017·長春模擬)過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A.2xy50 B.2xy70C.x2y50 D.x2y70解析過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，點(diǎn)(3，1)在圓(x1)2y2r2上，圓心與切點(diǎn)連線的斜率k，切線的斜率為2，則圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.故選B.答案B3.已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是()A.2 B.4C.6 D.8解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22a，所以圓心為(1，1)，半徑r，圓心到直線xy20的距離d，故r2d24，即2a24，所以a4，故選B.答案B4.圓x22xy24y30上到直線xy10的距離為的點(diǎn)共有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析圓的方程化為(x1)2(y2)28，圓心(1，2)到直線距離d，半徑是2，結(jié)合圖形可知有3個符合條件的點(diǎn).答案C5.(2017·福州模擬)過點(diǎn)P(1，2)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A.y B.yC.y D.y解析圓(x1)2y21的圓心為(1，0)，半徑為1，以|PC|2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y. 故選B.答案B二、填空題6.(2016·全國卷) 已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|_.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，解得y1，y22，A(3，)，B(0，2).過A，B作l的垂線方程分別為y(x3)，y2x，令y0，得xC2，xD2，|CD|2(2)4.答案47.(2017·蘭州月考)點(diǎn)P在圓C1：x2y28x4y110上，點(diǎn)Q在圓C2：x2y24x2y10上，則|PQ|的最小值是_.解析把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圓C1的圓心坐標(biāo)是(4，2)，半徑長是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是(2，1)，半徑是2.圓心距d3.所以，|PQ|的最小值是35.答案358.(2017·貴陽一模)由直線yx1上的一點(diǎn)向圓(x3)2y21引切線，則切線長的最小值為_. 解析設(shè)直線上一點(diǎn)為P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，則|PQ|即切線長，MQ為圓M的半徑，長度為1，|PQ|.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線yx1上的點(diǎn)到圓心M的最小距離.設(shè)圓心到直線yx1的距離為d，則d2.所以|PM|的最小值為2.所以|PQ|.答案三、解答題9.(2015·全國卷)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)易知圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑r1，由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.10.已知直線l：ykx1，圓C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(diǎn)；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.法一(1)證明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因?yàn)?24k)228(k21)>0，所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(diǎn).(2)解設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則直線l被圓C截得的弦長|AB|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當(dāng)t0時，k，當(dāng)t0時，因?yàn)閗R，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時|AB|最小為2.法二(1)證明因?yàn)椴徽搆為何實(shí)數(shù)，直線l總過點(diǎn)P(0，1)，而|PC|<2R，所以點(diǎn)P(0，1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點(diǎn)P.所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(diǎn).(2)解由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點(diǎn)P(0，1)的弦，只有與PC(C為圓心)垂直時才最短，而此時點(diǎn)P(0，1)為弦AB的中點(diǎn)，由勾股定理，知|AB|22，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.11.(2017·衡水中學(xué)月考)兩圓x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三條公切線，若aR，bR且ab0，則的最小值為()A.1 B.3 C. D.解析x2y22axa240，即(xa)2y24，x2y24by14b20，即x2(y2b)21.依題意可得，兩圓外切，則兩圓圓心距離等于兩圓的半徑之和，則123，即a24b29，所以1，當(dāng)且僅當(dāng)，即a±b時取等號.答案A12.(2015·山東卷)一條光線從點(diǎn)(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或解析由已知，得點(diǎn)(2，3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2，3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(2，3).設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光線與圓相切，則有d1，解得k或k，故選D.答案D13.已知曲線C：x，直線l：x6，若對于點(diǎn)A(m，0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得0，則m的取值范圍為_.解析曲線C：x，是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，并且xP2，0，對于點(diǎn)A(m，0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得0，說明A是PQ的中點(diǎn)，Q的橫坐標(biāo)x6，m2，3.答案2，314.(2017·湖南省東部六校聯(lián)考)已知直線l：4x3y100，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分ANB？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解(1)設(shè)圓心C(a，0)，則2a0或a5(舍).所以圓C的方程為x2y24.(2)當(dāng)直線ABx軸時，x軸平分ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x軸平分ANB，則kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以當(dāng)點(diǎn)N為(4，0)時，能使得ANMBNM總成立.6