第2講 數(shù)列通項與求和A組夯基保分專練一、選擇題1(2019·廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列an的前n項和為Snn2n1，bn(1)nan(nN*)，則數(shù)列bn的前50項和為()A49B50C99D100解析：選A.由題意得，當n2時，anSnSn12n，當n1時，a1S13，所以數(shù)列bn的前50項和為346810969810014849，故選A.2(一題多解)(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1BCD解析：選B.法一：當n1時，S1a12a2，則a2.當n2時，Sn12an，則SnSn1an2an12an，所以，所以當n2時，數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列，所以an，所以Sn1××1，當n1時，此式也成立故選B.法二：當n1時，S1a12a2，則a2，所以S21，結合選項可得只有B滿足，故選B.3數(shù)列an中，a12，a23，an1anan1(n2，nN*)，那么a2 019()A1B2C3D3解析：選A.因為an1anan1(n2)，所以anan1an2(n3)，所以an1anan1(an1an2)an1an2(n3)所以an3an(nN*)，所以an6an3an，故an是以6為周期的周期數(shù)列因為2 019336×63，所以a2 019a3a2a1321.故選A.4(2019·鄭州市第一次質量預測)已知數(shù)列an滿足2an1an3(n1)，且a3，其前n項和為Sn，則滿足不等式|Snn6|<的最小整數(shù)n是()A8B9C10D11解析：選C.由2an1an3，得2(an11)(an1)0，即(*)，又a3，所以a31，代入(*)式，有a21，a119，所以數(shù)列an1是首項為9，公比為的等比數(shù)列所以|Snn6|(a11)(a21)(an1)6|<，又nN*，所以n的最小值為10.故選C.5(2019·江西省五校協(xié)作體試題)設Sn是數(shù)列an的前n項和，若anSn2n，2bn2an2an1，則()ABCD解析：選D.因為anSn2n，所以an1Sn12n1，得2an1an2n，所以2an2an12n1，又2bn2an2an12n1，所以bnn1，則11，故選D.6(多選)一個彈性小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回原來高度的再落下，設它第n次著地時，經(jīng)過的總路程記為Sn，則當n2時，下面說法正確的是()ASn<500 BSn500CSn的最小值為 DSn的最大值為400解析：選AC.第一次著地時，共經(jīng)過了100 m，第二次著地時，共經(jīng)過了m，第三次著地時，共經(jīng)過了m，以此類推，第n次著地時，共經(jīng)過了m.所以Sn100100400.Sn是關于n的增函數(shù)，所以當n2時，Sn的最小值為S2，且S2.又Sn100400<100400500.故選AC.二、填空題7古代數(shù)學著作九章算術有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為_解析：設該女子第一天織布x尺，則5，解得x，所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為.答案：8(一題多解)已知Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn1Snan3，a4a523，則S8_解析：法一：由Sn1Snan3得an1an3，則數(shù)列an是公差為3的等差數(shù)列，又a4a5232a17d2a121，所以a11，S88a1d92.法二：由Sn1Snan3得an1an3，則數(shù)列an是公差為3的等差數(shù)列，S892.答案：929(2019·江西九江統(tǒng)考改編)設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，2Snan1，bn(1)n·(log3an)2，則an_，數(shù)列bn的前2n項和為_解析：根據(jù)題意，數(shù)列an滿足2Snan1，則當n2時，有2Sn1an，由可得(an13an)0，所以an13an0，即an13an(n2)由2Snan1，可求得a23，a23a1，則數(shù)列an的首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an3n1，bn(1)n·(log3an)2(1)n·(log33n1)2(1)n(n1)2，則b2n1b2n(2n2)2(2n1)24n3.所以數(shù)列bn的前2n項和T2n159(4n3)2n2n.答案：3n12n2n三、解答題10(2019·廣州市綜合檢測(一)已知an是等差數(shù)列，且lg a10，lg a41.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若a1，ak，a6是等比數(shù)列bn的前3項，求k的值及數(shù)列anbn的前n項和解：(1)因為lg a10，lg a41，所以a11，a410.設等差數(shù)列an的公差為d，則d3.所以ana13(n1)3n2.(2)由(1)知a11，a616，因為a1，ak，a6是等比數(shù)列bn的前3項，所以aa1a616.又an3n2>0，所以ak4.因為ak3k2，所以3k24，得k2.所以等比數(shù)列bn的公比q4.所以bn4n1.所以anbn3n24n1.所以數(shù)列anbn的前n項和為Snn2n(4n1)11(2019·江西八所重點中學聯(lián)考)設數(shù)列an滿足a11，an1(nN*)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設bn1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)證明：因為an1，所以.又a11，所以1，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知1(n1)，所以an2，所以bn111，所以Tnb1b2b3bn，所以數(shù)列bn的前n項和Tn.12(2019·福建省質量檢查)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2ann.(1)求證數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求an；(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3a2，b7a3，求數(shù)列anbn的前n項和解：(1)當n1時，S12a11，所以a11.因為Sn2ann，所以當n2時，Sn12an1(n1)，得an2an2an11，所以an2an11，所以2.所以an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列所以an12·2n1，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37.設bn的公差為d，則b7b3(73)·d，所以d1.所以bnb3(n3)·dn.所以anbnn(2n1)n·2nn.設數(shù)列n·2n的前n項和為Kn，數(shù)列n的前n項和為Tn，則Kn22×223×23n·2n，2Kn222×233×24n·2n1，得，Kn222232nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以Kn(n1)·2n12.又Tn123n，所以KnTn(n1)·2n12，所以數(shù)列anbn的前n項和為(n1)·2n12.B組大題增分專練1(2019·江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列an滿足a11，an1(nN*)(1)求證：數(shù)列a是等差數(shù)列，并求出an的通項公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項和解：(1)由an1得aa2，且a1，所以數(shù)列a是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以a1(n1)×22n1，又由已知易得an>0，所以an(nN*)(2)bn，故數(shù)列bn的前n項和Tnb1b2bn(1)()()1.2(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足1(n2，nN)，且a11.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)記bn，Tn為bn的前n項和，求使Tn成立的n的最小值解：(1)由已知有1(n2，nN)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，又1，所以n，即Snn2.當n2時，anSnSn1n2(n1)22n1.又a11也滿足上式，所以an2n1.(2)由(1)知，bn，所以Tn.由Tn得n24n2，即(n2)26，所以n5，所以n的最小值為5.3(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知an是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，求bn的前n項和Tn.解：(1)由題意知，2Snan，即2Snana1，當n1時，由式可得S11；當n2時，anSnSn1，代入式，得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1.所以S是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，S1n1n.因為an的各項都為正數(shù)，所以Sn，所以anSnSn1(n2)，又a1S11，所以an.(2)bn(1)n()，當n為奇數(shù)時，Tn1(1)()()()；當n為偶數(shù)時，Tn1(1)()()().所以bn的前n項和Tn(1)n.4(2019·高考天津卷)設an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求an和bn的通項公式；(2)設數(shù)列cn滿足c11，cn其中kN*.求數(shù)列a2n(c2n1)的通項公式；求 aici（nN*）.解：（1）設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意得解得故an4（n1）×33n1，bn6×2n13×2n.,所以，an的通項公式為an3n1，bn的通項公式為bn3×2n.（2）a2n（c2n1）a2n（bn1）（3×2n1）（3×2n1）9×4n1.,所以，數(shù)列a2n（c2n1）的通項公式為a2n（c2n1）9×4n1. aici aiai（ci1） ai a2i（ci1）2n×4×3(9×4i1)(3×22n15×2n1)9×n27×22n15×2n1n12(nN*) - 9 -