第1講概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列A組夯基保分專練一、選擇題1(2019·唐山市摸底考試)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(，2)，若P(<2)0.2，P(2<<6)0.6，則()A6B5C4D3解析：選C.由題意可知，P(<6)P (<2)P(2<<6)0.20.60.8，所以P(>6)10.80.2，所以P(<2)P(>6)，所以4，故選C2用1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個(gè)位，則出現(xiàn)a1<a2<a3>a4>a5特征的五位數(shù)的概率為()ABCD解析：選B.1，2，3，4，5可組成A120個(gè)不同的五位數(shù)，其中滿足題目條件的五位數(shù)中，最大的5必須排在中間，左、右各兩個(gè)數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿足條件的五位數(shù)有CC6個(gè)，故出現(xiàn)a1<a2<a3>a4>a5特征的五位數(shù)的概率為.3(2019·福建省質(zhì)量檢查)某商場通過轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的質(zhì)地均勻的6等分的圓盤進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，當(dāng)指針指向陰影區(qū)域時(shí)為中獎(jiǎng)規(guī)定每位顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，但中獎(jiǎng)1次就停止抽獎(jiǎng)假設(shè)每次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則顧客中獎(jiǎng)的概率是()ABCD解析：選D.記顧客中獎(jiǎng)為事件A，恰抽1次就中獎(jiǎng)為事件A1，恰抽2次中獎(jiǎng)為事件A2，恰抽3次中獎(jiǎng)為事件A3，每次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為，所以P(A)P(A1)P(A2)P(A3)×××，故選D.4(2019·湛江模擬)某人連續(xù)投籃5次，其中3次命中，2次未命中，則他第2次和第3次均命中的概率是()ABCD解析：選A.某人連續(xù)投籃5次，其中3次命中，2次未命中，所以基本事件總數(shù)nCC10，他第2次和第3次均命中包含的基本事件個(gè)數(shù)mCCC3，所以他第2次和第3次均命中的概率P.故選A.5某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p, 各成員的支付方式相互獨(dú)立設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，則p()A0.7B0.6C0.4D0.3 解析：選B.由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p)2p2，所以p0.5，所以p0.6.6(多選)(2019·山東煙臺(tái)期中)某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格則下列選項(xiàng)正確的是()A答對0題和答對3題的概率相同，都為B答對1題的概率為C答對2題的概率為D合格的概率為解析：選CD.設(shè)此人答對題目的個(gè)數(shù)為，則0，1，2，3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，則答對0題和答對3題的概率相同，都為，故A錯(cuò)誤；答對1題的概率為，故B錯(cuò)誤；答對2題的概率為，故C正確；合格的概率PP(2)P(3)，故D正確故選CD.二、填空題7(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一)若8件產(chǎn)品中包含6件一等品，從中任取2件，則在已知取出的2件產(chǎn)品中有1件不是一等品的條件下，另1件是一等品的概率為_解析：設(shè)事件“從8件產(chǎn)品中取出的2件產(chǎn)品中有1件不是一等品”為A，事件“從8件產(chǎn)品中取出的2件產(chǎn)品中有1件是一等品”為B，則P(A)，P(AB)，所以另1件是一等品的概率為P(B|A).答案：8某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射滿3次為止設(shè)甲每次擊中的概率為p(p0)，射擊次數(shù)為，若的均值E()>，則p的取值范圍是_解析：由已知得，P(1)p，P(2)p(1p)，P(3)(1p)2，則E()p2(1p)p3(1p)2p23p3>，解得p>，或p<，又因?yàn)閜(0，1)，所以p(0，)答案：(0，)9(2019·山東德州齊河一中期中)甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，則恰有1人解出這道題目的概率是_，這道題被解出的概率是_解析：設(shè)“甲解出這道題目”為事件A，“乙解出這道題目”為事件B，則P(A)，P(B)，P(A)，P(B).則“恰有1人解出這道題目”為事件A BA B，所以P(A BAB)P(A)P(B)P(A)P(B)××.“這道題被解出”為事件C，所以P(C)1P(A B)1P(A)P(B)1×.答案：三、解答題10(2019·福州市第一學(xué)期抽測)某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2019年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎(jiǎng)派送禮品活動(dòng)為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎(jiǎng)送禮品的活動(dòng)方案，該超市面向該市某高中學(xué)生征集活動(dòng)方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用方案如下：將一個(gè)4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為，記抽獎(jiǎng)一次中獎(jiǎng)的禮品價(jià)值為.(1)求P(3)；(2)凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎(jiǎng)記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值50元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值30元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值10元的禮品，其他情況不獲獎(jiǎng)求某顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的禮品價(jià)值的分布列與數(shù)學(xué)期望解：(1)64個(gè)小正方體中，三面著色的有8個(gè)，兩面著色的有24個(gè)，一面著色的有24個(gè)，另外8個(gè)沒有著色，所以P(3).(2)設(shè)為抽取的面數(shù)之和，為獲得的禮品價(jià)值，則的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，的取值為50，30，10，0，P(50)P(6)，P(30)P(5)，P(10)P(4)，P(0)1.所以的分布列如下：5030100P所以E()50×30×10×0×.11(2019·廣州市調(diào)研測試)某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在20，40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表圖1：設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45)頻數(shù)2184814162(1)請估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；(2)該企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在20，25)或30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)根據(jù)題圖1可知，設(shè)備改造前樣本的頻數(shù)分布表如下，質(zhì)量指標(biāo)值15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45)頻數(shù)416401218104×17.516×22.540×27.512×32.518×37.510×42.53 020.樣本產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2，根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)總體質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2.(2)根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布，樣本中一、二、三等品的頻率分別為，故從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件，是一、二、三等品的概率分別是，.隨機(jī)變量X的取值為240，300，360，420，480.P(X240)×，P(X300)C××，P(X360)C×××，P(X420)C××，P(X480)×，所以隨機(jī)變量X的分布列為X240300360420480P所以E(X)240×300×360×420×480×400.12(2018·高考全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用()若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；()以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)Cp2(1p)18.因此f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)令f(p)0，得p0.1.當(dāng)p(0，0.1)時(shí)，f(p)>0；當(dāng)p(0.1，1)時(shí)，f(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p00.1.(2)由(1)知，p0.1.(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180，0.1)，X20×225Y，即X4025Y.所以EXE(4025Y)4025EY490.(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)B組大題增分專練1(2019·廣州市綜合檢測(一)為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶)階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍/度0，210(210，400(400，)某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：居民用電戶編號12345678910用電量/度538690124132200215225300410(1)若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計(jì)算某居民用電戶用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？(2)現(xiàn)要從這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到k戶用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值解：(1)210×0.5(400210)×0.6(410400)×0.8227(元)(2)設(shè)取到第二階梯電量的戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0，1，2，3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，故的分布列為0123P所以E()0×1×2×3×.(3)設(shè)從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯的有X戶，則XB，可知P(Xk)C·(k0，1，2，3，10)，解得k，kN*，所以當(dāng)k6時(shí)用電量為第一階梯的可能性最大，所以k6.2(2019·高考北京卷)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下： 支付金額(元)支付方式(0，1 000(1 000，2 000大于2 000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由解：(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有189330人，僅使用B的學(xué)生有1014125人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有1003025540人所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為0.4.(2)X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”由題設(shè)知，事件C、D相互獨(dú)立，且P(C)0.4，P(D)0.6.所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24.P(X1)P(CDCD)P(C)P(D)P(C)P(D)0.4×(10.6)(10.4)×0.60.52，P(X0)P(C D)P(C)P(D)0.24，所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×0.241×0.522×0.241.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E).答案示例1：可以認(rèn)為有變化理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化所以可以認(rèn)為有變化答案示例2：無法確定有沒有變化理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化3(2019·昆明市質(zhì)量檢測)某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的理念，鼓勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡種植果樹某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B，C的自然成活率均為p(0.7p0.9)(1)任取樹苗A，B，C各一棵，估計(jì)自然成活的棵數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)將(1)中的E(X)取得最大值時(shí)p的值作為B種樹苗自然成活的概率該農(nóng)戶決定引種n棵B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活求一棵B種樹苗最終成活的概率；若每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵樹苗虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？解：(1)依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3.則P(X0)0.2(1p)20.2p20.4p0.2，P(X1)0.8×(1p)20.2×C×p×(1p)0.8(1p)20.4p(1p)0.4p21.2p0.8，P(X2)0.2p20.8×C×p×(1p)0.2p21.6p(1p)1.4p21.6p，P(X3)0.8p2.X的分布列為X0123P0.2p20.4p0.20.4p21.2p0.81.4p21.6p0.8p2E(X)0×(0.2p20.4p0.2)1×(0.4p21.2p0.8)2×(1.4p21.6p)3×0.8p22p0.8.(2)當(dāng)p0.9時(shí)，E(X)取得最大值一棵B種樹苗最終成活的概率為0.90.1×0.75×0.80.96.記Y為n棵樹苗的成活棵數(shù)，M(n)為n棵樹苗的利潤，則YB(n，0.96)，E(Y)0.96n，M(n)300Y50(nY)350Y50n，E(M(n)350E(Y)50n286n，要使E(M(n)200 000，則有n>699.所以該農(nóng)戶至少引種700棵B種樹苗，才可獲利不低于20萬元4為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得xxi9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i1，2，16.用樣本平均數(shù)x作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3<Z<3)0.997 3.0997 3160.957 7，0.09.解：(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 3，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 7，故XB(16，0.002 7)因此P(X1)1P(X0)10.997 3160.042 3.X的數(shù)學(xué)期望為EX16×0.002 70.043 2.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 7，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.042 3，發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的(ii)由x9.97，s0.212，得的估計(jì)值為9.97，的估計(jì)值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.979.22)10.02，因此的估計(jì)值為10.02.x16×0.212216×9.9721 591.134，剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.1349.22215×10.022)0.008，因此的估計(jì)值為0.09. - 11 -