專題檢測（十） 空間幾何體、三視圖、表面積與體積A組“124”滿分練一、選擇題1.(2019·福州市第一學(xué)期抽測)如圖，為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是()解析：選B由題意，根據(jù)切削后的幾何體及其正視圖，可得相應(yīng)的側(cè)視圖的切口為橢圓，故選B.2.如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是()A.B.C. D.解析：選B連接A1C1，則點(diǎn)P在上、下底面的正投影落在A1C1或AC上，所以PAC在上底面或下底面的正投影為，在前面、后面、左面、右面的正投影為.故選B.3.(2019·武漢市調(diào)研測試)如圖，在棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A­BC1M 的體積VA­BC1M()A. B.C. D.解析：選CVA­BC1MVC1­ABMSABM·C1C×AB×AD×C1C.故選C.4.設(shè)一個(gè)球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的體積為()A.100B.C. D.解析：選D因?yàn)榍忻鎴A的半徑r4，球心到切面的距離d3，所以球的半徑R5，故球的體積VR3×53，即該西瓜的體積為.故選D.5.(2019屆高三·開封高三定位考試)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A.4 B.2C. D.解析：選B由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為，由tan ，得，故底面面積為××22，則該幾何體的體積為×32.故選B.6.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3且圓心角為的扇形，此圓錐的體積為()A. B.C.2 D.2解析：選B設(shè)圓錐的母線為R，底面圓的半徑為r，扇形的圓心角為，則SR2××R23，解得R3，底面圓的半徑r滿足，解得r1，所以這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)2，故圓錐的體積Vr2h.故選B.7.已知矩形ABCD，AB2BC，把這個(gè)矩形分別以AB，BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面積分別記為S1，S2，則S1與S2的比值等于()A. B.1C.2 D.4解析：選B設(shè)BCa，AB2a，所以S12·a·2a4a2，S22·2a·a4a2，S1S21.故選B.8.(2019·廣東省七校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積和體積分別是()A.246和40 B.246和72C.646和40 D.646和72解析：選C把三視圖還原成幾何體，如圖所示.由題意知S四邊形ABCD12，S8，S6，S(26)×4×16，S(26)×3×12.易得B1A1SA1，B1C1SC1，且SA14，SC15，所以S3×4×6，S4×5×10，所以該幾何體的表面積為12861612610646.在棱SD上取一點(diǎn)D1，使得DD12，連接A1D1，C1D1，則該幾何體的體積VVV×12×412×240.故選C.9.(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個(gè)直角邊長為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為()A.1 B.C.2 D.2解析：選B根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個(gè)直角邊長分別是2和的直角三角形(如圖所示)，根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V××3.故選B.10.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形ABCD為矩形，棱EFAB.若此幾何體中，AB4，EF2，ADE和BCF都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的表面積為()A.8 B.88C.62 D.862解析：選B如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，則PFBC，過F作FQAB，垂足為Q.因?yàn)锳DE和BCF都是邊長為2的等邊三角形，且EF AB，所以四邊形ABFE為等腰梯形，F(xiàn)P，則BQ(ABEF)1，F(xiàn)Q ，所以S梯形EFBAS梯形EFCD×(24)×3，又SADESBCF×2×，S矩形ABCD4×28，所以該幾何體的表面積S3×2×2888.故選B.11.古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成.一個(gè)“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個(gè)簡單的組合體)的體積為()A.63 B.72C.79 D.99解析：選A由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為×32×5××3363.故選A.12.已知三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8.若平面ABC截球O所得截面的面積為9，則球O的表面積為()A.10 B.25C.50 D.100解析：選D設(shè)球O的半徑為R，由平面ABC截球O所得截面的面積為9，得ABC的外接圓的半徑為3.設(shè)該外接圓的圓心為D，因?yàn)锳BBC，所以點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以DC3.因?yàn)镻A平面ABC，易證PBBC，所以PC為球O的直徑.又PA8，所以O(shè)DPA4，所以ROC 5，所以球O的表面積為S4R2100.故選D.二、填空題13.(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測一)已知一所有棱長都是的三棱錐，則該三棱錐的體積為_.解析：記所有棱長都是的三棱錐為P­ABC，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，作POAD于點(diǎn)O，則PO平面ABC，且OP×，故三棱錐P­ABC的體積VSABC·OP××()2×.答案：14.如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn).若AA14，AB2，則四棱錐B­ACC1D的體積為_.解析：取AC的中點(diǎn)O，連接BO(圖略)，則BOAC，所以BO平面ACC1D.因?yàn)锳B2，所以BO.因?yàn)镈為棱AA1的中點(diǎn)，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D×(24)×26，所以四棱錐B­ACC1D的體積為×6×2.答案：215.如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大值是_.解析：設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為，則r4cos ，圓柱的高為8sin .所以圓柱的側(cè)面積為32sin 2.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，sin 21，圓柱的側(cè)面積最大，所以圓柱的側(cè)面積的最大值為32.答案：3216.(2019·江西省五校協(xié)作體試題)某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是一個(gè)上底為2，下底為4的直角梯形，俯視圖是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，則該幾何體的體積為_.解析：把三視圖還原成幾何體ABC­DEF，如圖所示，在AD上取點(diǎn)G，使得AG2，連接GE，GF，則把幾何體ABC­DEF分割成三棱柱ABC­GEF和三棱錐D­GEF，所以VABC­DEFVABC­GEFVD­GEF4×2×4×2.答案：B組“53”提速練1.(2019·福州市質(zhì)量檢測)棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1木塊的直觀圖如圖所示，平面過點(diǎn)D且平行于平面ACD1，則該木塊在平面內(nèi)的正投影面積是()A.B.C. D.1解析：選A棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1木塊在平面內(nèi)的正投影是三個(gè)全等的菱形，如圖，正投影可以看成兩個(gè)邊長為的等邊三角形，所以木塊在平面內(nèi)的正投影面積是2××××.故選A.2.在棱長為3的正方體ABCD­A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且，M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐M­PBC的體積為()A.1 B.C. D.與M點(diǎn)的位置有關(guān)解析：選B，點(diǎn)P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的，即為1.M為線段B1C1上的點(diǎn)，SMBC×3×3，VM­PBCVP­MBC××1.故選B.3.(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)三棱錐S­ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，已知SAa，SBb，SC2，且2ab，則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為()A. B.C.4 D.6解析：選A由題意，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，因?yàn)镾A，SB，SC兩兩垂直，所以以SA，SB，SC為棱構(gòu)造長方體，其體對(duì)角線即三棱錐的外接球的直徑，因?yàn)镾Aa，SBb，SC2，所以4R2a2b24a245(a1)2，所以a1時(shí)，(4R2)min，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為.故選A.4.(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知正三角形ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是()A. B.2C. D.3解析：選C設(shè)正三角形ABC的中心為O1，連接OO1，OA，O1A，由題意得O1O平面ABC，O1O1，OA2，在RtO1OA中，O1A，AB3.E為AB的中點(diǎn)，AE.連接OE，則OEAB.過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑r，可得截面圓面積的最小值為r2.故選C.5.(2019·全國卷)已知三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF90°，則球O的體積為()A.8 B.4C.2 D.解析：選D設(shè)PAPBPC2a，則EFa，F(xiàn)C，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PEC與AEC互補(bǔ)，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直徑2R ，R，VR3×.故選D.6.(2019·全國卷)已知ACB90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_.解析：如圖，過點(diǎn)P作PO平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離.再過O作OEAC于E，OFBC于F，連接PC，PE，PF，則PEAC，PFBC.又PEPF，所以O(shè)EOF，所以CO為ACB的平分線，即ACO45°.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以O(shè)E1，所以PO .答案：7.(2019·河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟測評(píng)改編)已知一個(gè)高為1的三棱錐，各側(cè)棱長都相等，底面是邊長為2的等邊三角形，則三棱錐的表面積為_，若三棱錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為_.解析：該三棱錐側(cè)面的斜高為 ，則S側(cè)3××2×2，S底××2，所以三棱錐的表面積S表23.由題意知，當(dāng)球與三棱錐的四個(gè)面都相切時(shí)，其體積最大.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則三棱錐的體積V錐S表·rS底·1，所以3r，所以r，所以三棱錐的內(nèi)切球的體積最大為Vmaxr3.答案：38.已知在正四棱錐S­ABCD中，SA6，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為_.解析：設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為a，高為h，因?yàn)樵谡睦忮FS­ABCD中，SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱錐的體積VS­ABCDa2h72hh3，令y72hh3，則y722h2，令y>0，得0<h<6，令y<0，得h>6，所以當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為6.答案：6- 9 -