第13講函數(shù)與方程夯實基礎(chǔ)【p29】【學(xué)習(xí)目標】1結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷根的存在性與根的個數(shù)2利用函數(shù)的零點求解參數(shù)的取值范圍【基礎(chǔ)檢測】1函數(shù)f(x)exx4的零點所在的區(qū)間為()A(1，0) B(1，2)C(0，1) D(2，3)【解析】因為yex與yx4都是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，f(1)e3<0，f(2)e22>0，f(1)f(2)<0，由零點存在定理可得有且僅有一個零點x0(1，2)【答案】B2下列圖象表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是()【解析】A中函數(shù)沒有零點，因此不能用二分法求零點；B中函數(shù)的圖象不連續(xù)，因此不能用二分法求零點；D中函數(shù)在x軸下方?jīng)]有圖象，因此不能用二分法求零點，故選C.【答案】C3函數(shù)f(x)2|x|logx的零點個數(shù)為()A0 B1 C2 D3【解析】f(x)2|x|logx的定義域為(0，)，f(x)2|x|logx2xlogx2xlog2x.又函數(shù)y2x和ylog2x在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)2xlog2x在(0，)上單調(diào)遞增又f2log2 22<0，f(1)2>0，由零點存在性定理知函數(shù)f(x)在上有唯一零點【答案】B4設(shè)f(x)3ax2a1，若存在x0(1，1)，使f(x0)0，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B(，1)C. D.【解析】f(x)ax2a1，所以函數(shù)有且只有一個零點，若存在x0(1，1)，使f(x0)0，則f(1)·f(1)<0，即(3a2a1)·(3a2a1)<0，即(5a1)·(a1)<0，解得a<1或a>，故實數(shù)a的取值范圍是.【答案】C5已知函數(shù)f(x)若方程f(x)2有兩個解，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】當x1時，令f(x)2，解得xe，所以方程f(x)2在1，)上有一個解，則x<1時，只有一個解，令f(x)2，即x24xa20在x<1時，只有一個解，即函數(shù)yx24xa2在此區(qū)間內(nèi)只有一個零點因為函數(shù)對稱軸為x2，且圖象開口朝上，所以x<1時函數(shù)單調(diào)遞減，所以根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，當x1時，函數(shù)值小于0，即14a2<0，解得a<5.【答案】(，5)【知識要點】1函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x)，我們把使_f(x)0_的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(2)方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有_零點_(3)函數(shù)零點的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是_連續(xù)不斷_的一條曲線，并且有_f(a)·f(b)<0_，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間_(a，b)_內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根2二次函數(shù)yf(x)ax2bxc(a>0)零點的分布根的分布(m<n<p為常數(shù))圖象滿足條件x1<x2<mm<x1<x2x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<nm<x1<n<x2<p只有一根在(m，n)之間或f(m)·f(n)<0典 例 剖 析【p29】考點1函數(shù)零點區(qū)間的判定和求解(1)函數(shù)f(x)ln(x1)的零點所在的大致區(qū)間為()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】易知函數(shù)f(x)ln(x1)在(0，)上單調(diào)遞增，且f(1)ln 22<0，f(2)ln 3>0.即f(1)·f(2)<0，所以函數(shù)f(x)ln(x1)的零點所在的大致區(qū)間為(1，2)【答案】B(2)函數(shù)f(x)exx的零點所在的區(qū)間為()A. B.C. D.【解析】函數(shù)f(x)exx的圖象是連續(xù)的，且：f(1)e1(1)e1>0，fe>0，f(0)e001>0，fe>0，f(1)e111<0，由函數(shù)零點存在定理可得函數(shù)零點所在的區(qū)間為.【答案】D(3)設(shè)函數(shù)yx3與y2x1的圖象的交點為，則x0所在的區(qū)間是()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】設(shè)f(x)x32x1，f121<0，f841>0，ff<0，所以函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點，即函數(shù)yx3與y2x1的圖象的交點橫坐標x0所在的區(qū)間是.【答案】B【點評】函數(shù)零點的判定方法：(1)定義法：使用零點存在性定理，函數(shù)yf(x)必須在區(qū)間a，b上是連續(xù)的，當f(a)·f(b)0時，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(2)圖象法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數(shù)f(x)的零點考點2函數(shù)零點個數(shù)的判斷和求解(1)函數(shù)y(x1)2loga x(其中a>1)零點的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3【解析】函數(shù)y(x1)2loga x(其中a>1)零點的個數(shù)就是y(x1)2的圖象與yloga x(其中a>1)圖象交點個數(shù)，在同一坐標系內(nèi)畫出y(x1)2的圖象與yloga x(其中a>1)圖象，如圖，由圖可知，y(x1)2的圖象與yloga x(其中a>1)圖象有兩個交點，所以函數(shù)y(x1)2loga x(其中a>1)零點的個數(shù)是2.【答案】C(2)關(guān)于x的方程coslg|x|0的實數(shù)根個數(shù)為()A6 B8 C10 D12【解析】coslg|x|0即coslg|x|，令y1cos，y2lg|x|，如圖畫出y1，y2的圖象，結(jié)合圖象可得y1與y2有10個交點，方程coslg|x|0的實數(shù)根個數(shù)為10個【答案】C(3)已知以T4為周期的函數(shù)f(x)若方程f(x)mx恰有5個實數(shù)解，則正實數(shù)m的取值范圍是_【解析】因為當x1，1時，將函數(shù)y化為方程x2y21(y0)，其圖象為半圓，如圖所示，同時在坐標系中作出當x(1，3的圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象如圖，由圖易知直線ymx與第二個半圓(x4)2y21(y0)相交，而與第二段折線無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解，將ymx代入(x4)2y21得(1m2)x28x150，令6460(1m2)>0，得m2<.又當x6時，6m>1，m>，所以m.【答案】【點評】判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)直接法：解方程f(x)0，方程有幾個解，函數(shù)f(x)就有幾個零點；(2)圖象法：畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；(3)將函數(shù)f(x)拆成兩個常見函數(shù)h(x)和g(x)的差，從而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)yh(x)與函數(shù)yg(x)的圖象的交點個數(shù)；(4)二次函數(shù)的零點問題，通過相應(yīng)的二次方程的判別式來判斷考點3二次函數(shù)的零點問題(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x23x，則函數(shù)g(x)f(x)x3的零點的集合為()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3【解析】f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x23x，令x<0，則x>0，f(x)x23xf(x)，f(x)x23x，f(x)g(x)f(x)x3，g(x)令g(x)0，當x0時，x24x30，解得x1或x3，當x0時，x24x30，解得x2，函數(shù)g(x)f(x)x3的零點的集合為2，1，3【答案】D(2)已知f(x)x2kx|x21|，若f(x)在(0，2)上有兩個不同的零點x1，x2，則k的取值范圍是_【解析】不妨設(shè)0<x1<x2<2，f(x)f(x)在(0，1是單調(diào)函數(shù)，故f(x)0在(0，1上至多一個解；若1<x1<x2<2，則x1x2<0，故不符合題意；0<x11<x2<2，由f(x1)0可得k，k1，由f(x2)0可得k2x2，<k<1，綜上，k的取值范圍是.【答案】【點評】解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組考點4函數(shù)零點的應(yīng)用(1)已知函數(shù)f(x)exx22x，g(x)ln x2，h(x)x2，且1<x<3，若f(a)g(b)h(c)0，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是()Aa<b<c Bb<a<cCa<c<b Dc<b<a【解析】同一坐標系內(nèi)，分別作出函數(shù)yex，yx22x，yln x，y2，yx的圖象，如圖可得a是yex，yx22x圖象交點橫坐標；b是yln x，y2圖象交點橫坐標；c是y2，yx圖象交點橫坐標；即a，b，c分別是圖中點A，B，C的橫坐標，由圖象可得，a<c<b.【答案】C(2)已知函數(shù)f(x)若a，b，c均不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()A(0，9) B(2，9)C(9，11) D(2，11)【解析】先作函數(shù)f(x)圖象，如圖，由圖可得ab1，c(9，11)，abcc(9，11)【答案】C(3)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)0，且當x0，1時，f(x)x·ex，若在區(qū)間1，3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)kx2k有且僅有3個零點，則實數(shù)k的取值范圍是_【解析】由題意，函數(shù)滿足f(x)f(x2)0，即f(x)f(x2)，即函數(shù)f(x)的周期為2，當x0，1時，f(x)x·ex，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且f(0)0，f(1)e，當x1，0時，f(x)f(x)x·ex，由g(x)f(x)kx2k0，可得函數(shù)yf(x)與函數(shù)yk(x2)在1，3上的圖象有且僅有3個交點，由圖象可知當x1時，f(1)e，當x3時，f(3)f(1)e，即B(1，e)，C(3，e)，當直線yk(x2)經(jīng)過點B(1，e)時，此時兩個函數(shù)有2個交點，此時e3k，解得k，當直線yk(x2)經(jīng)過點C(3，e)時，此時兩個函數(shù)有4個交點，此時e5k，解得k，所以要使得函數(shù)g(x)f(x)kx2k有且僅有3個零點，則直線的斜率滿足k，即實數(shù)k的取值范圍是.【答案】方 法 總 結(jié)【p30】1利用函數(shù)yf(x)的零點來研究方程f(x)0的根的分布情況，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)此時，要構(gòu)造合理的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值的情況判斷其零點情況，若要知道零點個數(shù)，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性2解決一元二次方程根的分布問題，先構(gòu)造二次函數(shù)，再作出符合根的分布的二次函數(shù)的圖象，由圖象直觀可得出符合根的分布的必要條件，進而證明(或?qū)で?它也是其充分條件走 進 高 考【p30】1(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A1，0) B0，)C1，) D1，)【解析】函數(shù)g(x)f(x)xa存在2個零點，即關(guān)于x的方程f(x)xa有2個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線yxa有2個交點，作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，a1，解得a1.【答案】C2(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當x0時，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.【解析】(1)當a1時，f(x)1等價于(x21)ex10.設(shè)函數(shù)g(x)(x21)ex1，則g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.當x1時，g(x)<0，所以g(x)在(0，)單調(diào)遞減而g(0)0，故當x0時，g(x)0，即f(x)1.(2)設(shè)函數(shù)h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一個零點當且僅當h(x)在(0，)只有一個零點()當a0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；()當a>0時，h(x)ax(x2)ex.當x(0，2)時，h(x)<0；當x(2，)時，h(x)>0.所以h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增故h(2)1是h(x)在(0，)的最小值若h(2)>0，即a<，h(x)在(0，)沒有零點；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一個零點；若h(2)<0，即a>，由于h(0)1，所以h(x)在(0，2)有一個零點，由(1)知，當x>0時，ex>x2，所以h(4a)11>11>0.故h(x)在(2，4a)有一個零點，因此h(x)在(0，)有兩個零點綜上，f(x)在(0，)只有一個零點時，a.考 點 集 訓(xùn)【p190】A組題1函數(shù)f(x)exx22在區(qū)間(2，1)內(nèi)零點的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4【解析】令exx220，得exx22，畫出yex，yx22的圖象如下圖所示，由圖可知，圖象有兩個交點，故原函數(shù)有2個零點【答案】B2函數(shù)f(x)ln(x)x2的零點所在區(qū)間為()A(4，3) B(3，e)C(e，2) D(2，1)【解析】f(4)ln 4>0，f(3)ln 31>0，f(e)1<0，f(2)ln 2<0，f(1)<0由零點存在性定理，f(3)f(e)<0，所以零點所在區(qū)間為(3，e)【答案】B3若方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】令fx2axa，方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，則f42aa4a<0，解得a>4.【答案】A4已知函數(shù)f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零點依次為a，b，c，則()Aabc BcbaCcab Dbac【解析】在同一平面直角坐標系下分別畫出函數(shù)y2x，ylog3x，y，yx的圖象，如圖，觀察它們與yx的交點可知abc.【答案】A5已知函數(shù)f(x)若函數(shù)f(x)a在R上有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】函數(shù)f(x)在(，0)上遞減，在(0，2)和2，)上遞增，如圖，f(2)2251，作直線ya，它與f(x)的圖象有三個交點，則1aln 2.【答案】1，ln 2)6函數(shù)f(x)sinlg x的零點個數(shù)為_【解析】函數(shù)f(x)sinlg x的零點個數(shù)，就是ylg x與ycos 2x圖象交點個數(shù)，同一坐標系內(nèi)作出ylg x與ycos 2x圖象，如圖由圖可知lg x與ycos 2x圖象有7個交點，所以函數(shù)f(x)sinlg x的零點個數(shù)為7.【答案】77已知函數(shù)y的圖象與函數(shù)ykx2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_【解析】y函數(shù)ykx2的圖象恒過點(0，2)，在同一個坐標系下畫出函數(shù)y的圖象與函數(shù)ykx2的圖象，結(jié)合圖象可知實數(shù)k的取值范圍是(0，1)(1，4)【答案】(0，1)(1，4)8已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)a.(1)若函數(shù)g(x)恰有兩個不相同的零點，求實數(shù)a的值；(2)記S(a)為函數(shù)g(x)的所有零點之和，當1a2時，求S(a)的取值范圍【解析】(1)由g(x)0得f(x)a，函數(shù)g(x)有兩不同的零點等價于函數(shù)f(x)的圖象與直線ya有兩不同的交點，在同一坐標系中，作函數(shù)f(x)和直線ya的圖象如圖所示：由圖可知，當且僅當a1時，直線ya與函數(shù)f(x)的圖象有兩不同的交點，即函數(shù)g(x)有兩不同的零點，實數(shù)a1.(2)當1a2時，由(1)圖可知，函數(shù)g(x)有四個不等的零點，從小到大依次設(shè)為x1，x2，x3，x4，則x1a2，x2log2(a2)，x>2時，f(x)|x5|1的圖象關(guān)于直線x5對稱，x3x410，S(a)log2(a2)a8，當1a2時，函數(shù)S(a)為增函數(shù)7<log2(a2)a8<12，S(a)的取值范圍是(7，12)B組題1若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)【解析】因為f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函數(shù)的兩個零點分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)【答案】A2已知函數(shù)f(x)(a>0，a1)，若x1x2，且f(x1)f(x2)，則x1x2的值()A恒小于2 B恒大于2C恒等于2 D與a相關(guān)【解析】設(shè)f(x1)f(x2)t，不妨設(shè)1<x1<1<x2<3，則1<2x2<1，所以loga(x11)tx1at1，loga(3x2)a1tx23at1a，于是x1x22atat1a.若0<a<1，則yax為減函數(shù)，且t<t1aat>at1a，所以x1x2>2.若a>1，則yax為增函數(shù)，且t>t1aat>at1a，所以x1x2>2，所以x1x2的值恒大于2.【答案】B3已知a1，設(shè)函數(shù)f(x)axx4的零點為m，g(x)logaxx4的零點為n，則mn的最大值為_【解析】由f(x)axx40，得ax4x，函數(shù)f(x)axx4的零點為m，即yax與y4x的圖象相交于點(m，4m)；由g(x)logaxx40，得logax4x，函數(shù)g(x)logaxx4的零點為n，即ylogax與y4x的圖象相交于點(n，4n)因為yax，ylogax互為反函數(shù)，則(m，4m)與(n，4n)關(guān)于直線yx對稱，所以m4n，即mn4，且m0，n0.由mn4，當且僅當mn2時“”成立，所以mn的最大值為4.【答案】44已知函數(shù)fa.(1)若對任意的x，都有faxa，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f有且僅有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍【解析】(1)由題意知，aaxa在上恒成立，即a在上恒成立當x>0時，a，因為當x2時，y取得最小值，所以a；當x1時，a×00恒成立；當1<x<0時，a，因為1<x<0，所以y的值域為，所以a2.綜上所述，a的取值范圍是.(2)當a0時，f，有唯一零點0，不符合題意；當a0時，f若a>0，則<0，所以f在上單調(diào)遞增，則ffa>0，因此f在內(nèi)無零點，而f在內(nèi)最多有兩個零點，不符合題意；若a<0，則<0，所以f在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而f>0，fa<0，所以f在內(nèi)有兩個零點，若a，則0，所以f在上單調(diào)遞減，又fa<0，此時f在內(nèi)無零點，不符合題意；若<a<0，則>0，所以f在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使f在內(nèi)有兩個零點，則f>0，即4a1>0，故<a<0.綜上所述，a的取值范圍是.備 課 札 記19