專題檢測(cè)（十四） 直線與圓A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析：選C因?yàn)閮芍本€平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又當(dāng)a1，b4時(shí)，滿足ab4，但是兩直線重合，故選C.2.圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關(guān)系是()A.相離 B.相交C.外切 D.內(nèi)切解析：選B圓O1：x2y22x0，即(x1)2y21，圓心是O1(1，0)，半徑是r11，圓O2：x2y24y0，即x2(y2)24，圓心是O2(0，2)，半徑是r22，因?yàn)閨O1O2|，故|r1r2|O1O2|r1r2|所以兩圓的位置關(guān)系是相交.3.已知直線l1過(guò)點(diǎn)(2，0)且傾斜角為30°，直線l2過(guò)點(diǎn)(2，0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(3，) B.(2，)C.(1，) D.解析：選C直線l1的斜率k1tan 30°，因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2，所以直線l1的方程為y(x2)，直線l2的方程為y(x2)，聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，).4.(2019·江蘇徐州期末)若圓(x1)2y2m與圓x2y24x8y160內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B.11C.121 D.1或121解析：選D圓(x1)2y2m的圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為；圓x2y24x8y160，即(x2)2(y4)236，故圓心坐標(biāo)為(2，4)，半徑為6.由兩圓內(nèi)切得 |6|，解得m1或m121.故選D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線xky10與圓C：x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k的值為()A.2 B.1C.0 D.1解析：選C法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，則4k212(k21)>0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因?yàn)椋蔒，又點(diǎn)M在圓C上，故4，解得k0.法二：由直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0，0)到直線xky10的距離為半徑的一半，為1，即d1，解得k0.6.(2019·廣東省廣州市高三測(cè)試)已知圓C：x2y21，點(diǎn)A(2，0)及點(diǎn)B(2，a)，若直線AB與圓C沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.(，1)(1，)B.(，2)(2，)C.D.(，4)(4，)解析：選C由點(diǎn)A(2，0)及點(diǎn)B(2，a)，得kAB，所以直線AB的方程為y(x2)，即ax4y2a0.因?yàn)橹本€AB與圓C沒(méi)有公共點(diǎn)，所以1，解得a或a，所以a的取值范圍是，故選C.二、填空題7.(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè))已知直線l1：y2x，則過(guò)圓x2y22x4y10的圓心且與直線l1垂直的直線l2的方程為_(kāi).解析：由題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)24，所以圓的圓心坐標(biāo)為(1，2)，所以所求直線的方程為y2(x1)，即x2y30.答案：x2y308.已知直線l過(guò)直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點(diǎn)，且點(diǎn)P(0，4)到直線l的距離為2，則直線l的方程為_(kāi).解析：由得所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(1，2).顯然直線x1不滿足P(0，4)到直線l的距離為2.設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxy2k0，因?yàn)镻(0，4)到直線l的距離為2，所以2，所以k0或k.所以直線l的方程為y2或4x3y20.答案：y2或4x3y209.(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)已知點(diǎn)P(1，2)及圓(x3)2(y4)24，一光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|QT|的值為_(kāi).解析：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P(1，2)，如圖，連接PP，PQ，由對(duì)稱性可知，PQ與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|QT|PT|.圓(x3)2(y4)24的圓心為A(3，4)，半徑r2，連接AP，AT，則|AP|2(13)2(24)252，|AT|r2，所以|PQ|QT|PT|4.答案：4三、解答題10.已知圓(x1)2y225，直線axy50與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若弦AB的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)P(2，4)，求實(shí)數(shù)a的值.解：(1)把直線axy50代入圓的方程，消去y整理，得(a21)x22(5a1)x10，由于直線axy50交圓于A，B兩點(diǎn)，故4(5a1)24(a21)>0，即12a25a>0，解得a>或a<0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，0).(2)由于直線l為弦AB的垂直平分線，且直線AB的斜率為a，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為y(x2)4，即xay24a0，由于l垂直平分弦AB，故圓心M(1，0)必在l上，所以1024a0，解得a，由于，所以a.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線xy10截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為.(1)求圓O的方程；(2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D，E，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最小時(shí)，求直線l的方程.解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)O到直線xy10的距離為，所以圓O的半徑為 ，故圓O的方程為x2y22.(2)設(shè)直線l的方程為1(a>0，b>0)，即bxayab0，由直線l與圓O相切，得，即，則|DE|2a2b22(a2b2)48，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為xy20.12.已知A(2，0)，直線4x3y10被圓C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長(zhǎng)為4，且P為圓C上任意一點(diǎn).(1)求|PA|的最大值與最小值；(2)圓C與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)，求以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)切圓的半徑.解：(1)直線4x3y10被圓C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長(zhǎng)為4，圓心到直線的距離d1.m3，m2，|AC|，|PA|的最大值與最小值分別為，.(2)由(1)可得圓C的方程為(x3)2(y2)213，令x0，得y0或4；令y0，得x0或6，圓C與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)M(0，4)，O(0，0)，N(6，0)，MON為直角三角形，斜邊|MN|2，MON內(nèi)切圓的半徑為5.B組大題專攻強(qiáng)化練1.已知點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍.(1)求曲線E的方程；(2)已知m0，設(shè)直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點(diǎn).當(dāng)CD的斜率為1時(shí)，求直線CD的方程.解：(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得 ·，整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求.(2)由題意知l1l2，且兩條直線均恒過(guò)點(diǎn)N(1，0).設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2，0)，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：yx2.設(shè)直線CD：yxt，由解得點(diǎn)P，由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|CD| ，而|NP|2，|ED|23，|EP|2，所以3，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直線CD的方程為yx或yx3.2.已知點(diǎn)A(1，a)，圓x2y24.(1)若過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求a的值.解：(1)由過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，得點(diǎn)A在圓上，故12a24，解得a±.當(dāng)a時(shí)，A(1，)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，易知所求的切線方程為xy40；當(dāng)a時(shí)，A(1，)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，易知所求的切線方程為xy40.綜上所述，當(dāng)a時(shí)，切線方程為xy40；當(dāng)a時(shí)，切線方程為xy40.(2)設(shè)直線方程為xyb，由于直線過(guò)點(diǎn)A，則1ab，即ab1，又圓心(0，0)到直線xyb的距離d.所以4，則b±，因此ab11±.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若圓心C也在直線yx1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解：(1)因?yàn)閳A心在直線l：y2x4上，也在直線yx1上，所以解方程組得圓心C(3，2)，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以圓的方程為(x3)2(y2)21，又因?yàn)辄c(diǎn)A(0，3)，顯然過(guò)點(diǎn)A，圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求的切線方程為ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切線方程為y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l：y2x4上，所以設(shè)圓心C為(a，2a4)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，則圓C的方程為(xa)2(y2a4)21.設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|2|MO|，則有2，整理得x2(y1)24，其表示圓心為(0，1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D，所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)，所以21 21，解得0a，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.4.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說(shuō)明理由；(2)證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.解：(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿足x2mx20，所以x1x22.又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.(2)證明：由(1)知BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線方程為x.聯(lián)立可得所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2 3，即過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.- 8 -