第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、選擇題1.從集合0，1，2，3，4，5，6中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)abi，其中虛數(shù)有()A.30個(gè) B.42個(gè) C.36個(gè) D.35個(gè)解析abi為虛數(shù)，b0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×636個(gè)虛數(shù).答案C2.某校舉行乒乓球賽，采用單淘汰制，要從20名選手中決出冠軍，應(yīng)進(jìn)行比賽的場(chǎng)數(shù)為()A.18 B.19 C.20 D.21解析因?yàn)槊恳粓?chǎng)比賽都有一名選手被淘汰，即一場(chǎng)比賽對(duì)應(yīng)一個(gè)失敗者，要決出冠軍，就要淘汰19名選手，故應(yīng)進(jìn)行19場(chǎng)比賽.答案B3.(2016·濟(jì)南質(zhì)檢)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則有幾種不同的選擇方式()A.24 B.14 C.10 D.9解析第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×312種方式，第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有12214(種)選擇方式.答案B4.某電話局的電話號(hào)碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為()A.20 B.25 C.32 D.60解析依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合題意的電話號(hào)碼的個(gè)數(shù)為2532.答案C5.集合Px，1，Qy，1，2，其中x，y1，2，3，9，且PQ.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.9 B.14 C.15 D.21解析當(dāng)x2時(shí)，xy，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×77(個(gè)).當(dāng)x2時(shí)，由PQ，xy.x可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.因此滿足條件的點(diǎn)共有7714(個(gè)).答案B6.用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法的種數(shù)為()A.3 B.5 C.9 D.12解析只用一種幣值有2張10元，4張5元，20張1元，共3種；用兩種幣值的有1張10元，2張5元；1張10元，10張1元；3張5元，5張1元；2張5元，10張1元；1張5元，15張1元，共5種；用三種幣值的有1張10元，1張5元，5張1元，共1種.由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3519(種).答案C7.從集合1，2，3，4，10中，選出5個(gè)數(shù)組成子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A.32個(gè) B.34個(gè) C.36個(gè) D.38個(gè)解析將和等于11的放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個(gè)，有C2種，共有2×2×2×2×232個(gè).故選A.答案A8.(2016·全國(guó)卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9解析由題意可知EF共有6種走法，F(xiàn)G共有3種走法，由乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×318種走法，故選B.答案B二、填空題9.(2017·西安質(zhì)檢)如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_個(gè)(用數(shù)字作答).解析當(dāng)相同的數(shù)字不是1時(shí)，有C個(gè)；當(dāng)相同的數(shù)字是1時(shí)，共有CC個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有“好數(shù)”CCC12(個(gè)).答案1210.如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè)(用數(shù)字作答).解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×432(個(gè)).第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32840(個(gè)).答案4011.如圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有_種不同的涂色方法(用數(shù)字作答).解析區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法.所以共有5×4×45×4×3×3260種涂色方法.答案26012.有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目(不一定六名同學(xué)都能參加)，(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限，則有_種不同的報(bào)名方法；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則有_種不同的報(bào)名方法；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限，則有_種不同的報(bào)名方法(用數(shù)字作答).解析(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有報(bào)名方法36729(種).(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法6×5×4120(種).(3)由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法63216(種).答案(1)729(2)120(3)21613.(2017·衡水調(diào)研)用0，1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.243 B.252 C.261 D.279解析0，1，2，9共能組成9×10×10900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8648(個(gè))，有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個(gè)).答案B14.從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有()A.24對(duì) B.30對(duì)C.48對(duì) D.60對(duì)解析與正方體的一個(gè)面上的一條對(duì)角線成60°角的對(duì)角線有8條，故共有8對(duì).正方體的12條面對(duì)角線共有12×896(對(duì))，且每對(duì)均重復(fù)計(jì)算一次，故共有48(對(duì)).答案C15.一個(gè)旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點(diǎn)處進(jìn)，Q點(diǎn)處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個(gè)景點(diǎn)及沿途風(fēng)景，則不重復(fù)(除交匯點(diǎn)O外)的不同游覽線路有_種(用數(shù)字作答).解析根據(jù)題意，從點(diǎn)P處進(jìn)入后，參觀第一個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有6個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有6種選法；參觀完第一個(gè)景點(diǎn)，參觀第二個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有4種選法；參觀完第二個(gè)景點(diǎn)，參觀第三個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)路口可以選擇，從中任取一個(gè)，有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有6×4×248種不同游覽線路.答案4816.(2016·廣州模擬)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3 443，94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，191，202，999.則(1)4位回文數(shù)有_個(gè)；(2)2n1(nN*)位回文數(shù)有_個(gè).解析(1)4位回文數(shù)相當(dāng)于填4個(gè)方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，中間兩位一樣，有10種填法，共計(jì)9×1090(種)填法，即4位回文數(shù)有90個(gè).(2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格.結(jié)合計(jì)數(shù)原理，知有9×10n種填法.答案(1)90(2)9×10n5