(通用版)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)(四) 立體幾何 文
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(通用版)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)(四) 立體幾何 文
規(guī)范解答集訓(xùn)(四)立體幾何(建議用時:40分鐘)1(2019·長沙模擬)已知三棱錐PABC(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形ABCD為邊長等于的正方形,ABE和BCF均為正三角形,在三棱錐PABC中:(1)證明:平面PAC平面ABC;(2)求三棱錐PABC的表面積和體積圖1 圖2解(1)如圖,設(shè)AC的中點為O,連接BO,PO.由題意,得PAPBPC,PO1,AOBOCO1.因為在PAC中,PAPC,O為AC的中點,所以POAC.因為在POB中,PO1,OB1,PB,所以PO2OB2PB2,所以POOB.因為ACOBO,AC,OB平面ABC,所以PO平面ABC,因為PO平面PAC,所以平面PAC平面ABC.(2)三棱錐PABC的表面積S×2××()22,由(1)知,PO平面ABC,所以三棱錐PABC的體積VSABC×PO××××1.2如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是梯形,ABDC,ABC90°,ADSD,BCCDAB,側(cè)面SAD底面ABCD.(1)求證:平面SBD平面SAD;(2)若SDA120°,且三棱錐SBCD的體積為,求側(cè)面SAB的面積解(1)證明:設(shè)BCa,則CDa,AB2a,由題意知BCD是等腰直角三角形,且BCD90°,則BDa,CBD45°,所以ABDABCCBD45°,在ABD中,ADa,因為AD2BD24a2AB2,所以BDAD,由于平面SAD底面ABCD,平面SAD平面ABCDAD,BD平面ABCD,所以BD平面SAD,又BD平面SBD,所以平面SBD平面SAD.(2)由(1)可知ADSDa,在SAD中,SDA120°,SA2SDsin 60°a,作SHAD,交AD的延長線于點H.則SHSDsin 60°a,由(1)知BD平面SAD,因為SH平面SAD,所以BDSH,又ADBDD,所以SH平面ABCD,所以SH為三棱錐SBCD的高,所以VSBCD×a××a2.解得a1,由BD平面SAD,SD平面SAD,可得BDSD,則SB2,又AB2,SA,在等腰三角形SBA中,邊SA上的高為,則SAB的面積為××.3(2019·福州質(zhì)量檢測)如圖,在平行四邊形ABCM中,D為CM的中點,以AD為折痕將ADM折起,使點M到達點P的位置,且平面ABCD平面PAD,E是PB的中點,AB2BC.(1)求證:CE平面PAD;(2)若AD2,AB4,求三棱錐APCD的高解(1)取AP的中點F,連接DF,EF,如圖所示因為點E是PB的中點,所以EFAB,且EF.因為四邊形ABCM是平行四邊形,D為CM的中點,所以ABCD,且CD.所以EFCD,且EFCD,所以四邊形EFDC為平行四邊形,所以CEDF,因為CE平面PAD,DF平面PAD,所以CE平面PAD.(2)取AD的中點O,連接PO,CO,如圖所示在平行四邊形ABCM中,D為CM的中點,AB2BC,AD2,AB4,所以MDMAADCD2,所以ADC120°,PDPAAD2,所以SACD×AD×CD×sinADC×2×2×,OC,ADP為正三角形,所以POAD,且PO.因為平面ABCD平面PAD,所以PO平面ABCD,所以POOC,所以PC.在等腰三角形PCD中,易得SPCD.設(shè)三棱錐APCD的高為h,因為VAPCDVPACD,所以SPCD·hSACD·PO,所以h,所以三棱錐APCD的高為.4如圖,在直三棱柱ABCABC中,ACBC5,AAAB6,D,E分別為AB和BB上的點,且.(1)當D為AB的中點時,求證:ABCE;(2)當D在線段AB上運動時(不含端點),求三棱錐ACDE體積的最小值解(1)證明:D為AB的中點,E為BB的中點,三棱柱ABCABC為直三棱柱,AAAB6,四邊形ABBA為正方形,DEAB.ACBC,D為AB的中點,CDAB.由題意得平面ABBA平面ABC,且平面ABBA平面ABCAB,CD平面ABC,CD平面ABBA.又AB平面ABBA,CDAB.又CDDED,AB平面CDE,CE平面CDE,ABCE.(2)設(shè)ADx(0x6),則BEx,DB6x,BE6x,由已知可得點C到平面ADE的距離即為ABC的邊AB上的高h,且h4,三棱錐ACDE的體積VACDEVCADE(S四邊形ABBASAADSDBESABE)·h·h(x26x36)(x3)227(0x6),當x3,即D為AB的中點時,VACDE取得最小值,最小值為18.5如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,AC與BD相交于點O,ADBC,ADAB,ABBCAP3,三棱錐PACD的體積為9.(1)求AD的值;(2)過點O的平面平行于平面PAB,平面與棱BC,AD,PD,PC分別相交于點E,F(xiàn),G,H,求截面EFGH的周長解(1)因為在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,ADBC,ADAB,ABBCAP3,所以V三棱錐PACD××AB×AD×APAD9,解得AD6.(2)由題知平面平面PAB,平面平面ABCDEF,點O在EF上,平面PAB平面ABCDAB,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,得EFAB,同理EHBP,F(xiàn)GAP.因為BCAD,所以BOCDOA,所以.因為EFAB,所以,又易知BEAF,AD2BC,所以FD2AF.因為FGAP,所以,F(xiàn)GAP2.因為EHBP,所以,所以EHPB.如圖,作HNBC,GMAD,HNPBN,GMPAM,則HNGM,HNGM,所以四邊形GMNH為平行四邊形,所以GHMN,在PMN中,MN,又EFAB3,MNGH,所以截面EFGH的周長為EFFGGHEH325.6如圖,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,EFCD,CDEA,CD2EF2,ED,M為棱FC上一點,平面ADM與棱FB交于點N.(1)求證:EDCD;(2)求證:ADMN;(3)若ADED,試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直?若能,求出的值;若不能,說明理由解(1)證明:因為四邊形ABCD為矩形,所以CDAD.又因為CDEA,EAADA,所以CD平面EAD.因為ED平面EAD,所以EDCD.(2)證明:因為四邊形ABCD為矩形,所以ADBC,又因為AD平面FBC,BC平面FBC,所以AD平面FBC.又因為平面ADMN平面FBCMN,所以ADMN.(3)平面ADMN與平面BCF可以垂直證明如下:連接DF.因為ADED,ADCD,EDCDD,所以AD平面CDEF.所以ADDM.因為ADMN,所以DMMN.因為平面ADMN平面FBCMN,所以若使平面ADMN平面BCF,則DM平面BCF,所以DMFC.在梯形CDEF中,因為EFCD,DECD,CD2EF2,ED,所以DFDC2.所以若使DMFC成立,則M為FC的中點所以.- 6 -