規(guī)范解答集訓(xùn)(四)立體幾何(建議用時：40分鐘)1(2019·長沙模擬)已知三棱錐P­ABC(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，ABE和BCF均為正三角形，在三棱錐P­ABC中：(1)證明：平面PAC平面ABC；(2)求三棱錐P­ABC的表面積和體積圖1 圖2解(1)如圖，設(shè)AC的中點為O，連接BO，PO.由題意，得PAPBPC，PO1，AOBOCO1.因為在PAC中，PAPC，O為AC的中點，所以POAC.因為在POB中，PO1，OB1，PB，所以PO2OB2PB2，所以POOB.因為ACOBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，因為PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC.(2)三棱錐P­ABC的表面積S×2××()22，由(1)知，PO平面ABC，所以三棱錐P­ABC的體積VSABC×PO××××1.2如圖，在四棱錐S­ABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC90°，ADSD，BCCDAB，側(cè)面SAD底面ABCD.(1)求證：平面SBD平面SAD；(2)若SDA120°，且三棱錐S­BCD的體積為，求側(cè)面SAB的面積解(1)證明：設(shè)BCa，則CDa，AB2a，由題意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90°，則BDa，CBD45°，所以ABDABCCBD45°，在ABD中，ADa，因為AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)由(1)可知ADSDa，在SAD中，SDA120°，SA2SDsin 60°a，作SHAD，交AD的延長線于點H.則SHSDsin 60°a，由(1)知BD平面SAD，因為SH平面SAD，所以BDSH，又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH為三棱錐S­BCD的高，所以VS­BCD×a××a2.解得a1，由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，則SB2，又AB2，SA，在等腰三角形SBA中，邊SA上的高為，則SAB的面積為××.3(2019·福州質(zhì)量檢測)如圖，在平行四邊形ABCM中，D為CM的中點，以AD為折痕將ADM折起，使點M到達點P的位置，且平面ABCD平面PAD，E是PB的中點，AB2BC.(1)求證：CE平面PAD；(2)若AD2，AB4，求三棱錐A­PCD的高解(1)取AP的中點F，連接DF，EF，如圖所示因為點E是PB的中點，所以EFAB，且EF.因為四邊形ABCM是平行四邊形，D為CM的中點，所以ABCD，且CD.所以EFCD，且EFCD，所以四邊形EFDC為平行四邊形，所以CEDF，因為CE平面PAD，DF平面PAD，所以CE平面PAD.(2)取AD的中點O，連接PO，CO，如圖所示在平行四邊形ABCM中，D為CM的中點，AB2BC，AD2，AB4，所以MDMAADCD2，所以ADC120°，PDPAAD2，所以SACD×AD×CD×sinADC×2×2×，OC，ADP為正三角形，所以POAD，且PO.因為平面ABCD平面PAD，所以PO平面ABCD，所以POOC，所以PC.在等腰三角形PCD中，易得SPCD.設(shè)三棱錐A­PCD的高為h，因為VA­PCDVP­ACD，所以SPCD·hSACD·PO，所以h，所以三棱錐A­PCD的高為.4如圖，在直三棱柱ABC­ABC中，ACBC5，AAAB6，D，E分別為AB和BB上的點，且.(1)當D為AB的中點時，求證：ABCE；(2)當D在線段AB上運動時(不含端點)，求三棱錐A­CDE體積的最小值解(1)證明：D為AB的中點，E為BB的中點，三棱柱ABC­ABC為直三棱柱，AAAB6，四邊形ABBA為正方形，DEAB.ACBC，D為AB的中點，CDAB.由題意得平面ABBA平面ABC，且平面ABBA平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面ABBA.又AB平面ABBA，CDAB.又CDDED，AB平面CDE，CE平面CDE，ABCE.(2)設(shè)ADx(0x6)，則BEx，DB6x，BE6x，由已知可得點C到平面ADE的距離即為ABC的邊AB上的高h，且h4，三棱錐A­CDE的體積VA­CDEVC­ADE(S四邊形ABBASAADSDBESABE)·h·h(x26x36)(x3)227(0x6)，當x3，即D為AB的中點時，VA­CDE取得最小值，最小值為18.5如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AC與BD相交于點O，ADBC，ADAB，ABBCAP3，三棱錐P­ACD的體積為9.(1)求AD的值；(2)過點O的平面平行于平面PAB，平面與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，求截面EFGH的周長解(1)因為在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，ADAB，ABBCAP3，所以V三棱錐P­ACD××AB×AD×APAD9，解得AD6.(2)由題知平面平面PAB，平面平面ABCDEF，點O在EF上，平面PAB平面ABCDAB，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得EFAB，同理EHBP，F(xiàn)GAP.因為BCAD，所以BOCDOA，所以.因為EFAB，所以，又易知BEAF，AD2BC，所以FD2AF.因為FGAP，所以，F(xiàn)GAP2.因為EHBP，所以，所以EHPB.如圖，作HNBC，GMAD，HNPBN，GMPAM，則HNGM，HNGM，所以四邊形GMNH為平行四邊形，所以GHMN，在PMN中，MN，又EFAB3，MNGH，所以截面EFGH的周長為EFFGGHEH325.6如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EFCD，CDEA，CD2EF2，ED，M為棱FC上一點，平面ADM與棱FB交于點N.(1)求證：EDCD；(2)求證：ADMN；(3)若ADED，試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，說明理由解(1)證明：因為四邊形ABCD為矩形，所以CDAD.又因為CDEA，EAADA，所以CD平面EAD.因為ED平面EAD，所以EDCD.(2)證明：因為四邊形ABCD為矩形，所以ADBC，又因為AD平面FBC，BC平面FBC，所以AD平面FBC.又因為平面ADMN平面FBCMN，所以ADMN.(3)平面ADMN與平面BCF可以垂直證明如下：連接DF.因為ADED，ADCD，EDCDD，所以AD平面CDEF.所以ADDM.因為ADMN，所以DMMN.因為平面ADMN平面FBCMN，所以若使平面ADMN平面BCF，則DM平面BCF，所以DMFC.在梯形CDEF中，因為EFCD，DECD，CD2EF2，ED，所以DFDC2.所以若使DMFC成立，則M為FC的中點所以.- 6 -