考點(diǎn)規(guī)范練40直線、平面垂直的判定與性質(zhì)一、基礎(chǔ)鞏固1.若平面平面,平面平面=直線l,則()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直線l的直線一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直線lD.垂直于直線l的平面一定與平面,都垂直答案D解析對于A,垂直于平面的平面與平面平行或相交,故A錯(cuò);對于B,垂直于直線l的直線與平面垂直、斜交、平行或在平面內(nèi),故B錯(cuò);對于C,垂直于平面的平面與直線l平行或相交,故C錯(cuò);易知D正確.2.設(shè)為平面,a,b為兩條不同的直線,則下列敘述正確的是()A.若a,b,則abB.若a,ab,則bC.若a,ab,則bD.若a,ab,則b答案B解析如圖(1),知A錯(cuò);如圖(2)知C錯(cuò);如圖(3),aa',a',ba',知D錯(cuò);由線面垂直的性質(zhì)定理知B正確.3.如圖,在四面體D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE答案C解析因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BEAC.同理有DEAC,于是AC平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi),所以平面ABC平面BDE.又因?yàn)锳C平面ACD,所以平面ACD平面BDE,故選C.4.已知l,m,n是三條不同的直線,是不同的平面,則的一個(gè)充分條件是()A.l,m,且lmB.l,m,n,且lm,lnC.m,n,mn,且lmD.l,lm,且m答案D解析對于A,l,m,且lm,如圖(1),不垂直;對于B,l,m,n,且lm,ln,如圖(2),不垂直;圖(1)圖(2)對于C,m,n,mn,且lm,直線l沒有確定,則,的關(guān)系也不能確定;對于D,l,lm,且m,則必有l(wèi),根據(jù)面面垂直的判定定理知,.5.在空間四邊形ABCD中,ADBC,ADBD,且BCD是銳角三角形,則必有()A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BDCD.平面ABC平面BDC答案C解析ADBC,ADBD,BCBD=B,AD平面BDC.又AD平面ADC,平面ADC平面BDC.故選C.6.如圖,已知ABC為直角三角形,其中ACB=90°,M為AB的中點(diǎn),PM垂直于ABC所在的平面,則()A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PAPBPC答案C解析M為AB的中點(diǎn),ACB為直角三角形,BM=AM=CM.又PM平面ABC,RtPMBRtPMARtPMC,故PA=PB=PC.7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí),平面MBD平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可) 答案DMPC(或BMPC)解析PC在底面ABCD上的射影為AC,且ACBD,BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí),即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.8.在四面體ABCD中,DA平面ABC,ABAC,AB=4,AC=3,AD=1,E為棱BC上一點(diǎn),且平面ADE平面BCD,則DE=. 答案135解析過A作AHDE,平面ADE平面BCD,且平面ADE平面BCD=DE,AH平面BCD,AHBC.又DA平面ABC,BC平面ABC,ADBC,BC平面ADE,BCAE.AE=3×45,AD=1,DE=135.9.設(shè),是空間兩個(gè)不同的平面,m,n是平面及外的兩條不同直線.從“mn;n;m”中選取三個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:.(用序號(hào)表示) 答案(或)解析逐一判斷.若成立,則m與的位置關(guān)系不確定,故錯(cuò)誤;同理也錯(cuò)誤;與均正確.10.如圖,已知PA矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).(1)求證:MNCD;(2)若PDA=45°,求證:MN平面PCD.證明(1)連接AC,AN,BN,PA平面ABCD,AC平面ABCD,PAAC.在RtPAC中,N為PC的中點(diǎn),AN=12PC.PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.又BCAB,PAAB=A,BC平面PAB.PB平面PAB,BCPB.在RtPBC中,BN為斜邊PC上的中線,BN=12PC.AN=BN.ABN為等腰三角形.又M為AB的中點(diǎn),MNAB.ABCD,MNCD.(2)連接PM,MC,PDA=45°,PAAD,AP=AD.四邊形ABCD為矩形,AD=BC,AP=BC.又M為AB的中點(diǎn),AM=BM.PAM=CBM=90°,PAMCBM.PM=CM.又N為PC的中點(diǎn),MNPC.由(1)知,MNCD,又PCCD=C,MN平面PCD.11.如圖,在RtABC中,ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),沿DE將BDE折起至FDE,且CEF=60°.(1)求四棱錐F-ADEC的體積;(2)求證:平面ADF平面ACF.(1)解D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),DE􀰿12AC,DEBC,DE=1.依題意,DEEF,BE=EF=2,EFEC=E,DE平面CEF,DE平面ACED,平面ACED平面CEF.作FMEC于M,則FM平面ACED,CEF=60°,FM=3,梯形ACED的面積S=12(AC+ED)×EC=12(1+2)×2=3.四棱錐F-ADEC的體積V=13Sh=13×3×3=3.(2)證法一如圖,取線段AF,CF的中點(diǎn)N,Q,連接DN,NQ,EQ,則NQ􀰿12AC,NQ􀰿DE,四邊形DEQN是平行四邊形,DNEQ.EC=EF,CEF=60°,CEF是等邊三角形,EQFC,又DE平面CEF,DEEQ,ACEQ,FCAC=C,EQ平面ACF,DN平面ACF,又DN平面ADF,平面ADF平面ACF.證法二連接BF,EC=EF,CEF=60°,CEF是邊長為2的等邊三角形.BE=EF,EBF=12CEF=30°,BFC=90°,BFFC.DE平面BCF,DEAC,AC平面BCF.BF平面BCF,ACBF,又FCAC=C,BF平面ACF,又BF平面ADF,平面ADF平面ACF.12.如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.圖圖(1)證明:CD平面A1OC;(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為362,求a的值.(1)證明在題圖中,因?yàn)锳DBC,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點(diǎn),BAD=2,所以BEAC,四邊形BCDE為平行四邊形.所以在題圖中,BEA1O,BEOC,BECD,從而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知,A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖知,A1O=22AB=22a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3,由26a3=362,得a=6.二、能力提升13.已知兩條不重合的直線m,n和兩個(gè)不重合的平面,有下列命題:若mn,m,則n;若m,n,mn,則;若m,n是兩條異面直線,m,n,m,n,則;若,=m,n,nm,則n.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案C解析若mn,m,則n可能在平面內(nèi),故錯(cuò)誤;m,mn,n.又n,故正確;過直線m作平面交平面于直線c,m,n是兩條異面直線,設(shè)nc=O.m,m,=c,mc.m,c,c.n,c,nc=O,c,n,.故正確;,=m,n,nm,n.故正確.故正確命題有3個(gè),故選C.14.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90°,BC1AC,則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部答案A解析由BC1AC,又BAAC,則AC平面ABC1,因此平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上.15.如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45°,BAD=90°,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列結(jié)論正確的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC答案D解析由題意知,在四邊形ABCD中,CDBD.在三棱錐A-BCD中,平面ABD平面BCD,兩平面的交線為BD,所以CD平面ABD,因此有ABCD.又因?yàn)锳BAD,且CDAD=D,所以AB平面ADC,于是得到平面ADC平面ABC,故選D.16.如圖,直線PA垂直于O所在的平面,ABC內(nèi)接于O,且AB為O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).下列結(jié)論:BCPC;OM平面APC;點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長.其中正確的是()A.B.C.D.答案B解析對于,PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB為O的直徑,BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC,BCPC;對于,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),AB為O的直徑,OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC;對于,由知BC平面PAC,線段BC的長即是點(diǎn)B到平面PAC的距離.故都正確.17.(2018北京六區(qū)一模)如圖,在ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),O為DE的中點(diǎn),AB=AC=25,BC=4.將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使得平面A1DE平面BCED,F為A1C的中點(diǎn),如圖.圖圖(1)求證:EF平面A1BD;(2)求證:平面A1OB平面A1OC;(3)在線段OC上是否存在點(diǎn)G,使得OC平面EFG?說明理由.(1)證明取線段A1B的中點(diǎn)H,連接HD,HF.因?yàn)樵贏BC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DEBC,DE=12BC.因?yàn)镠,F分別為A1B,A1C的中點(diǎn),所以HFBC,HF=12BC,所以HFDE,HF=DE,所以四邊形DEFH為平行四邊形,所以EFHD.因?yàn)镋F平面A1BD,HD平面A1BD,所以EF平面A1BD.(2)證明在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),AB=AC,所以AD=AE.所以A1D=A1E.又O為DE的中點(diǎn),所以A1ODE.因?yàn)槠矫鍭1DE平面BCED,且A1O平面A1DE,平面A1DE平面BCED=DE,所以A1O平面BCED.因?yàn)镃O平面BCED,所以COA1O.在OBC中,BC=4,易知OB=OC=22,所以COBO.因?yàn)锳1OBO=O,所以CO平面A1OB.因?yàn)镃O平面A1OC,所以平面A1OB平面A1OC.(3)解在線段OC上不存在點(diǎn)G,使得OC平面EFG.假設(shè)在線段OC上存在點(diǎn)G,使得OC平面EFG.連接GE,GF,則必有OCGF,且OCGE.在RtA1OC中,由F為A1C的中點(diǎn),OCGF,得G為OC的中點(diǎn).在EOC中,因?yàn)镺CGE,所以EO=EC,這顯然與EO=1,EC=5矛盾.所以在線段OC上不存在點(diǎn)G,使得OC平面EFG.三、高考預(yù)測18.在四棱錐P-ABCD中,ABCD,AB=12DC=1,BP=BC=2,PC=2,AB平面PBC,F為PC的中點(diǎn).(1)求證:BF平面PAD;(2)求證:平面ADP平面PDC;(3)求四棱錐P-ABCD的體積.(1)證明取PD的中點(diǎn)E,連接EF,AE.因?yàn)镕為PC的中點(diǎn),所以EF為PDC的中位線,即EFDC且EF=12DC.又ABCD,AB=12CD,所以ABEF且AB=EF.所以四邊形ABFE為平行四邊形,所以BFAE.又AE平面PAD,BF平面PAD,所以BF平面PAD.(2)證明因?yàn)锽P=BC,F為PC的中點(diǎn),所以BFPC.又AB平面PBC,ABCD,所以CD平面PBC.又BF平面PBC,所以DCBF.又DCPC=C,所以BF平面PDC.由(1)知,AEBF,所以AE平面PDC.又AE平面ADP,所以平面ADP平面PDC.(3)解因?yàn)锳B平面PBC,AB平面ABCD,所以平面ABCD平面PBC且交線為BC.又BP=BC=2,PC=2,所以PBBC.所以PB平面ABCD,即PB是四棱錐的高.所以VP-ABCD=13SABCD·PB=13×(1+2)×2×12×2=1.14