規(guī)范解答集訓(xùn)(四)立體幾何(建議用時(shí)：40分鐘)1.(2019·煙臺(tái)三模)如圖，直角三角形ABD所在的平面與半圓弧所在平面相交于BD，ABBD2，E，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，C是上異于B，D的點(diǎn)，EC.(1)證明：平面CEF平面BCD；(2)若點(diǎn)C為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)求二面角A­CE­B的余弦值解(1)證明：因?yàn)镃半圓弧上的一點(diǎn)，所以BCCD.在ABD中，E，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以EFAB1，且EFAB.于是在EFC中，EF2FC2112EC2，所以EFC為直角三角形，且EFFC. 因?yàn)锳BBD，EFAB，所以EFBD. 因?yàn)镋FFC，EFBD，BDFCF, 所以EF平面BCD.又EF平面CEF，所以平面CEF平面BCD. (2)由已知BFC120°，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于BD、向量，所在方向作為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F­xyz，則C，E(0,0,1)，B(0，1,0)，A(0，1,2)，(0,1,1)，(0,1，1)設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，則即取z11，得m.設(shè)平面BCE的法向量n(x2，y2，z2)，則即取z21，得n(，1,1). 所以cosm，n，又二面角A­CE­B為銳角，所以二面角A­C­B的余弦值為. 2.(2019·沈陽三模)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAB底面ABCD，E為PC上的點(diǎn)，且BE平面APC.(1)求證：平面PAD平面PBC；(2)當(dāng)三棱錐P­ABC體積最大時(shí)，求二面角B­AC­P的余弦值解(1)證明：側(cè)面PAB底面ABCD，側(cè)面PAB底面ABCDAB，四邊形ABCD為正方形，BCAB，BC平面PAB，又AP平面PAB，APBC，BE平面APC，AP平面PAC，APBE，BCBEB，AP平面PBC，又AP平面PAD，平面PAD平面PBC.(2)VP­ABCVC­APB××PA×PB×BC×PA×PB，求三棱錐P­ABC體積的最大值，只需求PA×PB的最大值令PAx，PBy，由(1)知，PAPB，x2y24，而VP­ABCxy×，當(dāng)且僅當(dāng)xy，即PAPB時(shí)，VP­ABC的最大值為.如圖所示，分別取線段AB，CD中點(diǎn)O，F(xiàn)，連接OP，OF，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P，OB和OF分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.由已知A(0，1,0)，C(0,1,2)，P(1,0,0)，所以(1,1,0)，(0,2,2)令n(x，y，z)為平面PAC的一個(gè)法向量，則設(shè)x1，則y1，z1，n(1，1,1)易知m(1,0,0)為面ABC的一個(gè)法向量，二面角B­AC­P的平面角為，為銳角，則cos .3如圖，ABC是以C為直角的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為8，AEEC53，DEBC，沿DE將三角形ADE折起，使得點(diǎn)A在平面BCED上的射影是點(diǎn)C，點(diǎn)M在AC上且MCAC.(1)在BD上確定點(diǎn)N的位置，使得MN平面ADE；(2)在(1)的條件下，求CN與平面ABD所成角的正弦值解(1)由點(diǎn)A在平面BCED上的射影是點(diǎn)C，可知AC平面BCED，又BCCE，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，C(0,0,0)，A(0,0,4)，B(0,8,0)，D(3,5,0)，E(3,0,0)由MCAC，可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x，y,0)，則由點(diǎn)N在BD上可得y8x，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,8x,0)，則.設(shè)平面ADE的法向量為n1(x，y，z)，則而(0，5,0)，(3,0，4)，所以取x4，則z3，可得n1(4,0,3)，MN平面ADE等價(jià)于n1·0，即4x0×(8x)3×0.解得x2，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,6,0)，所以點(diǎn)N為BD的靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)(2)由(1)可知(2,6,0)，設(shè)平面ABD的法向量為n2(p，q，r)，由題意可知而(3,3,0)，(0,8，4)，可得取p1，則q1，r2.所以n2(1,1,2)設(shè)CN與平面ABD所成的角為，則sin .即CN與平面ABD所成角的正弦值為.4.如圖，平面ABCD平面ABE，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE1，F(xiàn)為為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE.(1)求證：AE平面BCE；(2)線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使平面ABE與平面MCE所成二面角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：BF平面ACE，AE平面ACE，BFAE，四邊形ABCD是正方形，BCAB，又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CB平面ABE，AE平面ABE，CBAE.BFBCB，AE平面BCE.(2)存在，當(dāng)AM時(shí)，平面ABE與平面MCE所成二面角的余弦值為.AE平面BCE，BE平面BCE.AEBE，在RtAEB中，AB2，AE1，ABE30°，BAE60°，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.設(shè)AMh，則0h2，AE1，BAE60°，M(0,0，h)，E，B(0,2,0)，C(0,2,2)，.設(shè)平面MCE的法向量為n(x，y，z)則即令z2，得n.易知平面ABE的一個(gè)法向量為m(0,0,1)，由題意可知cosm，n，解得h或h(舍)故當(dāng)AM時(shí)，平面ABE與平面MCE所成二面角的余弦值為.- 5 -