1專題專題 2323正弦定理與余弦定理正弦定理與余弦定理一、【知識(shí)精講】一、【知識(shí)精講】1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式asinAbsinBcsinC2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常見(jiàn)變形(1)a2RsinA，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sinAa2R，sinBb2R，sinCc2R；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ac；cosCa2b2c22ab2.SABC12absinC12bcsinA12acsinBabc4R12(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.3.在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinAabab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解微點(diǎn)提醒1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(AB)sinC；(2)cos(AB)cosC；(3)sinAB2cosC2；(4)cosAB2sinC2.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.23.在ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，ABabsinAsinBcosAcosB.二、【典例精練】二、【典例精練】考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形【例 1】(1)(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C60，b 6，c3，則A_.(2)(2018全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為a2b2c24，則C()A.2B.3C.4D.6【答案】(1)75(2)C【解析】(1)由正弦定理，得 sinBbsinCc632322，結(jié)合bc得B45，則A180BC75.(2)因?yàn)閍2b2c22abcosC，且SABCa2b2c24，所以SABC2abcosC412absinC，所以 tanC1.又C(0，)，故C4.【解法小結(jié)】1.三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù).考點(diǎn)二判斷三角形的形狀【例 2】(1)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cbcosA，則ABC為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()3A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由cbcosA，得sinCsinB0，所以 sinCsinBcosA，即 sin(AB)sinBcosA，所以 sinAcosB0，所以 cosB0，sinA1，即A2，ABC為直角三角形.【解法小結(jié)】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.考點(diǎn)三和三角形面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題角度 1與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題【例 31】(2017全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 sinA 3cosA0，a2 7，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積.【解析】(1)由 sinA 3cosA0 及 cosA0，得 tanA 3，又 0A，所以A23.由余弦定理，得 284c24ccos23.4即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由題設(shè)可得CAD2，所以BADBACCAD6.故ABD與ACD面積的比值為12ABADsin612ACAD1.又ABC的面積為1242sinBAC2 3，所以ABD的面積為 3.角度 2與三角形周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題【例 32】(2018 江蘇)在中，角所對(duì)的邊分別為，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為【答案】9【解析】因?yàn)?，的平分線交于點(diǎn)，所以，由三角形的面積公式可得，化簡(jiǎn)得，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為 9【解法小結(jié)】1.對(duì)于面積公式S12absinC12acsinB12bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.2.與面積周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.【思維升華】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系.2.在已知關(guān)系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中，若a2b2c2，由 cosCa2b2c22abb，則B()A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】asinBcosCcsinBcosA12b，根據(jù)正弦定理可得 sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB，即 sinB(sinAcosCsinCcosA)12sinBsinB0，sin(AC)12，即 sinB12.ab，AB，即B為銳角，B6.3.(2019山西五校聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosAacosBc2，a6b2，則ABC的周長(zhǎng)為()A7.5B7C6D5【答案】D【解析】bcos Aacos Bc2，由余弦定理可得 bb2c2a22bcaa2c2b22acc2，整理可得 2c22c3，解得 c1，則ABC 的周長(zhǎng)為 abc2215.4.(2019棗莊二模)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，則A()A.6B.3C.56D.23【答案】B【解析】(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc.所以 cosAb2c2a22bc12，又A(0，)，所以A3.5(2019山西大同聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若 2(bcosAacosB)c2，b3,3cosA1，則a()A.5B3C.10D4【答案】B【解析】由正弦定理可得 2(sinBcosAsinAcosB)csinC，2(sinBcosAsinAcosB)2sin(AB)2sinC，2sinCcsinC，sinC0，c2，由余弦定理得a2b2c22bccosA3222232139，a3.6.(2019開(kāi)封模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A3，3sin2CcosC2sinAsinB，且b6，則c()A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】在ABC中，A3，b6，a2b2c22bccosA，即a236c26c，7又3sin2CcosC2sinAsinB，3c2cosC2ab，即 cosC3c22aba2b2c22ab，a2364c2，由解得c4 或c6(不合題意，舍去).因此c4.7.(2019鄭州二模)在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若 2cos2AB2cos 2C1，4sinB3sinA，ab1，則c的值為()A.13B.7C.37D.6【答案】A【解析】由 2cos2AB2cos 2C1，可得 2cos2AB21cos 2C0，則有 cos 2CcosC0，即 2cos2CcosC10，解得 cosC12或 cosC1(舍)，由 4sinB3sinA，得 4b3a，又ab1，聯(lián)立，得a4，b3，所以c2a2b22abcosC1691213，則c 13.8（江西省紅色七校 2019 屆高三第一次聯(lián)考）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3cossin3baCC，2a，2 63c，則角C（）A34B3C6D4【答案】D【解析】由正弦定理可得sinB=sinAcosC+33sinAsinC,由sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC,所以有tanA=3，A=3,再有正弦定理得：232=2 63sinC,sinC=22，c a,C A,C=49.(2019廣州調(diào)研)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b 7，c4，cosB34，則ABC的面積等于()A3 7B.3 728C9D.92【答案】3 72【解析】由余弦定理b2a2c22accosB，代入數(shù)據(jù)，得a3，又 cosB34，B(0，)，所以 sinB74，所以SABC12acsinB3 72.10(2019安徽名校聯(lián)盟聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bc1，b2ccosA0，則當(dāng)角B取得最大值時(shí)，ABC的周長(zhǎng)為()A2 3B2 2C3D3 2【答案】A【解析】由b2ccosA0，得b2cb2c2a22bc0，整理得 2b2a2c2.由余弦定理，得 cosBa2c2b22aca23c24ac2 3ac4ac32，當(dāng)且僅當(dāng)a 3c時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角B取得最大值，將a 3c代入2b2a2c2可得bc.又因?yàn)閎c1，所以bc1，a 3，故ABC的周長(zhǎng)為 2 3.11.（湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體 2019 屆高三上學(xué)期期中考試）ABC中有：若AB，則；若22sin Asin B，則ABC定為等腰三角形；若，則ABC定為直角三角形.以上結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由正弦定理及大對(duì)大角可知正確；或ABC是直角三角形或等腰三角形；所以錯(cuò)誤；由已知及余弦定理可得22222222acbbcaabcacbc，化簡(jiǎn)得222abc，所以正確.故選 C.12.(2019武漢模擬)在ABC中，C23，AB3，則ABC的周長(zhǎng)為()A.6sinA3 3B.6sinA6 3C.2 3sinA3 3D.2 3sinA6 3【答案】C9【解析】設(shè)ABC的外接圓半徑為R，則 2R3sin232 3，于是BC2RsinA2 3sinA，AC2RsinB2 3sin3A.于是ABC的周長(zhǎng)為 2 3 sinAsin3A32 3sinA3 3.13.(2018泰安二模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cb2casinAsinBsinC，則角B_.【答案】4【解析】由正弦定理可得cb2casinAsinBsinCabc，c2b2 2aca2，c2a2b2 2ac，cosBa2c2b22ac22，0B，B4.14.(2019合肥模擬)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)ABC的三個(gè) 內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊 分別為a，b，c，面積 為S，則“三斜求 積”公式為S14a2c2a2c2b222.若a2sinC4sinA，(ac)212b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為_(kāi).【答案】3【解析】根據(jù)正弦定理及a2sinC4sinA，可得ac4，由(ac)212b2，可得a2c2b24，所以SABC14a2c2a2c2b22214（164）3.15.(2019荊州一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a2 2，cosA34，sinB2sinC，則ABC的面積是_.【答案】7【解析】由 sinB2sinC，cosA34，A為ABC一內(nèi)角可得b2c，sinA 1cos2A74，10由a2b2c22bccosA，可得 84c2c23c2，解得c2(舍負(fù))，則b4.SABC12bcsinA122474 7.16.(2019長(zhǎng)春一模)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若12bsinCcosAsinAcosC，且a2 3，則ABC面積的最大值為_(kāi).【答案】3 3【解析】因?yàn)?2bsinCcosAsinAcosC，所以12bcosAsinCcosAsinAcosC，所以12bcosAsin(AC)，所以12bcosAsinB，所以cosA2sinBb，又sinBbsinAa，a2 3，所以cosA2sinA2 3，得 tanA 3，又A(0，)，則A3，由余弦定理得(2 3)2b2c22bc12b2c2bc2bcbcbc，即bc12，當(dāng)且僅當(dāng)bc23時(shí)取等號(hào)，從而ABC面積的最大值為1212323 3.17(2019綿陽(yáng)模擬)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??；(2)若 sinBsinC1，試判斷ABC的形狀【解析】(1)由已知，結(jié)合正弦定理，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.又由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以bc2bccosA，即 cosA12.由于A為ABC的內(nèi)角，所以A23.(2)由已知 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，11結(jié)合正弦定理，得 2sin2A(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC，即 sin2Asin2Bsin2CsinBsinCsin22334.又由 sinBsinC1，得 sin2Bsin2C2sinBsinC1，所以 sinBsinC14，結(jié)合 sinBsinC1，解得 sinBsinC12.因?yàn)锽CA3，所以BC6，所以ABC是等腰三角形18.(2019濰坊一模)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(a2c)cosBbcosA0.(1)求B；(2)若b3，ABC的周長(zhǎng)為 32 3，求ABC的面積.【解析】(1)由已知及正弦定理得(sinA2sinC)cosBsinBcosA0，(sinAcosBsinBcosA)2sinCcosB0，sin(AB)2sinCcosB0，又 sin(AB)sinC，且C(0，)，sinC0，cosB12，0B，B23.(2)由余弦定理，得 9a2c22accosB.a2c2ac9，則(ac)2ac9.abc32 3，b3，ac2 3，ac3，SABC12acsinB123323 34.12