第6講空間向量及其運(yùn)算一、選擇題1.(2017·黃岡模擬)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，則實(shí)數(shù)m的值等于()A. B.2C.0 D.或2解析ab，解得m2.答案B2.(2017·海南模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為()A. B.C. D.解析如圖，設(shè)正方體棱長為2，則易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3.空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么()A.··B.··C.··D.·與·的大小不能比較解析取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF綉CD，因?yàn)椋?0°，因?yàn)?#183;0，·0，所以··.答案C4.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是()A.1 B. C. D.解析由題意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)·(2ab)3(k1)2k2×25k70，解得k.答案D5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·的值為()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析如圖，設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.(ab)，c，·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos 60°a2cos 60°)a2.答案C二、填空題6.已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，a·c4，|b|12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為_.解析由題意得，(2ab)·c0102010.即2a·cb·c10，又a·c4，b·c18，cosb，c，b，c120°，兩直線的夾角為60°.答案60°7.正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，則EF的長為_.解析|2()22222(···)1222122(1×2×cos 120°02×1×cos 120°)2，|，EF的長為.答案8.(2017·南昌調(diào)研)已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且2，現(xiàn)用基底，表示向量，有xyz，則x，y，z的值分別為_.解析()，x，y，z.答案，三、解答題9.已知空間中三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m±1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，a·b(1，1，0)·(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a與向量b的夾角的余弦值為.10.如圖，在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBFx，其中0xa，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：.(1)解E(a，x，0)，F(xiàn)(ax，a，0).(2)證明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，·axa(xa)a20，A1FC1E.(3)證明A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，共面.選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.11.在空間四邊形ABCD中，···()A.1 B.0 C.1 D.不確定解析如圖，令a，b，c，則···a·(cb)b·(ac)c·(ba)a·ca·bb·ab·cc·bc·a0.答案B12.若a，b，c是空間的一個(gè)基底，且向量pxaybzc，則(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo).已知a，b，c是空間的一個(gè)基底，ab，ab，c是空間的另一個(gè)基底，一向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)是()A.(4，0，3) B.(3，1，3)C.(1，2，3) D.(2，1，3)解析設(shè)p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為x，y，z.則px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因?yàn)閜在a，b，c下的坐標(biāo)為(4，2，3)，p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐標(biāo)為(3，1，3).答案B13.(2017·鄭州調(diào)研)已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取得最小值時(shí)，的坐標(biāo)是_.解析點(diǎn)Q在直線OP上，設(shè)點(diǎn)Q(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.即當(dāng)時(shí)，·取得最小值.此時(shí).答案14.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)·；(2)EG的長；(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值.解設(shè)a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)abacb abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，則|.(3)bc，ba，cos，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.6