專題突破練(7)概率與其他知識的交匯一、選擇題1(2018·太原五中測試)在區(qū)間1，5上隨機地取一個數(shù)m，則方程4x2m2y21表示焦點在y軸上的橢圓的概率是()A B C D答案B解析由方程4x2m2y21，即1表示焦點在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1m5，則1m2，則所求概率為故選B2(2018·湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛心”活動中，會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為()A B C D答案C解析設(shè)AB2，則BG1，AG，故多邊形AEFGHID的面積S()2×2×2×212，由sinEABcosGAB，所以S陰影部分×AE×AB×sinEAB2，故所求概率P故選C3(2018·黑龍江虎林一中期末)若隨機變量XN(，2)(>0)，則有如下結(jié)論：P(<X)06826，P(2<X2)09544，P(3<X3)09974高三(1)班有40名同學，一次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布，平均分為120，方差為100，理論上說成績在130分以上人數(shù)約為()A19 B12 C6 D5答案C解析由條件知120，10，則P(X>130)(106826)01587，所以成績在130分以上人數(shù)約為40×015876故選C4(2018·廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A B C D答案D解析將a記為橫坐標，b記為縱坐標，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個基本事件，而函數(shù)有兩個極值點的條件為其導函數(shù)有兩個不相等的實根因為f(x)x22axb2，滿足題中條件為4a24b2>0，即a>b，所以滿足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個基本事件，所以所求的概率為P故選D5(2018·湖北部分重點中學聯(lián)考二)已知實數(shù)a，b是利用計算機產(chǎn)生的01之間的均勻隨機數(shù)，設(shè)事件A為“(a1)2b2>”，則事件A發(fā)生的概率為()A B1 C D1答案B解析分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標系，則符合題意的實數(shù)對(a，b)表示的平面區(qū)域為邊長為1的正方形及其內(nèi)部，其中使得事件A不發(fā)生的實數(shù)對(a，b)表示的平面區(qū)域為以(1，0)為圓心，半徑為的四分之一個圓及其內(nèi)部，則事件A發(fā)生的概率為1故選B6(2018·山東青島統(tǒng)測)矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)sinx(x(0，)及直線xa(a(0，)與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點，若落在陰影部分的概率為，則a的值為()A B C D答案A解析根據(jù)題意，陰影部分的面積為sinxdx1cosa，矩形的面積為a×8，故由幾何概型的概率公式可得，解得cosa，所以a故選A7(2018·山西考前適應(yīng)訓練)甲、乙二人約定7：10在某處會面，甲在7：007：20內(nèi)某一時刻隨機到達，乙在7：057：20內(nèi)某一時刻隨機到達，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是()ABCD答案C解析設(shè)甲、乙到達約會地點的時刻分別是x，y，則取值范圍為對應(yīng)區(qū)域是以20和15為邊長的長方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿足yx5，對應(yīng)區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為故選C二、填空題8(2019·成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測評中成績的莖葉圖如圖所示，其中一個數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績分別為甲，乙，則甲>乙的概率是_答案解析乙的綜合測評成績?yōu)?6，87，91，92，94，乙90，污損處可取數(shù)字0，1，2，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對應(yīng)的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為9(2018·安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使l1：xay3，l2：bx6y3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(xm)2y2的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是_答案<m<解析由l1l2得ab6且a6，b1，滿足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6×636種，P1，P2，22<，解得<m<10(2018·福州畢業(yè)質(zhì)檢)如圖，在菱形ABCD中，AB2，ABC60°，以該菱形的4個頂點為圓心的扇形的半徑都為1若在菱形內(nèi)隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率是_答案解析由題可知四個扇形的面積之和剛好為半徑為1的圓的面積，此時黑色部分的面積即為菱形面積減去半徑為1的圓的面積，從而所求概率為P三、解答題11(2018·河北衡水中學九模)某儀器經(jīng)過檢驗合格才能出廠，初檢合格率為；若初檢不合格，則需要進行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對其進行檢驗；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為每臺儀器各項費用如表：項目生產(chǎn)成本檢驗費/次調(diào)試費出廠價金額(元)10001002003000(1)求每臺儀器能出廠的概率；(2)求生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率(注：利潤出廠價生產(chǎn)成本檢驗費調(diào)試費)；(3)假設(shè)每臺儀器是否合格相互獨立，記X為生產(chǎn)兩臺儀器所獲得的利潤，求X的分布列和數(shù)學期望解(1)記每臺儀器不能出廠為事件A，則P(A)11，所以每臺儀器能出廠的概率為P()1(2)生產(chǎn)一臺儀器利潤為1600元的概率P1×(3)X的取值可能為3800，3500，3200，500，200，2800P(X3800)×，P(X3500)C××，P(X3200)2，P(X500)C×××，P(X200)C××××，P(X2800)×2，X的分布列為X3800350032005002002800PE(X)3800×3500×3200×500×200×(2800)×335012(2018·湖南雅禮中學月考三)某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶15噸，使用設(shè)備15小時，獲利1200元要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位：噸)是一個隨機變量，其分布列為W121518P030502該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個隨機變量(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率解(1)設(shè)每天A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x，y，相應(yīng)的獲利為z，則有(*)目標函數(shù)為z1000x1200y將z1000x1200y變形為l：yx，設(shè)l0：yx當W12時，(*)表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，三個頂點分別為A(0，0)，B(24，48)，C(6，0)平移直線l0知當直線l過點B，即當x24，y48時，z取最大值，故最大獲利Zzmax24×100048×12008160(元)當W15時，(*)表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，三個頂點分別為A(0，0)，B(3，6)，C(75，0)平移直線l0知當直線l過點B，即當x3，y6時，z取得最大值，故最大獲利Zzmax3×10006×120010200(元)當W18時，(*)表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，四個頂點分別為A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)平移直線l0知當直線l過點C，即當x6，y4時，z取得最大值，故最大獲利Zzmax6×10004×120010800(元)故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P030502因此，E(Z)8160×0310200×0510800×029708(2)由(1)知，一天最大獲利超過10000元的概率p1P(Z>10000)050207，由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為p1(1p1)31033097313(2018·河南八市聯(lián)考一)我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程某市共有戶籍人口400萬，其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構(gòu)免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統(tǒng)計，樣本頻數(shù)分布被制作成如下圖表：(1)若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應(yīng)抽取多少人？(2)估算該市80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比；(3)據(jù)統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼，標準如下：80歲及以上老人每人每月發(fā)放生活補貼200元；80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元；不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元利用樣本估計總體，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預算(單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù))解(1)數(shù)據(jù)整理如下表：健康狀況健康基本健康不健康尚能自理不能自理80歲及以上2045201580歲以下2002255025從圖表中知采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，80歲及以上應(yīng)抽取8×3(人)，80歲以下應(yīng)抽取8×5(人)(2)在600人中80歲及以上老人在老人中占比為，用樣本估計總體，80歲及以上長者為66×11(萬人)，80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比為×100%275%(3)解法一：用樣本估計總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，P(X0)，P(X120)×，P(X200)×，P(X220)×，P(X300)×，則隨機變量X的分布列為X0120200220300PE(X)28，全市老人的總預算為28×12×66×10422176×108元故政府執(zhí)行此計劃的年度預算約為222億元解法二：在無固定收入的戶籍老人中，80歲及以上老人有66××(萬)，80歲以下老人有66××11(萬)，不能自理老人有66××(萬)所以全市老人總預算為：×20011×120×100×104×1222176×108元故政府執(zhí)行此計劃的年度預算約為222億元11