第2講不等式選講考情研析不等式選講主要考查平均值不等式的應(yīng)用，絕對值三角不等式的理解及應(yīng)用、含絕對值不等式的解法、含參不等式解法和恒成立問題以及不等式的證明方法(比較法、綜合法、分析法、放縮法)及它們的應(yīng)用其中絕對值不等式的解法及證明方法的應(yīng)用是重點難度不大，分值10分，一般會出現(xiàn)在選考部分第二題的位置.核心知識回顧1.絕對值的三角不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立2|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法(1)|axb|c(c>0)caxbc.(2)|axb|c(c>0)axbc或axbc.3|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想(2)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論思想(3)通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想4證明不等式的基本方法(1)比較法；(2)綜合法；(3)分析法；(4)反證法；(5)放縮法5二維形式的柯西不等式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立熱點考向探究考向1 絕對值不等式的解法及應(yīng)用角度1絕對值不等式的解法例1(2019·烏魯木齊高三第二次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)2|x1|xa|，aR.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)<0的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<x有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)2|x1|x1|，當(dāng)x1時，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即x30，得x3，此時3x1，當(dāng)1x1，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即3x10，得x，此時1x，當(dāng)x1時，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即x30，得x3，此時無解，綜上，不等式的解集為.(2)f(x)x2|x2|x|xa|有解，等價于函數(shù)y2|x2|x的圖象上存在點在函數(shù)y|xa|的圖象下方，由函數(shù)y2|x2|x與函數(shù)y|xa|的圖象可知，a0或a4.解絕對值不等式的步驟和方法(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟求零點劃區(qū)間、去絕對值號分別解去掉絕對值的不等式取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值(2)用圖象法求解不等式用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法(3)用絕對值不等式的幾何意義求解(1)解關(guān)于x的不等式x|x4|3<0；(2)關(guān)于x的不等式|x|2|x9|<a有解，求實數(shù)a的取值范圍解(1)原不等式等價于或解得x<2或3<x<1，所以原不等式的解集是(，2)(3，1)(2)令f(x)|x|2|x9|，則關(guān)于x的不等式|x|2|x9|<a有解等價于a>f(x)min.f(x)所以f(x)的最小值為9.所以a>9，即實數(shù)a的取值范圍為(9，)角度2絕對值不等式恒成立(或存在性)問題例2(2019·德陽市高三第二次診斷)已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)x的解集；(2)若f(x)a21恒成立，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x2|，即f(x)不等式f(x)x即為或或即有x3或1x1或1x3，得x3或1x3，所以不等式的解集為x|x3或1x3(2)因為|xa|x2|xax2|a2|，所以f(x)|a2|，若f(x)a21恒成立，則|a2|a21，即或解得a或a，解答含參數(shù)的絕對值不等式應(yīng)熟記的幾個轉(zhuǎn)化f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無解f(x)maxa；f(x)<a無解f(x)mina.(2019·宣城市高三第二次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)2x1.(1)解關(guān)于x的不等式g(x)|x1|；(2)如果對xR，不等式|g(x)|c|x1|恒成立，求實數(shù)c的取值范圍解(1)由題意可得，g(x)2x1，所以g(x)|x1|即2x1|x1|.當(dāng)x1時，2x1x1，解得x0，所以x1；當(dāng)x<1時，2x11x，解得x，所以x<1.考向2 絕對值不等式的證明例3已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)|xa|xb|.(1)當(dāng)a1，b1時，解關(guān)于x的不等式f(x)>1；(2)若函數(shù)f(x)的最大值為2，求證：2.解(1)當(dāng)a1，b1時，f(x)|x1|x1|當(dāng)x1時，f(x)2>1，不等式恒成立，此時不等式的解集為x|x1；當(dāng)1x<1時，f(x)2x>1，所以x>，此時不等式的解集為；當(dāng)x<1時，f(x)2>1，不等式不成立，此時無解綜上所述，不等式f(x)>1的解集為.(2)證法一：由絕對值三角不等式可得|xa|xb|ab|，a>0，b>0，ab2，(ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，等號成立證法二：a>0，b>0，a<0<b，函數(shù)f(x)|xa|xb|x(a)|xb|結(jié)合圖象易得函數(shù)f(x)的最大值為ab，ab2.(ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，等號成立不等式證明的常用方法(1)不等式的證明常利用綜合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根據(jù)題目特點靈活選用方法(2)證明含絕對值的不等式主要有以下三種方法：利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|進(jìn)行證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明(2019·延安市高考模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)<|x|1；(2)若對x，yR，有|xy1|，|2y1|，求證：f(x).解(1)因為f(x)<|x|1，所以|2x1|<|x|1，即或或解得x<2或0<x<或.所以不等式的解集為x|0<x<2(2)證明：因為|xy1|，|2y1|，所以f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2×.考向3 柯西不等式的應(yīng)用例4已知a，b，c>0，abc1.求證：(1) ；(2).證明(1)由柯西不等式得()2(1·1·1·)2(121212)()2()2()23，當(dāng)且僅當(dāng)，即abc時等號成立， .(2)證法一：(3a1)24，33a.同理得33b，33c，以上三式相加得，493(abc)6，.證法二：由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)··29，又abc1，69，.柯西不等式的應(yīng)用方法(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件(2019·南通市高三下學(xué)期模擬)已知a，b，c均為正數(shù)，且a2b4c3，求的最小值，并指出取得最小值時a，b，c的值解因為a2b4c3，所以(a1)2(b1)4(c1)10，因為a，b，c為正數(shù)，所以由柯西不等式得，(a1)2(b1)4(c1)·(12)2，當(dāng)且僅當(dāng)(a1)22(b1)24(c1)2等式成立，所以，所以的最小值是，此時a，b，c.真題押題真題模擬1(2019·哈爾濱市第六中學(xué)高三第二次模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|2|x1|a.(1)當(dāng)a4時，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函數(shù)f(x)的定義域為R，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a4時，f(x)0為|2x1|2|x1|>4，當(dāng)x1時，12x2x2>4x<；當(dāng)1<x<時，12x2x2>4，無解；當(dāng)x時，2x12x2>4x>.綜上，f(x)>0的解集為（，）（，）.(2)由題意得|2x1|2|x1|>a恒成立，a<(|2x1|2|x1|)min.|2x1|2|x1|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|3，a<3.2(2019·赤峰市高三模擬)已知函數(shù)f(x)|x1|x1|，g(x)x22x1.(1)若m，nR，不等式f(m)g(n)恒成立，求實數(shù)n的取值范圍；(2)設(shè)a>0，b>0，且ab2，求證：2.解(1)由f(m)|m1|m1|(m1)(m1)|2，f(m)min2，n22n12，1n3，所以n的取值范圍是1,3(2)證明：由(1)可知，22，()2ab224(a1)(b1)8，2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時等號成立，2.3(2019·全國卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.證明(1)因為a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時，等號成立所以a2b2c2.(2)因為a，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3×(2)×(2)×(2)24.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時，等號成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.金版押題4已知函數(shù)f(x)|2x3|x1|.(1)若不等式f(x)a的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若存在x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，求實數(shù)t的取值范圍解(1)f(x)|2x3|x1|yf(x)的圖象如圖所示，易得f(x)min.不等式f(x)a的解集是空集，a的取值范圍為.(2)x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，即2f(x)mint24|t|，由(1)知f(x)min，t24|t|50，解得5t5，t的取值范圍為5,5配套作業(yè)1(2019·西安八校高三聯(lián)考)已知a，b均為實數(shù)，且|3a4b|10.(1)求a2b2的最小值；(2)若|x3|x2|a2b2對任意的a，bR恒成立，求實數(shù)x的取值范圍解(1)因為102(3a4b)2(3242)(a2b2)25(a2b2)，所以a2b24，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取等號，即a2b2的最小值為4.(2)由(1)知|x3|x2|a2b2對任意的a，bR恒成立|x3|x2|4或或x<3或3xx，所以實數(shù)x的取值范圍為（，.2已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)當(dāng)a3時，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)5x對任意xR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時，即求解|2x3|x1|2，當(dāng)x時，2x3x12，x2；當(dāng)1<x<時，32xx12,2x2，x0，無解；當(dāng)x1時，32x1x2，3x2，x.綜上，解集為.(2)f(x)5x恒成立，即|2xa|5x|x1|恒成立，令g(x)5x|x1|則函數(shù)圖象如圖3，a6.3已知函數(shù)f(x)|x5|x2|.(1)若xR，使得f(x)m成立，求m的范圍；(2)求不等式x28x15f(x)0的解集解(1)f(x)|x5|x2|其對應(yīng)圖象如圖所示易知f(x)min3，m3，即m的取值范圍為3，)(2)x28x15f(x)x2，x28x180，解集為.2<x<5，x210x220,5x<5.x5，x28x120,5x6.綜上所述，不等式的解集為x|5x64(1)解不等式：|2x1|x|<1；(2)設(shè)f(x)x2x1，實數(shù)a滿足|xa|<1，求證：|f(x)f(a)|<2(|a|1)解(1)當(dāng)x<0時，原不等式可化為2xx<0，解得x>0，所以x不存在；當(dāng)0x<時，原不等式可化為2xx<0，解得x>0，所以0<x<；當(dāng)x時，原不等式可化為2x1x<1，解得x<2，所以x<2.綜上，原不等式的解集為x|0<x<2(2)證明：因為|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|·|xa1|<|xa1|xa2a1|xa|2a1|<1|2a|12(|a|1)，所以|f(x)f(a)|<2(|a|1)5(2019·益陽市高三4月模擬)已知f(x)|2x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)2的解集；(2)當(dāng)x(，0)時，不等式f(x)>2x成立，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)|2x1|x1|由f(x)2，得或或解得x或x或4x<，6已知函數(shù)f(x)|xm|，m<0.(1)當(dāng)m1時，解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，求m的取值范圍解(1)當(dāng)m1時，f(x)f(x)|x1|x1|，設(shè)F(x)|x1|x1|當(dāng)x<1時，2x2x，解得x2；當(dāng)1x<1時，22x，解得0x<1；當(dāng)x1時，2x2x，解得x1.綜上，原不等式的解集為x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m<0.設(shè)g(x)f(x)f(2x)，當(dāng)xm時，g(x)mxm2x2m3x，則g(x)m；當(dāng)m<x<時，g(x)xmm2xx，則<g(x)<m；當(dāng)x時，g(x)xm2xm3x2m，則g(x).則g(x)的值域為，由題知不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，則1>，解得m>2，由于m<0，故m的取值范圍是(2，0)7(2019·寶雞市高考模擬)已知函數(shù)f(x)|x2|x3|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若不等式f(x)<a26a的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍解(1)由f(x)|x2|x3|2可化為：或或解得x或x2或x>2， (2)因為|f(x)|x2|x3|x2x3|5，所以5f(x)5，即f(x)min5；要使不等式f(x)<a26a解集非空，需f(x)min<a26a，從而a26a5>0，解得a<5或a>1，所以a的取值范圍為(，5)(1，)8(2019·太原市高三模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|2|x1|.(1)求不等式f(x)5的解集；(2)若存在實數(shù)x0，使得f(x0)5mm2成立的m的最大值為M，且實數(shù)a，b滿足a3b3M，證明：0<ab2.解(1)f(x)|2x1|2|x1|5，x|x1|，由絕對值的幾何意義可得x和x1時上述不等式中的等號成立，35mm2，1m2，M2，a3b32，2a3b3(ab)(a2abb2)，a2abb20，ab>0，2aba2b2，4ab(ab)2，ab，2a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(ab)23ab(ab)3，ab2，0<ab2.- 14 -