第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程一、選擇題1已知函數(shù)f(x)(m2m5)xm是冪函數(shù)，且在x(0，)時為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是()A2B4C3D2或3解析：選C.f(x)(m2m5)xm是冪函數(shù)m2m51m2或m3.又在x(0，)上是增函數(shù)，所以m3.2函數(shù)yax21(a>0，且a1)的圖象恒過的點是()A(0，0)B(0，1)C(2，0)D(2，1)解析：選C.令x20，得x2，所以當(dāng)x2時，ya010，所以yax21(a>0，且a1)的圖象恒過點(2，0)3若alog，be，clog3cos ，則()Ab>c>aBb>a>cCa>b>cDc>a>b解析：選B.因為0<<<1，所以1log>log>0，所以0<a<1，因為be>e01，所以b>1.因為0<cos <1，所以log3cos <log310，所以c<0.故b>a>c，選B.4已知函數(shù)f(x)lg是奇函數(shù)，且在x0處有意義，則該函數(shù)為()A(，)上的減函數(shù)B(，)上的增函數(shù)C(1，1)上的減函數(shù)D(1，1)上的增函數(shù)解析：選D.由題意知，f(0)lg(2a)0，所以a1，所以f(x)lglg ，令>0，則1<x<1，排除A、B，又y1在(1，1)上是增函數(shù)，所以f(x)在(1，1)上是增函數(shù)，選D.5若函數(shù)ya|x|(a>0且a1)的值域為y|0<y1，則函數(shù)yloga|x|的圖象大致是()解析：選A.若函數(shù)ya|x|(a>0且a1)的值域為y|0<y1，則0<a<1，故loga|x|是偶函數(shù)且在(0，)上單調(diào)遞減，由此可知yloga|x|的圖象大致為A.620世紀30年代，為了防范地震帶來的災(zāi)害，里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為Mlg Alg A0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅已知5級地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，則7級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的()A10倍B20倍C50倍D100倍解析：選D.根據(jù)題意有l(wèi)g Alg A0lg 10Mlg (A0·10M)所以AA0·10M，則100.故選D.7已知f(x)|ln(x1)|，若f(a)f(b)(a<b)，則()Aab>0Bab>1C2ab>0D2ab>1解析：選A.作出函數(shù)f(x)|ln(x1)|的圖象如圖所示，由f(a)f(b)(a<b)，得ln(a1)ln(b1)，即abab0，所以0abab<ab，即(ab)(ab4)>0，又易知1<a<0，b>0.所以ab4>0，所以ab>0.故選A.8已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)ln xx1，則函數(shù)g(x)f(x)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點個數(shù)是()A0B1C2D3解析：選C.當(dāng)x>0時，f(x)ln xx1，f(x)1，所以x(0，1)時f(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增；x(1，)時，f(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減因此，當(dāng)x>0時，f(x)maxf(1)ln 1110.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)yf(x)與yex的大致圖象如圖所示，觀察到函數(shù)yf(x)與yex的圖象有兩個交點，所以函數(shù)g(x)f(x)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))有2個零點9(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知函數(shù)f(x)2xlog3 ，若不等式f>3成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1，)B(，1)CD解析：選D.由>0得x(2，2)，又y2x在(2，2)上單調(diào)遞增，ylog3 log3 log3在(2，2)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又f(1)3，所以不等式f>3成立等價于不等式f>f(1)成立，所以解得<m<1，故選D.10已知函數(shù)f(x)sin xsin 3x，x0，2，則f(x)的所有零點之和等于()A5B6C7D8解析：選C.f(x)sin xsin 3xsin(2xx)sin(2xx)2cos 2xsin x，令f(x)0, 可得cos 2x0或sin x0，因為x0，2，所以2x0，4，由cos 2x0可得2x或2x或2x或2x，所以x或x或x或x，由sin x0可得x0或x或x2，因為027，所以f(x)的所有零點之和等于7，故選C.11(多選)已知函數(shù)f(x)e|x|x|.則關(guān)于x的方程f(x)k的根的情況，下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)k1時，方程有一個實根B當(dāng)k>1時，方程有兩個實根C當(dāng)k0時，方程有一個實根D當(dāng)k1時，方程有實根解析：選ABD.方程f(x)k化為e|x|k|x|，設(shè)y1e|x|，y2k|x|.y2k|x|表示斜率為1或1的直線，折線與曲線y1e|x|恰好有一個公共點時，k1.如圖，若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(1，)故選ABD.12(多選)已知函數(shù)f(x)|2x2|b的兩個零點分別為x1，x2(x1>x2)，則下列結(jié)論正確的是()A1<x1<2Bx1x2<1Cx1x2<2Dx1>1解析：選AC.函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，即y|2x2|的圖象與直線yb有兩個交點，交點的橫坐標就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象如圖所示，可知1<x1<2，2x122x220，即42x12x2>22，所以2x1x2<4，所以x1x2<2.13(多選)已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，有f(x1)f(x)，且當(dāng)x0，1)時，f(x)log2(x1)下列命題正確的有()Af(2 016)f(2 017)0B函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)C直線yx與函數(shù)f(x)的圖象有1個交點D函數(shù)f(x)的值域為(1，1)解析：選ACD.根據(jù)題意，可在同一平面直角坐標系中畫出直線yx和函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，A，f(2 016)f(2 017)0正確；B，函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù)，所以B不正確；C，根據(jù)圖象可知yx與f(x)的圖象有1個交點，所以C正確；D，根據(jù)圖象，函數(shù)f(x)的值域是(1，1)，所以D正確二、填空題14已知函數(shù)f(x)則ff(log2 )_解析：由題可得flog2，因為log2 <0，所以f2log266，故ff8.答案：815已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，若<f(1)，則x的取值范圍是_解析：因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(ln x)ff(ln x)f(ln x)f(ln x)f(ln x)2f(ln x)，所以<f(1)等價于|f(ln x)|<f(1)，又f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，所以1<ln x<1，解得<x<e.答案：16已知函數(shù)f(x)log3 a在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為函數(shù)f(x)log3a在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點，且f(x)在(1，2)內(nèi)單調(diào)，所以f(1)·f(2)<0，即(1a)·(log32a)<0，解得log32<a<1.答案：17偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x1)，且當(dāng)x0，1時，f(x)x，則f_，若在區(qū)間1，3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)kxk有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：因為偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x1)，所以f(x)f(x2)，即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則ffff，若1x0，則0x1，則f(x)xf(x)，即f(x)x，1x0，由g(x)f(x)kxk0，得f(x)k(x1)，函數(shù)g(x)f(x)kxk有4個零點，等價為函數(shù)f(x)與h(x)k(x1)有4個不同的交點，作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，h(x)過定點A(1，0)，f(3)1，則k滿足0<h(3)1，即0<4k1，得0<k，即實數(shù)k的取值范圍是.答案： - 7 -