18圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F,該橢圓上有一點(diǎn)A,滿足OAF是等邊三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓的離心率是().A.3-1B.2-3C.2-1D.2-2解析根據(jù)題意,設(shè)F(c,0),又由OAF是等邊三角形,得Ac2,32c.因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上,所以c24a2+3c24b2=1.又a2=b2+c2,聯(lián)立,解得c=(3-1)a,則其離心率e=ca=3-1,故選A.答案A2.直線l:x-2y-5=0過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)且與其一條漸近線平行,則雙曲線的方程為().A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x24-y2=1D.x2-y24=1解析對(duì)于直線l,令y=0,得x=5,即c=5.又ba=12,所以a2=20,b2=5,所以雙曲線的方程為x220-y25=1,故選A.答案A3.從拋物線y2=4x在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且|PM|=9,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則直線PF的斜率為().A.627B.1827C.427D.227解析設(shè)P(x0,y0),因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,|PM|=9,根據(jù)拋物線的定義,可得x0=8,所以y0=±42.又點(diǎn)P在第一象限,所以P(8,42),所以kPF=427,故選C.答案C4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則OP·FP的最大值為().A.2B.3C.6D.8解析設(shè)P(x0,y0),則x024+y023=1,即y02=31-x024.又F(-1,0),所以O(shè)P·FP=x0(x0+1)+y02=14x02+x0+3=14(x0+2)2+2.因?yàn)閤0-2,2,所以(OP·FP)max=6,故選C.答案C能力1巧用定義求解曲線問(wèn)題【例1】已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是().A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線的右支解析因?yàn)镹為F1M的中點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn),所以F2M=2ON=2.因?yàn)辄c(diǎn)P在線段F1M的中垂線上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支,故選D.答案D求軌跡方程的常用方法:一是定義法,動(dòng)點(diǎn)滿足圓或圓錐曲線的定義;二是直接法,化簡(jiǎn)條件即得;三是轉(zhuǎn)移法,除所求動(dòng)點(diǎn)外,一般還有已知軌跡的動(dòng)點(diǎn),尋求兩者之間的關(guān)系是關(guān)鍵;四是交軌法或參數(shù)法,如何消去參數(shù)是解題關(guān)鍵,且需注意消參過(guò)程中的等價(jià)性.橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,若線段PF2的中點(diǎn)在y軸上,則|PF2|是|PF1|的().A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為D,則|OD|=12|PF1|,ODPF1,ODx軸,PF1x軸,|PF1|=b2a=323=32.又|PF1|+|PF2|=43,|PF2|=43-32=732,|PF2|是|PF1|的7倍,故選A.答案A能力2會(huì)用有關(guān)概念求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(2,3),且實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是().A.x212-y2=1B.x29-y23=1C.x2-y23=1D.x223-y232=1解析由題意可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-y23=1,故選C.答案C漸近線、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線等是圓錐曲線的幾何性質(zhì),這些性質(zhì)往往與平面圖形中三角形、四邊形的有關(guān)幾何量結(jié)合在一起,只有正確把握和理解這些性質(zhì),才能通過(guò)待定系數(shù)法求解圓錐曲線的方程.已知雙曲線y2a2-x2b2=1的離心率為2,且雙曲線與拋物線x2=-43y的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),SABO=3,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為().A.2B.2C.22D.42解析因?yàn)閽佄锞€的方程為x2=-43y,所以準(zhǔn)線方程為y=3.因?yàn)镾ABO=3,所以12×2×|xA|×3=3,所以xA=±1,所以A(1,3)或A(-1,3).因?yàn)殡p曲線y2a2-x2b2=1的離心率為2,所以a=b,所以3a2-1a2=1,故a=2,因此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為22,故選C.答案C能力3會(huì)用幾何量的關(guān)系求離心率【例3】已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,y軸上的點(diǎn)P在橢圓外,且線段PF1與橢圓E交于點(diǎn)M,若|OM|=|MF1|=33|OP|,則橢圓E的離心率為().A.12B.32C.3-1D.3+12解析因?yàn)閨OM|=|MF1|=33|OP|,所以F1PO=30°, MF1F2=60°,連接MF2 ,則可得三角形MF1F2為直角三角形.在RtMF1F2中,易知MF1=c,MF2=3c,則c+3c=2a,所以離心率e=ca=21+3=3-1,故選C.答案C求離心率一般有以下幾種方法:直接求出a,c,從而求出e;構(gòu)造a,c的齊次式,求出e;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解;根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.本題中,根據(jù)特殊直角三角形可以建立關(guān)于焦半徑和焦距的關(guān)系,從而找出a,c之間的關(guān)系,求出離心率e.過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F作某一漸近線的垂線,分別與兩條漸近線相交于A,B兩點(diǎn),若|AF|BF|=12,則雙曲線的離心率為().A.233B.2C.3D.5解析因?yàn)閍>b>0,所以交點(diǎn)A,B在F的兩側(cè).由|AF|BF|=12及角平分線定理知|AO|BO|=|AF|BF|=12.由ABAO知cosAOB=|OA|OB|=12,所以AOB=60°,AOF=30°,據(jù)此可知漸近線的方程為y=±33x,而雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=±bax,故ba=33,則雙曲線的離心率e=1+ba2=233,故選A.答案A能力4能緊扣圓錐曲線的性質(zhì)求最值或取值范圍【例4】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為().A.33B.23C.22D.1解析設(shè)Py022p,y0,由題意知Fp2,0,顯然當(dāng)y0<0時(shí),不符合題意,故y0>0,則OM=OF+FM=OF+13FP=OF+13(OP-OF)=13OP+23OF=y026p+p3,y03,可得kOM=y03y026p+p3=2y0p+2py0222=22,當(dāng)且僅當(dāng)y02=2p2,即y0=2p時(shí)取等號(hào),故選C.答案C解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件|PM|=2|MF|,利用向量的運(yùn)算可知My026p+p3,y03,從而寫(xiě)出直線的斜率的表達(dá)式,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號(hào)是否成立,否則易出問(wèn)題.如圖,圓O與離心率為32的橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相切于點(diǎn)M(0,1),過(guò)點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1,l2,兩條直線與兩曲線分別交于點(diǎn)A,C與點(diǎn)B,D(均不重合).若P為橢圓上任意一點(diǎn),記點(diǎn)P到兩條直線的距離分別為d1,d2,則d12+d22的最大值是().A.4B.5C.163D.253解析易知橢圓T的方程為x24+y2=1,圓O的方程為x2+y2=1.設(shè)P(x0,y0),因?yàn)閘1l2,所以d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2.又因?yàn)閤024+y02=1,所以d12+d22=4-4y02+(y0-1)2=-3y0+132+163.因?yàn)?1y01,所以當(dāng)y0=-13時(shí),d12+d22取得最大值163,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為±423,-13,故選C.答案C一、選擇題1.拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為().A.y=-1B.y=1C.y=116D.y=-116解析將y=4x2化為x2=14y,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-116,故選D.答案D2.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m+y23=1的離心率為12,則m=().A.6B.6C.4D.2解析由焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m+y23=1,可得a=m,c=m-3.由離心率為12可得m-3m=12,解得m=4,故選C.答案C3.已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=12,且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,則橢圓的方程為().A.x24+y23=1B.x28+y26=1C.x22+y2=1D.x24+y2=1解析由題意可設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(-1,0),所以c=1.又離心率e=ca=12,解得a=2,所以b2=a2-c2=3,所以橢圓的方程為x24+y23=1,故選A.答案A4.已知正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓x2a2+y2b2=1上,若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是().A.5-12,1B.0,5-12C.3-12,1D.0,3-12解析設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2m,因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部,所以m>c.又正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓x2a2+y2b2=1上,所以m2a2+m2b2=1>c2a2+c2b2=e2+c2a2-c2=e2+e21-e2,所以e4-3e2+1>0,所以e2<3-52=1-522,所以0<e<5-12,故選B.答案B5.以F0,p2(p>0)為焦點(diǎn)的拋物線C的準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=2相交于M,N兩點(diǎn),若MNF為正三角形,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為().A.y2=26xB.y2=46xC.x2=46yD.x2=26y解析將y=p2代入雙曲線x2-y2=2中,可得x=±2+p24.MNF為正三角形,p=32×22+p24.p>0,p=26,拋物線C的方程為x2=46y,故選C.答案C6.設(shè)F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),P是C上的點(diǎn),圓x2+y2=a29與直線PF交于A,B兩點(diǎn),若A,B是線段PF的兩個(gè)三等分點(diǎn),則橢圓C的離心率為().A.33B.53C.104D.175解析如圖,取AB的中點(diǎn)H,設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為E,連接PE,OH,OA.且H是AB的中點(diǎn),OHAB.A,B三等分線段PF,設(shè)|OH|=d,則|PE|=2d,|PF|=2a-2d,|AH|=a-d3,于是在RtOHA中,|OA|2=|OH|2+|AH|2,解得a=5d.于是在RtOHF中,|FH|=45a,|OH|=15a,|OF|=c,由|OF|2=|OH|2+|FH|2,化簡(jiǎn)得17a2=25c2,則ca=175.即橢圓C的離心率為175.故選D.答案D7.已知F1、F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),F1的坐標(biāo)為(-7,0),雙曲線右支上的點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=4,則雙曲線的漸近線方程為().A.y=±32xB.y=±232xC.y=±34xD.y=±43x解析F1的坐標(biāo)為(-7,0),c=7.雙曲線右支上的點(diǎn) P滿足|PF1|-|PF2|=4,2a=4,即a=2,b2=c2-a2=7-4=3,即b=3,則雙曲線的漸近線方程為y=±32x,故選A.答案A8.已知F1、F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn) A、B.若ABF2為等邊三角形,則雙曲線的離心率為().A.4B.7C.233D.3解析設(shè)|AB|=m,則|BF1|-|BF2|=|AF1|=2a,所以|AF2|-|AF1|=m-2a=2a,m=4a,因此4c2=(4a+2a)2+(4a)2-2×6a×4a×cos3,所以4c2=28a2,e2=7,所以e=7,故選B.答案B9.已知F1、F2是雙曲線x2a2-y26=1(a>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B,若|AF1|=2a,F1AF2=23,則SF1BF2=().A.6B.62C.63D.12解析由雙曲線的定義,得|AF2|-|AF1|=2a.又|AF1|=2a,則|AF2|=4a,在F1AF2中,4c2=4a2+(4a)2+2×2a×4a×12,即c2=7a2,即a2+6=7a2,解得a=1.因?yàn)閨BF1|-|BF2|=2,且|BF1|-|BA|=2,所以|BA|=|BF2|.又F2AB=3,所以BAF2為等邊三角形.因?yàn)閨AF2|=4,所以SF1BF2=SABF2+SAF1F2=12×42×32+12×2×4×32=63,故選C.答案C10.已知F是拋物線x2=4y的焦點(diǎn),P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1),則|PF|PA|的最小值是().A.14B.12C.22D.32解析由題意可得,拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1.過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,則|PF|PA|=|PM|PA|=sinPAM,PAM為銳角.當(dāng)PAM最小時(shí),|PF|PA|最小,則當(dāng)PA和拋物線相切時(shí),|PF|PA|最小.設(shè)切點(diǎn)P(2a,a),又y=x24的導(dǎo)數(shù)為y'=x2,則PA的斜率為12×2a=a=a+12a,a=1,則P(2,1),|PM|=2,|PA|=22,sinPAM=|PM|PA|=22,故選C.答案C二、填空題11.若拋物線y2=ax(a>0)上的點(diǎn)P32,y0到焦點(diǎn)F的距離為2,則a=. 解析由題意得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為a4,0,準(zhǔn)線方程為x=-a4,由拋物線的焦半徑公式得|PF|=x0+p2=32+a4=2,解得a=2.答案212.若M為雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn),A和F分別為雙曲線C1的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),且MAF為等邊三角形,雙曲線C1與雙曲線C2:x24-y2(b')2=1(b'>0)的漸近線相同,則雙曲線C2的虛軸長(zhǎng)是. 解析由題意知,A(-a,0),F(c,0),Mc-a2,3(c+a)2.(c-a)24a2-3(c+a)24b2=1,3(c+a)24(c2-a2)=(c-a)24a2-1=(c-3a)(c+a)4a2,3c-a=c-3aa2,c2=4ac,e=4,即ca=4,ba=15.又雙曲線C1與雙曲線C2的漸近線相同,b'2=15,b'=215,則雙曲線C2的虛軸長(zhǎng)是415.答案41513.如圖,點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是. 解析拋物線的準(zhǔn)線的方程為x=-2,焦點(diǎn)為F(2,0),由拋物線的定義可得|AF|=xA+2.又圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2,0),半徑為4,FAB的周長(zhǎng)=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB.由拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,xB(2,6),FAB的周長(zhǎng)6+xB(8,12).答案(8,12)11