培優(yōu)點(diǎn)十一 數(shù)列求通項(xiàng)公式一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式例1：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（1），；（2），；（3），；（4），【答案】（1），；（2），；（3），；（4）【解析】（1）各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式，（2）這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式，（3）這個(gè)數(shù)列，去掉負(fù)號(hào)，可發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為，（4）將原數(shù)列改寫為，易知數(shù)列，的通項(xiàng)為，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為二、由 與 的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2：（1）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和若，則【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，三、由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式例3：（1）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）在數(shù)列中，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（3）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）累加法由題意得，以上各式相加，得又，當(dāng)時(shí)也滿足上式，（2）累乘法，以上個(gè)式子相乘得當(dāng)時(shí)，上式也成立（3）構(gòu)造法，數(shù)列為等比數(shù)列，公比，又，對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）ABCD【答案】C【解析】解法一：特例淘汰法令，淘汰D選項(xiàng)，令，淘汰A，B選項(xiàng)解法二：數(shù)列變形為，分子、分母都是等差數(shù)列，分子，分母故選C2已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）ABCD【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，所以，故選C3若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意，由，得，即由，得，則數(shù)列前項(xiàng)和，故選C4設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）ABCD【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得到，所以故選C5已知滿足，且，則的最小值為（）ABCD【答案】D【解析】由已知條件可知，當(dāng)時(shí)，又時(shí)，滿足此式所以令，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，則，故的最小值為，故選D6已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）ABCD【答案】B【解析】由，可得所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，即7數(shù)列滿足，若，則（）ABCD【答案】B【解析】由，得，所以，所以，所以由此可知，該數(shù)列是一個(gè)周期為的周期數(shù)列，所以8已知數(shù)列滿足，且，則（）ABCD【答案】B【解析】，又，則，于是得到，上述所有等式全部相加得，因此，故選B二、填空題9設(shè)數(shù)列滿足，則通項(xiàng)公式【答案】【解析】由，得，所以，又適合上式，故10已知函數(shù)，且，則【答案】【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為定值，所以故填11已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣（如圖），則該數(shù)陣中的第行第個(gè)數(shù)為【答案】【解析】由題意可得該數(shù)陣中的第行，第個(gè)數(shù)為數(shù)列的第項(xiàng)，而，故該數(shù)陣第行、第個(gè)數(shù)為三、解答題12根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（1），；（2），；（3），；（4），【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）【解析】（1）將各項(xiàng)改寫如下，易知（2）將各項(xiàng)絕對(duì)值改寫如下，綜合考查分子、分母，以及各項(xiàng)符號(hào)可知（3）或（4）觀察數(shù)列可知，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所以13已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是（1）若，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？為何值時(shí)，有最小值？并求出最小值；（2）對(duì)于，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，時(shí)，有最小值，最小值為；（2）【解析】（1）由，解得因?yàn)?，所以，所以?shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為，因?yàn)椋啥魏瘮?shù)性質(zhì)，得當(dāng)或時(shí)，有最小值，其最小值為（2）由于對(duì)于，都有知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式，可以看作是關(guān)于的二次函數(shù)，考慮到，所以，即得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為14為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可知可得，即由于，可得又，解得（舍去）或所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為（2）由可知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則15設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求的最小值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：由，得，所以由，可得，又，所以，得所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知，所以所以，所以，因?yàn)閷?duì)，所以的最小值為14