第5講 古典概型基礎(chǔ)達標1(2017·高考全國卷)從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()ABCD解析：選D.依題意，記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a>b的數(shù)組共有10個，分別為(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率為，選D.2高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學站成一排合影留念，已知甲、乙相鄰，則甲、丙相鄰的概率為()ABCD解析：選B.五人排隊，甲、乙相鄰的排法有AA48(種)，若甲、丙相鄰，此時甲在乙、丙中間，排法有AA12(種)，故甲、丙相鄰的概率為.3袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球，從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為()A1BCD解析：選C.從袋中任取2個球共有C105種，其中恰好1個白球，1個紅球共有CC50種，所以恰好1個白球，1個紅球的概率為.4(2019·臺州高三質(zhì)檢)已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與yx21有交點的概率是()ABCD解析：選C.易知過點(0，0)與yx21相切的直線為y2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個，由古典概型知概率為.5(2019·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()ABCD解析：選D.f(x)x22axb2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有(2a)24b20，即a2b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值滿足a2b2的有6個基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率為.6一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當ab，bc時稱為“凹數(shù)”(如213，312等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是()ABCD解析：選C.由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個；同理由1，2，4組成的三位自然數(shù)共6個；由1，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個；由2，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個所以共有666624個當b1時，有214，213，314，412，312，413，共6個“凹數(shù)”當b2時，有324，423，共2個“凹數(shù)”所以三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P.7(2019·杭州學軍中學高三質(zhì)檢)甲、乙兩個箱子里各裝有2個紅球和1個白球，現(xiàn)從兩個箱子中隨機各取一個球，則至少有一個紅球的概率為_解析：兩個箱子各取一個球全是白球的概率P，所以至少有一個紅球的概率為1P1.答案：8在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是_解析：記“兩人都中獎”為事件A，設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1，2，0，那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6種其中甲、乙都中獎有(1，2)，(2，1)，2種，所以P(A).答案：9從20名男生、10名女生中任選3名參加體能測試，則選到的3名學生中既有男生又有女生的概率為_解析：選到的學生中有男生1名、女生2名的選法有CC 種，選到的學生中有男生2名、女生1名的選法有CC 種，則選到的3名學生中既有男生又有女生的概率為P.答案：10有100本書，既分為文科、理科2類，又分為精裝、平裝2種，其中文科書40本，精裝書70本，理科的平裝書20本，則：(1)任取1本恰是文科精裝書的概率是_；(2)先任取1本恰是文科書，放回后再取1本恰是精裝書的概率是_解析：(1)基本事件總數(shù)為100，其中文科書40本，理科書60本；精裝書70本，理科的平裝書20本，精裝書40本；文科的精裝書30本，文科的平裝書10本則任取1本恰是文科精裝書的概率為0.3.(2)基本事件總數(shù)為100×100，則所求概率P×0.28.答案：(1)0.3(2)0.2811(2017·高考山東卷)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率解：(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15個所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3個則所求事件的概率為：P.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9個包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2個，則所求事件的概率為：P.12在100件產(chǎn)品中，有95件合格品、5件次品，從中任取2件，求：(1)2件都是合格品的概率；(2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品、1件是次品的概率解：從100件產(chǎn)品中任取2件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)就是從100個元素中任取2個元素的組合數(shù)C，由于任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則C4 950為基本事件總數(shù)(1)100件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)就是從95個元素中任取2個的組合數(shù)C，記“任取2件都是合格品”為事件A1，那么P(A1).(2)由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結(jié)果數(shù)為C，記“任取2件都是次品”為事件A2，那么事件A2的概率P(A2).(3)記“任取2件，1件是次品，1件是合格品”為事件A3，而取到1件合格品、1件次品的結(jié)果有C·C種，則事件A3的概率P(A3).能力提升1從1到10這十個自然數(shù)中隨機取三個數(shù)，則其中一個數(shù)是另兩個數(shù)之和的概率是()ABCD解析：選A.不妨設(shè)取出的三個數(shù)為x，y，z(x<y<z)，要滿足xyz，共有20種結(jié)果，從十個數(shù)中取三個數(shù)共有C種結(jié)果，故所求概率為.2已知函數(shù)f(x)logax3loga2，a，2，4，5，8，9，則f(3a2)>f(2a)>0的概率為()ABCD解析：選B.因為a，2，4，5，8，9，所以3a2>2a，又f(3a2)>f(2a)>0，所以函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)因為f(x)logax3loga2loga，所以a>1，又f(2a)>0，所以loga>0，所以>1，即a>4，則f(3a2)>f(2a)>0的概率P.故選B.3某同學同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，則雙曲線1的離心率e>的概率是_解析：由e>，得b>2a.當a1時，b3，4，5，6四種情況；當a2時，b5，6兩種情況，總共有6種情況又同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果所以所求事件的概率P.答案：4連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，記第i次得到的向上一面的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱k為幸運數(shù)字，則幸運數(shù)字為3的概率是_解析：連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子3次，所含基本事件總數(shù)n6×6×6，要使a1a2a36，則a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三種情況，其所含的基本事件個數(shù)mAC110.故幸運數(shù)字為3的概率為P.答案：5已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A，B兩組，每組4支，求：(1)A，B兩組中有一組恰好有2支弱隊的概率；(2)A組中至少有2支弱隊的概率解：(1)法一：3支弱隊在同一組中的概率為×2，故有一組恰好有2支弱隊的概率為1.法二：A組恰有2支弱隊的概率為，B組恰好有2支弱隊的概率為，所以有一組恰好有2支弱隊的概率為.(2)法一：A組中至少有2支弱隊的概率為.法二：A，B兩組有一組中至少有2支弱隊的概率為1(因為此事件為必然事件)由于對A組和B組而言，至少有2支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有2支弱隊的概率為.6在某大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)”為事件EA，那么P(EA)，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是.(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)”為事件E，那么P(E)，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P()1P(E).(3)有兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率P2，所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率P11P2.7