第2講空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.(2015·全國(guó)卷)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r8，所以r.所以米堆的體積為V×·r2·5··5(立方尺).故堆放的米約有÷1.6222(斛).答案B2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A.2 B. C. D.3解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底(12)×23.Vx·33，解得x3.答案D3.(2017·合肥模擬)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A.1 B.2 C.12 D.2解析四面體的直觀圖如圖所示.側(cè)面SAC底面ABC，且SAC與ABC均為腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形，SASCABBC，AC2.設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接SO，BO，則SOAC，又SO平面SAC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.又OSOB1，SB，故SAB與SBC均是邊長(zhǎng)為的正三角形，故該四面體的表面積為2×××2××()22.答案B4.(2015·全國(guó)卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36 B.64 C.144 D.256解析因?yàn)锳OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐OABC的體積取得最大值.由×R2×R36，得R6.從而球O的表面積S4R2144.答案C5.(2017·青島模擬)如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB2PN，則三棱錐NPAC與三棱錐DPAC的體積比為()A.12 B.18C.16 D.13解析設(shè)點(diǎn)P，N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點(diǎn)P，N，則PP平面ABCD，NN平面ABCD，所以PPNN，則在BPP中，由BN2PN得.V三棱錐NPACV三棱錐PABCV三棱錐NABCSABC·PPSABC·NNSABC·(PPNN)SABC·PPSABC·PP，V三棱錐DPACV三棱錐PACDSACD·PP，又四邊形ABCD是平行四邊形，SABCSACD，.故選D.答案D二、填空題6.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_.解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得r2·4r2·8×52×4×22×8，解得r.答案7.已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_.解析依題意可知正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R，則2R2，解得R1，所以VR3.答案8.(2017·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱和底面半徑為1，高為1的半圓錐拼成的組合體.體積V×12×2××12×1.答案三、解答題9.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示. (1)求此幾何體的表面積；(2)如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng).解(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和.S圓錐側(cè)(2a)·(a)a2，S圓柱側(cè)(2a)·(2a)4a2，S圓柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖.則PQa，所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為a.10.(2015·全國(guó)卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四邊形A1EHA×(410)×856，S四邊形EB1BH×(126)×872.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為.11.若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)是1的正方形，且其體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()解析若俯視圖為A，則該幾何體為正方體，其體積為1，不滿足條件.若俯視圖為B，則該幾何體為圓柱，其體積為×1，不滿足條件.若俯視圖為C，則該幾何體為三棱柱，其體積為×1×1×1，滿足條件.若俯視圖為D，則該幾何體為圓柱的，體積為×1，不滿足條件.答案C12.(2015·全國(guó)卷)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為1620，則r()A.1 B.2 C.4 D.8解析該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖.則表面積S×4r2r2(2r)2r·2r(54)r2，又S1620，(54)r21620，解得r2.答案B13.圓錐被一個(gè)平面截去一部分，剩余部分再被另一個(gè)平面截去一部分后，與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若r1，則該幾何體的體積為_.解析根據(jù)三視圖中的正視圖和俯視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑r1的半球，一個(gè)底面半徑r1、高2r2的圓錐組成的，則其體積為Vr3×r2×2r×.答案14.四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(1)求四面體ABCD的體積；(2)證明：四邊形EFGH是矩形.(1)解由該四面體的三視圖可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，又BDDCD，AD平面BDC，四面體ABCD的體積V××2×2×1.(2)證明BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，F(xiàn)GEH.同理，EFAD，HGAD，EFHG，四邊形EFGH是平行四邊形.又AD平面BDC，BC平面BDC，ADBC，EFFG，四邊形EFGH是矩形.7