專題能力訓練8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)專題能力訓練第22頁 一、能力突破訓練1.為了得到函數(shù)y=sin2x-3的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點()A.向左平行移動3個單位長度B.向右平行移動3個單位長度C.向左平行移動6個單位長度D.向右平行移動6個單位長度答案:D解析:由題意,為得到函數(shù)y=sin2x-3=sin2x-6,只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點向右平行移動6個單位長度,故選D.2.已知函數(shù)y=sin x(>0)在區(qū)間0,1上至少出現(xiàn)2次最大值,則的最小值為()A.52B.54C.D.32答案:A解析:要使y=sinx(>0)在區(qū)間0,1上至少出現(xiàn)2次最大值,則在區(qū)間0,1上至少包含54個周期,故只需要54·21,故52.3.(2019全國,理9)下列函數(shù)中,以2為周期且在區(qū)間4,2單調(diào)遞增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案:A解析:y=|cos2x|的圖象為,由圖知y=|cos2x|的周期為2,且在區(qū)間4,2內(nèi)單調(diào)遞增,符合題意;y=|sin2x|的圖象為,由圖知它的周期為2,但在區(qū)間4,2內(nèi)單調(diào)遞減,不符合題意;因為y=cos|x|=cosx,所以它的周期為2,不符合題意;y=sin|x|的圖象為,由圖知其不是周期函數(shù),不符合題意.故選A.4.若f(x)=cos x-sin x在區(qū)間-a,a上是減函數(shù),則a的最大值是()A.4B.2C.34D.答案:A解析:f(x)=2cosx+4,圖象如圖所示,要使f(x)在區(qū)間-a,a上為減函數(shù),a的最大為4.5.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的圖象關(guān)于直線x=3對稱,若它的最小正周期為,則函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心是()A.3,1B.12,0C.512,0D.-12,0答案:B解析:由題意知T=,則=2.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對稱,得2×3+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|<2,=-6,f(x)=Asin2x-6.令2x-6=k(kZ),則x=12+k2(kZ).函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心為12,0.故選B.6.已知函數(shù)f(x)=5sin x-12cos x,當x=x0時,f(x)有最大值13,則tan x0=. 答案:-512解析:f(x)=5sinx-12cosx=13sin(x-)cos=513,sin=1213.當x=x0時,f(x)有最大值13,所以x0-=2+2k,kZ,所以x0=+2+2k,tanx0=tan+2+2k=tan+2=1-tan=cos-sin=-512.7.定義一種運算:(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3,將函數(shù)f(x)=(3,2sin x)(cos x,cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位長度所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為. 答案:512解析:f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos2x+6,將f(x)的圖象向左平移n個單位長度對應的函數(shù)解析式為f(x)=2cos2(x+n)+6=2cos2x+2n+6,要使它為偶函數(shù),則需要2n+6=k(kZ),所以n=k2-12(kZ).因為n>0,所以當k=1時,n有最小值512.8.函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的部分圖象如圖所示,則f(x)=. 答案:2sin8x+4解析:由題意得A=2,函數(shù)的周期為T=16.T=2,=8,此時f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin8×2+=sin4+=1,則4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|<2,=4,函數(shù)的解析式為f(x)=2sin8x+4.9.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x的圖象的一個對稱中心是點3,0,則函數(shù)g(x)=sin xcos x+sin2x的圖象的一條對稱軸是.(寫出其中的一條即可) 答案:x=-3(答案不唯一)解析:將點3,0代入f(x)=sinx+cosx,得=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+12-12cos2x=12-sin2x+6,令2x+6=k+2,kZ,得x=k2+6,kZ.由k=-1,得x=-3.10.已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解:(1)由sin23=32,cos23=-12,f23=322-122-23×32×-12,得f23=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ,所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是6+k,23+k(kZ).11.已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2x-6,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos2x=34sin2x-14cos2x=12sin2x-6.所以,f(x)的最小正周期T=22=.(2)因為f(x)在區(qū)間-3,-6上是減函數(shù),在區(qū)間-6,4上是增函數(shù),f-3=-14,f-6=-12,f4=34.所以f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值為34,最小值為-12.二、思維提升訓練12.函數(shù)f(x)=2sin(x+)(>0,0)的部分圖象如圖所示,其中A,B兩點之間的距離為5,則f(-1)等于()A.2B.3C.-3D.-2答案:A解析:設函數(shù)f(x)的最小正周期為T,因為A,B兩點之間的距離為5,所以T22+42=5,解得T=6.所以=2T=3.又圖象過點(0,1),代入得2sin=1,所以=2k+6或=2k+56(kZ).又0,所以=6或=56.所以f(x)=2sin3x+6或f(x)=2sin3x+56.對于函數(shù)f(x)=2sin3x+6,當x略微大于0時,有f(x)>2sin6=1,與圖象不符,故舍去.綜上,f(x)=2sin3x+56.故f(-1)=2sin-3+56=2.13.函數(shù)y=11-x的圖象與函數(shù)y=2sin x(-2x4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于()A.2B.4C.6D.8答案:D解析:函數(shù)y1=11-x,y2=2sinx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數(shù)的圖象如圖.當1<x4時,y1<0,而函數(shù)y2在區(qū)間(1,4)內(nèi)出現(xiàn)1.5個周期的圖象,在區(qū)間1,32和52,72內(nèi)是減函數(shù);在區(qū)間32,52和72,4內(nèi)是增函數(shù).所以函數(shù)y1在區(qū)間(1,4)內(nèi)函數(shù)值為負數(shù),且與y2的圖象有四個交點E,F,G,H.相應地,y1在區(qū)間(-2,1)內(nèi)函數(shù)值為正數(shù),且與y2的圖象有四個交點A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標之和為8.14.如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個函數(shù):f(x)=sin x+cos x;f(x)=2(sin x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中為“互為生成”函數(shù)的是.(填序號) 答案:解析:首先化簡題中的四個解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sinx+4,f(x)=sinx,f(x)=2sinx+2.可知f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過平移不能完成,必須經(jīng)過伸縮變換才能實現(xiàn),所以f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理f(x)=2sinx+4的圖象與f(x)=2sinx+4的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而f(x)=2sinx+2的圖象可以向左平移4個單位長度,再向下平移2個單位長度即可得到f(x)=2sinx+4的圖象,所以為“互為生成”函數(shù).15.如圖,在同一個平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為,且tan =7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,nR),則m+n=. 答案:3解析:|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan=7,0,得0<<2,sin>0,cos>0,tan=sincos,sin=7cos,又sin2+cos2=1,得sin=7210,cos=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cos+4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.16.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖象向右平移2個單位長度.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在區(qū)間0,2)內(nèi)有兩個不同的解,.求實數(shù)m的取值范圍;證明:cos(-)=2m25-1.(1)解將g(x)=cosx的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移2個單位長度后得到y(tǒng)=2cosx-2的圖象,故f(x)=2sinx.從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱軸方程為x=k+2(kZ).(2)解f(x)+g(x)=2sinx+cosx=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依題意,sin(x+)=m5在0,2)內(nèi)有兩個不同的解,當且僅當m5<1,故m的取值范圍是(-5,5).證法一因為,是方程5sin(x+)=m在區(qū)間0,2)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.當1m<5時,+=22-,即-=-2(+);當-5<m<1時,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.證法二因為,是方程5sin(x+)=m在區(qū)間0,2)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.當1m<5時,+=22-,即+=-(+);當-5<m<1時,+=232-,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-1-m52+m52=2m25-1.9