階段強化練(七)一、選擇題1(2019·成都診斷)已知橢圓C：16x24y21，則下列結論正確的是()A長軸長為B焦距為C短軸長為D離心率為答案D解析由橢圓方程16x24y21化為標準方程可得1，所以a，b，c，長軸2a1，焦距2c，短軸2b，離心率e.故選D.2雙曲線1的漸近線方程是()Ay±3xBy±xCy±xDy±x答案C解析因為1，所以a，b3，漸近線方程為y±x，即為y±x，故選C.3(2019·河北衡水中學調研)已知雙曲線my2x21(mR)與拋物線x28y有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±xBy±3xCy±xDy±x答案A解析拋物線x28y的焦點為(0,2)，雙曲線的一個焦點為(0,2)，14，m，雙曲線的漸近線方程為y±x，故選A.4(2019·河北衡水中學模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)和直線l：1，若過C的左焦點和下頂點的直線與l平行，則橢圓C的離心率為()A.B.C.D.答案A解析直線l的斜率為，過C的左焦點和下頂點的直線與l平行，所以，又b2c2a22c2a2c2a2，所以e，故選A.5(2019·洛陽、許昌質檢)若雙曲線x21(b>0)的一條漸近線與圓x2(y2)21至多有一個交點，則雙曲線離心率的取值范圍是()A(1,2 B2，)C(1， D，)答案A解析雙曲線x21(b>0)的一條漸近線方程是bxy0，由題意圓x2(y2)21的圓心(0,2)到bxy0的距離不小于1，即1，則b23，那么離心率e(1,2，故選A.6(2019·河北武邑中學調研)已知直線l：yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點，F為C的焦點，若|FA|2|FB|，則k等于()A.B.C.D.答案D解析由消去y得k2x2(4k28)x4k20，(4k28)216k4>0，又k>0，解得0<k<1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，x1x24，根據拋物線定義及|FA|2|FB|得x122(x22)，即x12x22，且x1>0，x2>0，由解得x14，x21，代入得k2，0<k<1，k.故選D.7(2019·唐山模擬)雙曲線E：1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，則E的離心率為()A2B.C2D2答案C解析由題意，雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即，所以雙曲線的離心率為e2，故選C.8(2019·河北衡水中學模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作圓x2y2a2的切線，交雙曲線右支于點M，若F1MF245°，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±xDy±2x答案A解析如圖，作OAF1M于點A，F2BF1M于點B.因為F1M與圓x2y2a2相切，F1MF245°，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又點M在雙曲線上，所以|F1M|F2M|2a2b2a2a.整理，得ba.所以.所以雙曲線的漸近線方程為y±x.故選A.9(2019·湖南五市十校聯考)在直角坐標系xOy中，拋物線C：y24x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，直線MN與x軸交于點R，若NFR60°，則|FR|等于()A2B.C2D3答案A解析由拋物線C：y24x，得焦點F(1,0)，準線方程為x1，因為M，N分別為PQ，PF的中點，所以MNQF，所以四邊形QMRF為平行四邊形，|FR|QM|，又由PQ垂直l于點Q，可知|PQ|PF|，因為NFR60°，所以PQF為等邊三角形，所以FMPQ，所以|FR|2，故選A.10已知F1，F2分別是雙曲線E：1(a0，b0)的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A.B.C.D2答案A解析因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義，得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.11(2019·湖南長沙長郡中學調研)已知點P(1,0)，設不垂直于x軸的直線l與拋物線y22x交于不同的兩點A，B，若x軸是APB的角平分線，則直線l一定過點()A.B(1,0) C(2,0) D(2,0)答案B解析根據題意，直線的斜率存在且不等于零，設直線的方程為xtym(t0)，與拋物線方程聯立，消元得y22ty2m0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為x軸是APB的角平分線，所以AP，BP的斜率互為相反數，所以0，所以2ty1y2(m1)(y1y2)0，結合根與系數之間的關系，整理得出2t(2m)2tm2t0,2t(m1)0，因為t0，所以m1，所以過定點(1,0)，故選B.12(2019·陜西四校聯考)已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1，F2，P是它們的一個交點，且F1PF2，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則等于()A4B2C2D3答案A解析如圖所示，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，則根據橢圓及雙曲線的定義：|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，設|F1F2|2c，F1PF2，則在PF1F2中，由余弦定理得4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos，化簡得3aa4c2，該式可變成4.故選A.二、填空題13已知雙曲線C：x2y21，則點(4,0)到C的漸近線的距離為_答案2解析雙曲線C：x2y21的漸近線方程為y±x，點(4,0)到C的漸近線的距離為2.14(2019·新鄉(xiāng)模擬)設P為曲線2x上一點，A(，0)，B(，0)，若|PB|2，則|PA|_.答案4解析由2x，得4x24y2(x>0)，即x21(x>0)，故P為雙曲線x21右支上一點，且A，B分別為該雙曲線的左、右焦點，則|PA|PB|2a2，|PA|224.15已知拋物線y24x，圓F：(x1)2y21，直線yk(x1)(k0)自上而下順次與上述兩曲線交于點A，B，C，D，則|AB|·|CD|的值是_答案1解析設A(x1，y1)，D(x2，y2)，則|AB|·|CD|(|AF|1)(|DF|1)(x111)(x211)x1x2，由yk(x1)與y24x聯立方程消y得k2x2(2k24)xk20，x1x21，因此|AB|·|CD|1.16(2019·四省聯考診斷)在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足，當0且1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓，現有橢圓1(a>b>0)，A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點P滿足2，PAB的面積最大值為，PCD面積的最小值為，則橢圓的離心率為_答案解析依題意A(a,0)，B(a,0)，設P(x，y)，依題意得|PA|2|PB|，2，兩邊平方化簡得2y22，故圓心為，半徑r.所以PAB的最大面積為·2a·a，解得a2，PCD的最小面積為·2b·b·，解得b1.故橢圓的離心率為e.三、解答題17(2019·湖南長沙長郡中學調研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓M：(x3)2(yb)2r2(r為正數，bR)(1)若對任意給定的r(0，)，直線l：yxr4總能把圓M的周長分成31的兩部分，求圓M的標準方程；(2)已知點A(0,3)，B(1,0)，且r，若線段AB上存在一點P，使得過點P的某條直線與圓M交于點S，T(其中|PS|<|PT|)，且|PS|ST|，求實數b的取值范圍解(1)根據題意可得，圓心到直線的距離為r恒成立，即r，整理得|b1r|r，去絕對值符號可得b1rr或b1rr，根據恒成立，可得b1，所以圓M的標準方程為(x3)2(y1)2r2.(2)根據題意，如果存在滿足條件的點，對應的邊界值為過圓心的弦，而從另一個角度，即為線段端點值滿足條件即可，先考慮點A，即為|AM|3r，即(03)2(b3)29×，解得2b4，再考慮點B，即為|BM|3r，即(13)2b210，解得b，兩者取并集，得到b的取值范圍是，418.(2019·陜西四校聯考)已知拋物線C：y22px過點A(1,1)(1)求拋物線C的方程；(2)若過點P(3，1)的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點(均與點A不重合)設直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值(1)解由題意得2p1，所以拋物線方程為y2x.(2)證明設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為xt(y1)3，代入拋物線方程得y2tyt30.所以(t2)28>0，y1y2t，y1y2t3.所以k1·k2··，所以k1·k2是定值9