題型練5大題專(zhuān)項(xiàng)(三)統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題1.隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表:年份20142015201620172018時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y/千億元567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程y=bt+a;(2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年(t=8)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.附:回歸方程y=bt+a中,b=i=1ntiyi-ntyi=1nti2-nt2,a=y-bt.2.某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:若xy3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);若xy8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由.3.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類(lèi)整理得到下表:電影類(lèi)型第一類(lèi)第二類(lèi)第三類(lèi)第四類(lèi)第五類(lèi)第六類(lèi)電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類(lèi)電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率;(2)隨機(jī)選取1部電影,估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率;(3)電影公司為增加投資回報(bào),擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類(lèi)型電影的好評(píng)率發(fā)生變化,假設(shè)表格中只有兩類(lèi)電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類(lèi)電影的好評(píng)率增加0.1,哪類(lèi)電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫(xiě)出結(jié)論)4.4月23日是“世界讀書(shū)日”,某中學(xué)在此期間開(kāi)展了一系列的讀書(shū)教育活動(dòng),為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位:min)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60 min的學(xué)生稱(chēng)為“讀書(shū)迷”,低于60 min的學(xué)生稱(chēng)為“非讀書(shū)迷”,(1)求x的值并估計(jì)全校3 000名學(xué)生中“讀書(shū)迷”大概有多少?(將頻率視為概率)(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“讀書(shū)迷”與性別有關(guān):非讀書(shū)迷讀書(shū)迷合計(jì)男15女45合計(jì)附K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.8285.(2019天津,文15)2019年,我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪(fǎng).員工ABCDEF項(xiàng)目子女教育××繼續(xù)教育×××大病醫(yī)療×××××住房貸款利息××住房租金×××××贍養(yǎng)老人×××試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”,求事件M發(fā)生的概率.6.為推行“新課堂”教學(xué)法,某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn),為了解教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出的莖葉圖如下圖,記成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”.(1)分別計(jì)算甲、乙兩班20個(gè)樣本中化學(xué)分?jǐn)?shù)前十的平均分,并據(jù)此判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳;(2)甲、乙兩班40個(gè)樣本中,成績(jī)?cè)?0分以下(不含60分)的學(xué)生中任意選取2人,求這2人來(lái)自不同班級(jí)的概率;(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良成績(jī)不優(yōu)良總計(jì)附:K2=n(ad-bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)(n=a+b+c+d).獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635題型練5大題專(zhuān)項(xiàng)(三)統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題1.解(1)列表計(jì)算如下:itiyiti2tiyi11515226412337921448163255102550153655120這里n=5,t=1ni=1nti=155=3,y=1ni=1nyi=365=7.2.又ltt=i=1nti2-nt2=55-5×32=10,lty=i=1ntiyi-nty=120-5×3×7.2=12,從而b=ltyltt=1210=1.2,a=y-bt=7.2-1.2×3=3.6,故所求回歸方程為y=1.2t+3.6.(2)將t=8代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為y=1.2×8+3.6=13.2(千億元).2.解用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間與點(diǎn)集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4=16,所以基本事件總數(shù)n=16.(1)記“xy3”為事件A,則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為516.(2)記“xy8”為事件B,“3<xy<8”為事件C.則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè),即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=38.事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè),即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因?yàn)?8>516,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.3.解(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.第四類(lèi)電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50,故所求概率為502000=0.025.(2)(方法一)由題意知,樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故估計(jì)所求概率為1-3722000=0.814.(方法二)設(shè)“隨機(jī)選取1部電影,這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)”為事件B.沒(méi)有獲得好評(píng)的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).由古典概型概率公式,得P(B)=16282000=0.814.(3)第五類(lèi)電影的好評(píng)率增加0.1,第二類(lèi)電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大.4.解(1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=0.025.因?yàn)?0.025+0.015)×10=0.4,將頻率視為概率,由此可以估算出全校3000名學(xué)生中“讀書(shū)迷”大概有1200人.(2)完成下面的2×2列聯(lián)表如下:非讀書(shū)迷讀書(shū)迷合計(jì)男401555女202545合計(jì)6040100K2=100×(40×25-15×20)260×40×55×458.249.由8.249>6.635,故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“讀書(shū)迷”與性別有關(guān).5.解(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6910,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15種.由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=1115.6.解(1)甲班樣本化學(xué)成績(jī)前十的平均分為x甲=110×(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;乙班樣本化學(xué)成績(jī)前十的平均分為x乙=110×(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4;甲班樣本化學(xué)成績(jī)前十的平均分遠(yuǎn)低于乙班樣本化學(xué)成績(jī)前十的平均分,大致可以判斷“高效課堂”教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳.(2)樣本中成績(jī)60分以下的學(xué)生中甲班有4人,記為a,b,c,d,乙班有2人,記為1,2.則從a,b,c,d,1,2六個(gè)元素中任意選2個(gè)的所有基本事件如下:ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12,一共有15個(gè)基本事件,設(shè)A表示“這2人來(lái)自不同班級(jí)”有如下:a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,一共有8個(gè)基本事件,所以P(A)=815.(3)甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良101626成績(jī)不優(yōu)良10414總計(jì)202040根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測(cè)值為k=40×(10×4-16×10)226×14×20×203.956>3.841,能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.9