第3講數(shù)列的綜合問題考情研析1.從具體內(nèi)容上，數(shù)列的綜合問題，主要考查：數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍2.從高考特點上，常在選填題型的最后兩題及解答題第17題中出現(xiàn)，分值一般為58分.核心知識回顧數(shù)列綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩點：(1)以數(shù)列知識為紐帶，在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的交匯處命題，主要考查利用函數(shù)觀點、不等式的方法解決數(shù)列問題，往往涉及與數(shù)列相關(guān)的不等式證明、參數(shù)的范圍等(2)以數(shù)列知識為背景的新概念、創(chuàng)新型問題，除了需要用到數(shù)列知識外，還要運用函數(shù)、不等式等相關(guān)知識和方法，特別是題目條件中的“新知識”是解題的鑰匙，此類問題體現(xiàn)了即時學(xué)習(xí)，靈活運用知識的能力熱點考向探究考向1 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題例1(2019·上海市青浦區(qū)高三二模)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)，且不等式|f(x)|2019|2xx2|對任意的x0,10都成立，數(shù)列an是以7a為首項，公差為1的等差數(shù)列(nN*)(1)當(dāng)x0,10時，寫出方程2xx20的解，并寫出數(shù)列an的通項公式(不必證明)；(2)若bnan·an(nN*)，數(shù)列bn的前n項和為Sn，對任意的nN*，都有Sn<m成立，求m的取值范圍解(1)因為x0,10時，易知方程2xx20的解為x2，x4，由不等式|f(x)|2019|2xx2|對任意的x0,10都成立，可得即解得所以f(x)x26x8，又?jǐn)?shù)列an是以7a1為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以ann.(2)由(1)知bnan·ann·n，所以Snb1b2bn1·2·23·3n·n，Sn1·22·33·4n·n1，得，Sn23nn·n1n·n1，整理得，Sn，由>0可得Sn<，由Sn<m恒成立，可得m.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化已知數(shù)列an的前n項和為Sn，向量a(Sn,1)，b，滿足條件ab.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)函數(shù)f(x)x，數(shù)列bn滿足條件b11，f(bn1).求數(shù)列bn的通項公式；設(shè)cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)ab，Sn2n1，Sn2n12.當(dāng)n2時，anSnSn12n；當(dāng)n1時，a1S12，滿足上式，an2n.(2)f(x)x，f(bn1)，bn1，.bn1bn1，即bn1bn1.又b11，bn是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，bnn.cn，Tn，兩邊同乘得，Tn，上述兩式相減得Tn1，Tn2(nN*) 考向2 數(shù)列與不等式的綜合問題例2(2019·云南玉溪第一中學(xué)高三第五次調(diào)研)若數(shù)列an的前n項和為Sn，首項a1>0且2Snaan(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若an>0，令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若Tn<m恒成立，mZ，求m的最小值解(1)當(dāng)n1時，2S1aa1，又a1>0，則a11，當(dāng)n2時，anSnSn1，即(anan1)(anan11)0anan1或anan11，an(1)n1或ann(n2)，又a11滿足上式，an(1)n1或ann，nN*.(2)由an>0，ann，bn2，Tn223<3，若Tn<m恒成立，則m3，又mZ，mmin3.(1)數(shù)列中的不等式證明，大多是不等式的一端為一個數(shù)列的前n項和，另一端為常數(shù)的形式，證明的關(guān)鍵是放縮：如果不等式一端的和式可以通過公式法、裂項法、錯位相減法求得，則先求和再放縮；如果不等式一端的和式無法求和，則要通過對數(shù)列通項的合適放縮使之能夠求和，這時先放縮再求和，最后再放縮(2)注意放縮的尺度：如<，<.(2019·安徽黃山高三第二次質(zhì)檢)已知數(shù)列的前n項和Snn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：對于任意的nN*，都有Tn<1.解(1)因為Snn，當(dāng)n2時，Sn1n1，由，得1，故ann1，又因為a12適合上式，所以ann1(nN*)(2)證明：由(1)知，bn，Tn1，所以Tn<1.考向3 奇(偶)數(shù)項和問題例3設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)證明：an23an；(2)求Sn.解(1)證明：由條件，對任意nN*，有an23SnSn13，因而對任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.兩式相減，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1.故對一切nN*，an23an.(2)由(1)知，an0，所以3.于是數(shù)列a2n1是首項a11，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列a2n是首項a22，公比為3的等比數(shù)列因此a2n13n1，a2n2×3n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)，從而S2n1S2na2n2×3n1(5×3n21) 當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列中的奇數(shù)項與偶數(shù)項相同，分別為項；當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列中的奇數(shù)項比偶數(shù)項多一項，此時偶數(shù)項為項，奇數(shù)項為1項已知函數(shù)f(x)ln xcosxx的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且數(shù)列an滿足an1annf3(nN*)(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，求a1的值；(2)若對任意nN*，都有an2n20成立，求a1的取值范圍解f(x)sinx，則f4，故an1an4n3.(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d，an1a1nd，由an1an4n3得(a1nd)a1(n1)d4n3，解得d2，a1.(2)由an1an4n3得an2an14n7，兩式相減得an2an4，故數(shù)列a2n1是首項為a1，公差為4的等差數(shù)列；數(shù)列a2n是首項為a2，公差為4的等差數(shù)列，又a1a27，a27a1，所以an當(dāng)n為奇數(shù)時，an2n2a1，an2n20，則有a12n22n2對任意的奇數(shù)n恒成立，令f(n)2n22n222，n為奇數(shù)，則f(n)maxf(1)2，所以a12.當(dāng)n為偶數(shù)時，an2n3a1，an2n20，則有a12n22n3對任意的偶數(shù)n恒成立，令g(n)2n22n322，n為偶數(shù)，則g(n)ming(2)15，故a115.綜上，a1的取值范圍是2,15真題押題真題模擬1(2019·齊齊哈爾高三二模)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S10120，a2a1，a4a2，a1a2成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和，求滿足Tn>的最小的n值解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S10120得10a145d120,2a19d24，由a2a1，a4a2，a1a2成等比數(shù)列，得d(2a1d)4d2且d0，2a13d，a13，d2，等差數(shù)列an的通項公式為ana1(n1)d3(n1)·22n1.(2)Snna1n(n2)，Tn，由Tn>得<，n(3n35)>60，n的最小值為14.2(2019·河北衡水中學(xué)高三下學(xué)期一調(diào))已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足0，a11.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)在數(shù)列an的前100項中，是否存在兩項am，at(m，tN*，且m<t)，使得，三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，t的取值；若不存在，請說明理由解(1)因為0，所以 1，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以1(n1)×1n，所以Snn2.當(dāng)n2時，anSnSn1n2(n1)22n1.又2×111a1，所以an2n1(nN*)(2)若，三項成等比數(shù)列，則×2，即×2，即(2m1)23(2t1)因為t100，所以(2m1)2597，又mN*，所以2m124，所以m12.又2m1為3的奇數(shù)倍，所以m2,5,8,11，驗證得3(2019·浙江高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a34，a4S3.數(shù)列bn滿足：對每個nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)記cn，nN*，證明：c1c2cn<2，nN*.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意得解得從而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比數(shù)列，得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)解得bn(SSnSn2)所以bnn2n，nN*.(2)證明：cn ，nN*.我們用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時，c10<2，不等式成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時不等式成立，即c1c2ck<2.那么，當(dāng)nk1時，c1c2ckck1<2 <2 <222()2，即當(dāng)nk1時不等式也成立根據(jù)和，不等式c1c2cn<2對任意nN*成立金版押題4已知函數(shù)f(x)cosxsinx(xR)的所有正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)f(x)cosxsinx2cos，由題意令xk(kZ)，解得xk(kZ)又函數(shù)f(x)的所有正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列an，所以an是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以ann(nN*)(2)由(1)知bnnn·n，則Tn1·12·23·3(n1)·n1n·n，Tn1·22·33·4(n1)·nn·n1，得，Tn23nn·n1n·n11(n2)·n1，所以Tn2(n2)n.配套作業(yè)1.(2019·北京市海淀區(qū)高三4月模擬)已知等差數(shù)列an的公差d2，且a2a52，an的前n項和為Sn.(1)求an的通項公式；(2)若Sm，a9，a15成等比數(shù)列，求m的值解(1)因為a5a22，d2，所以2a15d2a1102，所以a14，所以an2n6.(2)Smm25m，又a912，a1524，因為Sm，a9，a15是等比數(shù)列，所以aSma15，所以m25m60，m6或m1，因為mN*，所以m6.2設(shè)數(shù)列an的前n項和是Sn，若點An在函數(shù)f(x)xc的圖象上運動，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且a13.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記bnaan，求數(shù)列bn的前n項和Tn的最小值解(1)因為點An在函數(shù)f(x)xc的圖象上運動，所以nc，所以Snn2cn.因為a13，所以c4，所以Snn24n，所以anSnSn12n5(n2)又a13滿足上式，所以an2n5(nN*)(2)由(1)知，bnaan2an52(2n5)54n5，所以bn為等差數(shù)列，所以Tn2n23n，當(dāng)n1時，Tn取最小值，所以Tn的最小值是T11.3(2019·廣東東莞高三二調(diào))已知數(shù)列an滿足a23，an12an1，設(shè)bnan1.(1)求a1，a3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求a1a3a5a2n1.解(1)數(shù)列an滿足a23，an12an1，當(dāng)n1時，a22a11，解得a11.當(dāng)n2時，解得a37.(2)當(dāng)n1時，b12，所以2(常數(shù))，則數(shù)列bn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列(3)由(1)和(2)得an2n1，所以a1a3a2n1(212322n1)(n1)(n1).4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1，3Sn1Sn1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnlogan，數(shù)列an·bn的前n項和為Tn，求Tn.解(1)當(dāng)n1時，3S2，a2，3a2a1；當(dāng)n2時，3SnSn11，3an1an(n2)，故數(shù)列an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則an×n1n.(2)由(1)知bnlogann，則an·bnn·n.從而Tn1×2×2(n1)×n1n·n，Tn1×22×3(n1)×nn·n1，由得，Tn2nn·n1n·n1，因此Tn(2n3)·n.5(2019·衡水第二中學(xué)高三上學(xué)期期中)已知等差數(shù)列an與公比為正數(shù)的等比數(shù)列bn滿足b12a12，a2b310，a3b27.(1)求an，bn的通項公式；(2)若cn，求數(shù)列cn的前n項和Sn.解(1)由題意a11，b12.設(shè)公差為d，公比為q，則解得故ana1(n1)dn，bnb1·qn12n.(2)因為cn，所以cn，故Sn.6設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，有2a84×2a72a72.所以da8a72.所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)2a2ln 2，故函數(shù)f(x)2x的圖象在(a2，b2)處的切線方程為y2a22a2ln 2(xa2)，它在x軸上的截距為a2.由題意得，a22，解得a22.所以da2a11.從而ann，bn2n，.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.7(2019·安徽六安第一中學(xué)高三模擬)已知a，b，c分別為ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊，其面積S，B60°，a2c22b2，在等差數(shù)列an中，a1a，公差db.數(shù)列bn的前n項和為Tn，且Tn2bn10，nN*.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)若cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和Sn.解(1)SacsinBac·，ac4，又a2c22b2，b2a2c22accosB，b2ac4，b2，從而(ac)2a2c22ac16，得ac4，ac2，故可得an22(n1)2n.Tn2bn10，當(dāng)n1時，b11；當(dāng)n2時，Tn12bn110，得bn2bn1(n2)，數(shù)列bn為等比數(shù)列，bn2n1.(2)由(1)得cn2n·2n1n·2n，Sna1·b1a2·b2an·bn1×212×223×23n·2n，2Sn1×222×233×24n·2n1，得Sn1×21(22232n)n·2n1，即Sn(1n)2n12，Sn(n1)2n12.8(2019·貴州凱里第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬)在等差數(shù)列an中，已知a3a484a5，a836.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，求的最小值解(1)由a3a484a5，得a428，由得即數(shù)列an的通項公式為an22(n1)×22n20.(2)由(1)得，Sn22n×2n221n，n21，令f(x)x21，nN*，f(x)1，當(dāng)x(0,2)時，f(x)<0；當(dāng)x(2，)時，f(x)>0，則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，又nN*，f(4)f(5)30，當(dāng)n4或5時，f(n)取到最小值30，即的最小值為30.數(shù)列類解答題(12分)已知各項均不為零的數(shù)列an的前n項和為Sn，且對任意的nN*，滿足Sna1(an1)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足anbnlog2an，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn<.解題思路(1)根據(jù)SnSn1an(n2)及遞推關(guān)系式化簡得an和an1的關(guān)系式，從而求出an；(2)采用錯位相減法求Tn，從而證明結(jié)論解(1)當(dāng)n1時，a1S1a1(a11)aa1，a10，a14.(2分)Sn(an1)，當(dāng)n2時，Sn1(an11)，兩式相減得an4an1(n2)，(4分)數(shù)列an是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，an4n.(6分)(2)證明：anbnlog2an2n，bn，(7分)Tn，Tn，(8分)兩式相減得Tn22×.(10分)Tn<.(12分)1正確求出a1的值給2分2利用an與Sn的關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列給2分3寫出數(shù)列an的通項公式給2分4求出數(shù)列bn的通項公式給1分5采取錯位相減法給1分6兩式相減后的正確化簡計算給2分7放縮法證明不等式給2分1由an與Sn的關(guān)系求通項公式，易忽略條件n2而出錯2錯位相減法中兩式相減后，一定成等比數(shù)列的有n1項，整個式子共有n1項3放縮法證明不等式時，要注意放縮適度，放的過大或過小都不能達(dá)到證明的目的跟蹤訓(xùn)練(2019·沈陽模擬)(12分)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，a11，San(n2)(1)求Sn；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)當(dāng)n2時，由San得，S(SnSn1)，整理得，Sn1Sn2Sn1Sn2，(3分)又1，數(shù)列是以2為公差、以1為首項的等差數(shù)列，則12(n1)，故Sn.(6分)(2)由(1)知，bn，(9分)Tn.(12分)- 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