第3節(jié)三角恒等變換1.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.2.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式,導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但對(duì)這三組公式不要求記憶).1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(-)=cos cos +sin sin ; (2)cos(+)=cos cos -sin sin ; (3)sin(-)=sin cos -cos sin ; (4)sin(+)=sin cos +cos sin ; (5)tan(-)=tan-tan1+tantan;(6)tan(+)=tan+tan1-tantan.2.二倍角公式(1)sin 2=2sin cos ; (2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(3)tan 2=2tan1-tan2.1.半角公式指的是sin 2=±1-cos2,cos 2=±1+cos2,tan 2=±1-cos1+cos.它們可由二倍角公式cos 2=1-2sin2=2cos2-1以2代,然后變形導(dǎo)出,符號(hào)由2所在的象限確定.注意:tan 2還有一個(gè)同時(shí)使用sin ,cos ,但不帶有根號(hào)的公式,即tan 2=sin1+cos=1-cossin.此公式不需要討論2所在的象限,使用方便.2.積化和差公式指的是sin cos ,cos sin ,cos cos,sin sin 用+,-的三角函數(shù)表示,顯然可由相應(yīng)的和差角公式相加減得到.3.和差化積公式指的是把sin ±sin ,cos ±cos ,用+2,-2的三角函數(shù)表示,這只須用角變換=+2+-2,=+2-2,然后利用和差角公式展開合并即可.1.公式的常用變式:tan ±tan =tan(±)(1tan tan);tan ·tan =1-tan+tantan(+)=tan-tantan(-)-1.2.降冪公式:sin2=1-cos22;cos2=1+cos22;sin cos =12sin 2.3.升冪公式:1+cos =2cos22;1-cos =2sin22;1+sin =(sin 2+cos 2);1-sin =(sin 2-cos 2)2.4.常用拆角、拼角技巧:例如,2=(+)+(-);=(+)-=(-)+;=+2-2=(+2)-(+);-=(-)+(-);15°=45°-30°4+=2-(4-)等.5.輔助角公式asin +bcos =a2+b2sin(+),其中cos =aa2+b2,sin =ba2+b2.6.萬能公式sin =2tan 21+tan22,cos =1-tan221+tan22,tan =2tan 21-tan22.1.(必修第一冊P220練習(xí)T3改編)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(D)A.-32B.32C.-12D.12解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12.故選D.2.若cos(+2)=-74,則cos 2的值為(A)A.18B.716C.±18D.1316解析:因?yàn)閏os(+2)=-74,所以sin =74,所以cos 2=1-2sin2=18.故選A.3.若tan =13,tan(+)=12,則tan =. 解析:tan =tan (+)-=tan(+)-tan1+tan(+)tan=12-131+12×13=17.答案:174.tan 10°+tan 50°+3tan 10°tan 50°=. 解析:因?yàn)閠an 60°=tan(10°+50°)=tan10°+tan50°1-tan10°tan50°,所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=3-3tan 10°tan 50°,故原式=3-3tan 10°tan 50°+3tan 10°tan 50°=3.答案:35.若sin +3cos =1,且(0,),則=. 解析:因?yàn)閟in +3cos =2sin(+3)=1,所以sin(+3)=12,又(0,),所以(+3)(3,43),所以+3=56,所以=2.答案:2 三角函數(shù)式的化簡1.已知(0,4),且sin -cos =-144,則2cos2-1cos(4+)等于(D)A.23B.43C.34D.32解析:由sin -cos =-144,得sin(4-)=74,因?yàn)?0,4),所以0<4-<4,所以cos(4-)=34.2cos2-1cos(4+)=cos2sin(4-)=sin(2-2)sin(4-)=sin2(4-)sin(4-)=2cos(4-)=32.故選D.2.化簡:2sin(-)+sin2cos22=. 解析:2sin(-)+sin2cos22=2sin+2sincos12(1+cos)=2sin(1+cos)12(1+cos)=4sin .答案:4sin 3.化簡:2cos4x-2cos2x+122tan(4-x)sin2(4+x)=. 解析:原式=12(4cos4x-4cos2x+1)2·sin(4-x)cos(4-x)·cos2(4-x)=(2cos2x-1)24sin(4-x)cos(4-x)=cos22x2sin(2-2x)=cos22x2cos2x=12cos 2x.答案:12cos 2x三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則(1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式.(2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”.(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如“遇到分式要通分”等. 三角函數(shù)式的求值給角求值 求值:1+cos20°2sin20°-sin 10°(1tan5°-tan 5°)=. 解析:原式=2cos210°2·2sin10°cos10°-sin 10°(cos5°sin5°-sin5°cos5°)=cos10°2sin10°-sin 10°·cos25°-sin25°sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin 10°·cos10°12sin10°=cos10°2sin10°-2cos 10°=cos10°-2sin20°2sin10°=cos10°-2sin(30°-10°)2sin10°=cos10°-2(12cos10°-32sin10°)2sin10°=3sin10°2sin10°=32.答案:32“給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面上來看是很難的,但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.給值求值 若0<<2,-2<<0,cos(4+)=13,cos(4-2)=33,則cos(+2)等于()A.33B.-33C.539D.-69解析:因?yàn)?<<2,則4<4+<34,所以sin(4+)=223.又-2<<0,則4<4-2<2,則sin(4-2)=63.故cos(+2)=cos 4+-(4-2)=cos(4+)cos(4-2)+sin(4+)sin(4-2)=13×33+223×63=539.故選C.“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系.給值求角 若sin 2=55,sin(-)=1010,且4,32,則+的值是()A.74B.94C.54或74D.54或94解析:因?yàn)?,所以22,2.又sin 2=55>0,所以22,所以cos 2=-255且4,2.又,32,所以-2,54.因?yàn)閟in(-)=1010>0,所以cos(-)=-31010且-2,故cos(+)=cos 2+(-)=cos 2cos(-)-sin 2sin(-)=-255×(-31010)-55×1010=22.因?yàn)?2,-2,所以+,2,所以+=74.故選A.1.“給值求角”實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角.2.注意要根據(jù)角的范圍選擇合適的三角函數(shù),本例選擇求cos(+),不宜選擇求sin(+).針對(duì)訓(xùn)練 1.3cos10°-1sin170°等于()A.4B.2C.-2D.-4解析:3cos10°-1sin170°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2sin(10°-30°)12sin20°=-2sin20°12sin20°=-4.故選D.2.已知,都為銳角,且sin =217,cos =2114,則-等于()A.-3B.3C.-6D.6解析:因?yàn)?都為銳角,且sin =217,cos =2114,所以cos =277,sin =5714,由sin(-)=sin cos -cos sin =217×2114-277×5714=-4998=-12,因?yàn)閟in <sin 且,都為銳角,所以0<<<2,-2<-<0,所以-=-6.故選C.3.已知cos(4+)=35,1712<<74,則sin2+2sin21-tan的值為. 解析:sin2+2sin21-tan=2sincos+2sin21-sincos=2sincos(cos+sin)cos-sin=sin 2·1+tan1-tan=sin 2·tan(4+).由1712<<74,得53<+4<2,又cos(4+)=35,所以sin(4+)=-45,tan(4+)=-43.cos =cos(4+)-4=-210,sin =-7210,sin 2=725.所以sin2+2sin21-tan=725×(-43)=-2875.答案:-2875 三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2(x-6),xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值和最小值.解:(1)由已知得f(x)=1-cos2x2-1-cos(2x-3)2=12(12cos 2x+32sin 2x)-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin(2x-6).所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)由(1)知f(x)=12sin(2x-6).因?yàn)?3x4,所以-562x-63,所以當(dāng)2x-6=-2,即x=-6時(shí),f(x)有最小值,且f(-6)=-12,當(dāng)2x-6=3,即x=4時(shí),f(x)有最大值,且f(4)=34.所以f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值為34,最小值為-12.三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用,解決此類問題可先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin(x+)+t或余弦型函數(shù)y=Acos(x+)+t的形式,再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解.針對(duì)訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f(23)的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解:(1)由sin 23=32,cos 23=-12,得f(23)=(32)2-(-12)2-23×32×(-12)=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x,得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin(2x+6).所以f(x)的最小正周期是T=22=.由正弦函數(shù)的性質(zhì),得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為6+k,23+k(kZ). 已知sin =35,(2,),tan(-)=12,則tan(-)的值為()A.-211B.211C.112D.-112解析:因?yàn)閟in =35,(2,),所以cos =-1-sin2=-45,所以tan =sincos=-34.因?yàn)閠an(-)=12=-tan ,所以tan =-12,則tan(-)=tan-tan1+tantan=-211.故選A. 已知sin =13+cos ,且(0,2),則cos2sin(+4)的值為()A.-23B.23C.-13D.13解析:因?yàn)閟in =13+cos ,即sin -cos =13,所以cos2sin(+4)=cos2-sin2sincos 4+cossin4=(cos-sin)(cos+sin)22(sin+cos)=-1322=-23.故選A. 已知,為銳角,cos =17,sin(+)=5314,則cos = . 解析:因?yàn)闉殇J角,所以sin =1-(17) 2=437.因?yàn)?(0,2),所以0<+<.又因?yàn)閟in(+)<sin ,所以+>2,所以cos(+)=-1114.cos =cos (+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-1114×17+5314×437=4998=12.答案:12 (1+tan 17°)(1+tan 28°)的值為. 解析:原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°=1+tan 45°(1-tan 17°tan 28°)+tan 17°tan 28°=1+1=2.答案:2 若3sin x+cos x=23,則tan(x+76)=. 解析:由3sin x+cos x=23,得2sin(x+6)=23,即sin(x+6)=13,所以cos(x+6)=±223,所以tan(x+6)=±24,即tan(x+76)=tan(x+6)=±24.答案:±24 若32<<2,則12+1212+12cos2可化簡為. 解析:12+1212·2cos2=12+12|cos|,因?yàn)?2<<2,所以|cos |=cos .所以原式=12+12cos=cos22.又因?yàn)?4<2<,所以原式=-cos 2.答案:-cos 2 (1)在ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,則cos C=. (2)cos 20°·cos 40°·cos 100°=. (3)化簡:sin235°-12cos10°cos80°=. 解析:(1)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得tanA+tanB1-tanAtanB=-1,即tan(A+B)=-1,又因?yàn)锳+B(0,),所以A+B=34,則C=4,cos C=22.(2)設(shè)S=cos 20°·cos 40°·cos 100°,則S=-cos 20°·cos 40°·cos 80°,設(shè)T=sin 20°·sin 40°·sin 80°,則ST=-12sin 40°·12sin 80°·12sin 160°=-18T,又T0,所以S=-18,即cos 20°·cos 40°·cos 100°=-18.(3)sin235°-12cos10°cos80°=1-cos70°2-12cos10°sin10°=-12cos70°12sin20°=-1.答案:(1)22(2)-18(3)-1知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練三角函數(shù)式的化簡,求值1,4,711三角函數(shù)式的給值求值2,5,6,813三角函數(shù)式的給值求角3三角恒等變換的應(yīng)用9,10,12,14,15161.sin 16°cos 14°-sin 254°sin 14°的值是(B)A.0B.12C.32D.-12解析:原式=cos 74°cos 14°+sin 74°sin 14°=cos(74°-14°)=cos 60°=12.故選B.2.sin 2=-13,則cos2(-4)的值為(C)A.-23B.-13C.13D.23解析:cos2(-4)=1+cos2(-4)2=1+cos(2-2)2=1+sin22=1-132=13.故選C.3.已知,都是銳角,若sin =55,sin =1010,則+等于(A)A.4B.34C.4和34D.-4和-34解析:由于,都是銳角,所以cos =1-sin2=255,cos =1-sin2=31010.所以cos(+)=cos cos -sin sin =22,所以+=4.故選A.4.tan 18°+tan 12°+33tan 18°tan 12°等于(D)A.3B.2C.22D.33解析:因?yàn)閠an 30°=tan(18°+12°)=tan18°+tan12°1-tan18°tan12°=33,所以tan 18°+tan 12°=33(1-tan 18°tan 12°),所以原式=33.故選D.5.已知tan(+4)=2,則sin2-cos21+cos2的值為(A)A.-16B.16C.52D.-56解析:tan =tan(+4)-4=tan(+4)-11+tan(+4)=13,原式=2sincos-cos22cos2=tan -12=13-12=-16.故選A.6.已知是第三象限角,3cos 2+sin =2,則tan 等于(A)A.24B.33C.3D.22解析:因?yàn)槭堑谌笙藿?3cos 2+sin =2,所以3(1-2sin2)+sin =2,所以6sin2-sin -1=0,解得sin =-13或sin =12(舍去),所以cos =-1-sin2=-223,所以tan =24.故選A.7.形如abcd的式子叫做行列式,其運(yùn)算法則為abcd=ad-bc,則行列式sin 15°2cos 15°2的值是. 解析:因?yàn)閟in 15°2cos 15°2=2sin 15°-2cos 15°=2(22sin 15°-22cos 15°)=2sin(15°-45°)=-2sin 30°=-1,所以sin 15°2cos 15°2的值是-1.答案:-18.若cos =-13,sin =-33,(2,),(32,2),則sin(+)的值為. 解析:因?yàn)閏os =-13,(2,),所以sin =1-cos2=223,因?yàn)閟in =-33,(32,2),所以cos =1-sin2=63,所以sin(+)=sin cos +cos sin =223×63+(-13)×(-33)=539.答案:5399.若函數(shù)f(x)=(1+3tan x)cos x,0x<2,則f(x)的最大值是(B)A.1B.2C.3+1D.3+2解析:由0x<2,則f(x)=(1+3tan x)cos x=(1+3·sinxcosx)cos x=cos x+3sin x=2sin(x+6),因?yàn)?x<2,所以6x+6<23,所以當(dāng)x+6=2時(shí),f(x)取到最大值2.故選B.10.(多選題)已知f(x)=sin xsin(x+3)-14,則f(x)的值不可能是(CD)A.-12B.12C.-2D.2解析:因?yàn)閒(x)=sin xsin(x+3)-14=sin x(12sin x+32cos x)-14=12sin2x+32sin x cos x-14=12×1-cos2x2+34sin 2x-14=34sin 2x-14cos 2x=12sin(2x-6),所以-12f(x)12.故選CD.11.(多選題)下列式子正確的有(ACD)A.sin 15°+cos 15°=62B.cos 75°=6+24C.23tan 15°+tan215°=1D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1解析:因?yàn)閟in 15°+cos 15°=(sin15°+cos15°)2=1+sin30°=62,所以A正確;cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=22×32-22×12=6-24,所以B錯(cuò)誤;又由tan 30°=2tan15°1-tan215°,得1-tan215°=2tan15°tan30°=23tan 15°,所以23tan 15°+tan215°=1,所以C正確;因?yàn)?=tan 45°=tan(12°+33°)=tan12°+tan33°1-tan12°tan33°,所以tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,所以tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.故D正確.故選ACD.12.已知2<<<34,cos(-)=1213,sin(+)=-35,則cos 2等于(D)A.6365B.-6365C.3365D.-3365解析:因?yàn)?<<<34,所以-4<-<0,<+<32,又cos(-)=1213,sin(+)=-35,所以sin(-)=-1-cos2(-)=-513,cos(+)=-1-sin2(+)=-45;所以cos 2=cos (+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=(-45)×1213+(-35)×(-513)=-3365.故選D.13.被譽(yù)為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生為我國數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn),他所倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用.0.618就是黃金分割比m=5-12的近似值,黃金分割比還可以表示成2sin 18°,則m4-m21-2sin227°=. 解析:把m=2sin 18°代入m4-m21-2sin227°=2sin18°4-4sin218°cos54°=4sin18°cos18°cos54°=2sin36°sin 36°=2.答案:214.已知sin -cos =12,<<2,求tan ,tan 2的值.解:法一因?yàn)閟in -cos =12,所以1-2sin cos =14,所以sin cos =38>0,所以sin 與cos 同號(hào),又因?yàn)?lt;<2,所以<<32,所以sin <0,cos <0,所以sin +cos <0.又因?yàn)?sin +cos )2=1+2sin cos =74,所以sin +cos =-72,所以sin =-74+14,cos =-74-14,所以tan =sincos=4-73,tan 2=sin 2cos 2=2sin222sin 2cos 2=1-cossin=-2-7.法二因?yàn)閟in -cos =12,sin =2sin2cos2=2sin2cos2cos22+sin22=2tan 21+tan22,cos =cos22-sin22=cos22-sin22cos22+sin22=1-tan221+tan22,所以2tan 21+tan2 2-1-tan221+tan22=12,所以tan22+4tan2-3=0,又因?yàn)?lt;<2,所以2<2<,所以tan 2<0,所以tan 2=-2-7,所以tan =2tan 21-tan22=2×(-2-7)1-(-2-7)2=4-73.15.已知函數(shù)f(x)=2sin(4+x)cos(4-x)-1.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-23cos2x,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解:(1)函數(shù)f(x)=2sin(4+x)cos(4-x)-1=2cos2(4-x)-1=cos2·(4-x)=sin 2x,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為22=.(2)g(x)=f(x)-23cos2x=sin 2x-3(2cos2x-1)-3=sin 2x-3cos 2x-3=2sin(2x-3)-3,令2k-22x-32k+2,kZ,得k-12xk+512,kZ,所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-12,k+512,kZ.16.如圖,圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C,B在圓O上,且點(diǎn)C位于第一象限,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1213,-513),AOC=.若|BC|=1,則3cos22-sin 2cos 2-32的值為. 解析:由題意得|OB|=|OC|=|BC|=1,從而OBC為等邊三角形,所以sin AOB=sin(3-)=513,所以3cos22-sin 2cos 2-32=3·1+cos2-sin2-32=-12sin +32cos =-sin(-3)=sin(3-)=513.答案:513