第四章四邊形與相似第3講相似三角形,考點(diǎn)梳理過(guò)關(guān),考點(diǎn)1成比例線段,考點(diǎn)2平行線分線段成比例,1兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例2平行于三角形一邊，并且與其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例,考點(diǎn)3相似三角形,考點(diǎn)4相似多邊形,考點(diǎn)5位似圖形,提示由于利用位似變換可以將圖形放大或縮小，所以位似變換常常與其他變換(軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn))方式結(jié)合考查作圖，解答問(wèn)題時(shí)，先確定變換方式及變換順序，再根據(jù)相應(yīng)的變換作出關(guān)鍵點(diǎn)(如：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)、圖形的拐點(diǎn)等)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，最后按照?qǐng)D形的原有順序連接即可,典型例題運(yùn)用,類型1比例線段,【例1】,.,變式運(yùn)用1.已知a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，且,類型2平行線分線段成比例,【例2】如圖，已知ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上，DEBC，點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接FC，若,【思路分析】由平行線分線段成比例定理和已知條件得出，證出ABCF，再由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)即可得出結(jié)果,變式運(yùn)用2.教材改編如圖，已知在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DEBC，EFAB，且ADDB35，那么CFCB等于()A58B38C35D25,A,變式運(yùn)用3.2018原創(chuàng)如圖，在ABCD中，E為AD的三等分點(diǎn)，AEAD，連接BE交AC于點(diǎn)F，AC12，則AF為(),B,A4B4.8C5.2D6,類型3圖形的位似,【例3】2017涼山州中考如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1，2)，B(2，1)，C(4，5)(1)畫出ABC關(guān)于x對(duì)稱的A1B1C1；(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出A2B2C2，使A2B2C2與ABC位似，且位似比為2，并求出A2B2C2的面積,【思路分析】(1)畫出A，B，C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，B1，C1即可解決問(wèn)題；(2)連接OB延長(zhǎng)OB到點(diǎn)B2，使得OBBB2，同法可得點(diǎn)A2，C2，A2B2C2就是所求三角形,【自主解答】(1)如圖所示，A1B1C1就是所求三角形,變式運(yùn)用4.如圖，線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(1，2)、D(2，0)，以原點(diǎn)為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，若點(diǎn)B坐標(biāo)為(5，0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(2，5)B(2.5，5)C(3，5)D(3，6),B,變式運(yùn)用5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度)(1)將OAB向右平移1個(gè)單位后得到O1A1B1，請(qǐng)畫出O1A1B；(2)請(qǐng)以O(shè)為位似中心，在x軸上方畫出O1A1B的位似圖形，使它與O1A1B1的相似比為21；(3)點(diǎn)P(a，b)為OAB內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_,解：(1)如圖，O1A1B1即為所求的三角形。(2)如圖，O2A2B2即為所求的三角形(3)點(diǎn)P(a，b)為OAB內(nèi)一點(diǎn)，位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a2，2b)，故答案為：(2a2，2b),六年真題全練,命題點(diǎn)相似三角形,12017泰安，29，11分如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，ADAC，ADAC，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)(1)若EDEF，求證：EDEF；(2)在(1)的條件下，若DC的延長(zhǎng)線與FB交于點(diǎn)P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結(jié)論；(請(qǐng)先補(bǔ)全圖形，再解答)(3)若EDEF，ED與EF垂直嗎？若垂直給出證明，若不垂直說(shuō)明理由,解：(1)證明：在ABCD中，ADAC，ADAC，ACBC，ACBC.如圖，連接CE.E是AB的中點(diǎn)，AEEC，CEAB.ACEBCE45.ECFEAD135.EDEF，CEFAED90CED.在CEF和AED中，CEFAED(ASA)EDEF.,CEFAED，ECE，ECFEAD,(2)四邊形ACPE是平行四邊形證明：補(bǔ)全圖形如圖由(1)知CEFAED，CFAD.ADAC，ACCF.DPAB，F(xiàn)PPB.CPABAE.又CPAE，四邊形ACPE為平行四邊形(3)垂直證明：如圖，過(guò)E作EMDA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)E作ENAF于點(diǎn)N.NAEMAE45，ENAM90，在RtDME與RtFNE中，DMEFNE.(HL)ADECFE.,EMEN，DEEF，,在ADE與CFE中，ADECFE(AAS)DEAFEC.DEADEC90，CEFDEC90.DEF90.EDEF.,ADECFE，DAEFCE135，DEEF，,22016泰安，27，10分如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BCD，ACAB，E是BC的中點(diǎn)，ADAE.(1)求證：AC2CDBC；(2)過(guò)E作EGAB，并延長(zhǎng)EG至點(diǎn)K，使EKEB.若點(diǎn)H是點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，求證：FHGH；若B30，求證：四邊形AKEC是菱形,解：(1)AC平分BCD，DCAACB.又ACAB，ADAE，DACCAE90，CAEEAB90，DACEAB.又E是BC的中點(diǎn)，AEBE.EABABC.DACABC.ACDBCA.AC2CDBC.,(2)證明：如圖，連接AH.ADCBAC90，點(diǎn)H，D關(guān)于AC對(duì)稱，AHBC.EGAB，AEBE，點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)HGAG.GAHGHA.點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，AFFH.HAFFHA.FHGAHFAHGFAHHAGCAB90.FHGH.EKAB，ACAB，EKAC.又B30，ACBCEBEC.又EKEB，EKAC，即AKKEECCA.四邊形AKEC是菱形,32015泰安，27，10分如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且APDB.(1)求證：ACCDCPBP；(2)若AB10，BC12，當(dāng)PDAB時(shí)，求BP的長(zhǎng),解：(1)證明：ABAC，BC.APDB，APDBC.APCBAPBAPDCPD，BAPCPD.ABPPCD.ABCDPCBP.ABAC.ACCDCPBP.,(2)PDAB，APDBAP.APDC，BAPC.BB，BAPBCA.AB10，BC12，,42014泰安，28，11分如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，AC與BD交于點(diǎn)E，ADBACB.,(1)求證：(2)若ABAC，AEEC12，F(xiàn)是BC中點(diǎn)求證：四邊形ABFD是菱形,52013泰安，26，11分如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB，ADCACB90，E為AB的中點(diǎn)(1)求證：AC2ABAD；(2)求證：CEAD；(3)若AD4，AB6，求的值.,解：(1)證明：AC平分DAB，DACCAB.ADCACB90，ADCACB.AC2ABAD.(2)證明：E為AB的中點(diǎn)，CEABAE.EACECA.DACCAB，DACECA.CEAD.,62012泰安，28，11分如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EFAE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，BGAC，垂足為G，BG交AE于點(diǎn)H.(1)求證：ABEECF；(2)找出與ABH相似的三角形，并證明；(3)若E是BC的中點(diǎn)，BC2AB，AB2，求EM的長(zhǎng),解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ABEECF90.AEEF，AEBFEC90.AEBBAE90，BAECEF.ABEECF.(2)ABHECM.證明：BGAC，ABGBAG90.ABHECM.由(1)知，BAHCEM，ABHECM.,得分要領(lǐng)在判別兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角，公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形(或構(gòu)造成比例的線段)；或利用特征圖形(如公共邊、公共角的兩個(gè)三角形)找相似三角形；注意依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形；或利用分別等于中間比的兩個(gè)比相等實(shí)現(xiàn)對(duì)等比進(jìn)行轉(zhuǎn)移判別三角形相似的方法有時(shí)單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可,