第4講直線、平面平行的判定及其性質(zhì)一、選擇題1.(2017·保定模擬)有下列命題：若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，b，則a；若直線ab，b，則a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析命題l可以在平面內(nèi)，不正確；命題直線a與平面可以是相交關(guān)系，不正確；命題a可以在平面內(nèi)，不正確；命題正確.答案A2.設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，且m，n，則“”是“m且n”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若m，n，則m且n；反之若m，n，m且n，則與相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要條件.答案A3.(2017·長郡中學(xué)質(zhì)檢)如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，過A1B1的平面與平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.答案B4.下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號是()A. B. C. D.解析中，易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB，可得出AB平面MNP(如圖).中，NPAB，能得出AB平面MNP.在中不能判定AB平面MNP.答案B5.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是()A.若m，n，則mn B.若m，n，則mnC.若m，mn，則n D.若m，mn，則n解析若m，n，則m，n平行、相交或異面，A錯；若m，n，則mn，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m，mn，則n或n，C錯；若m，mn，則n與可能相交，可能平行，也可能n，D錯.答案B二、填空題6.在四面體ABCD中，M，N分別是ACD，BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是_.解析如圖，取CD的中點E.連接AE，BE，由于M，N分別是ACD，BCD的重心，所以AE，BE分別過M，N，則EMMA12，ENBN12，所以MNAB.因為AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，所以MN平面ABD，MN平面ABC.答案平面ABD與平面ABC7.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上.若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_.解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E為AD中點，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F(xiàn)為DC中點，EFAC.答案8.(2017·承德模擬)如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件_時，就有MN平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，則MN平面FHN，MN平面B1BDD1.答案點M在線段FH上(或點M與點H重合)三、解答題9.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解(1)點F，G，H的位置如圖所示.(2)平面BEG平面ACH，證明如下：因為ABCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.10.(2014·全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點.(1)證明：PB平面AEC；(2)設(shè)AP1，AD，三棱錐PABD的體積V，求A到平面PBC的距離.(1)證明設(shè)BD與AC的交點為O，連接EO.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點.又E為PD的中點，所以EOPB.又因為EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解VPA·AB·ADAB.由V，可得AB.作AHPB交PB于H.由題設(shè)知ABBC，PABC，且PAABA，所以BC平面PAB.又AH平面PAB，所以BCAH，又PBBCB，故AH平面PBC.PB平面PBC，AHPB，在RtPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH.所以A到平面PBC的距離為.11.給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面，的三個命題：若l與m為異面直線，l，m，則；若，l，m，則lm；若l，m，n，l，則mn.其中真命題的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.0解析中當與不平行時，也可能存在符合題意的l，m；中l(wèi)與m也可能異面；中l(wèi)n，同理，lm，則mn，正確.答案C12.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中，錯誤的是()A.ACBDB.AC截面PQMNC.ACBDD.異面直線PM與BD所成的角為45°解析因為截面PQMN是正方形，所以MNQP，又PQ平面ABC，MN平面ABC，則MN平面ABC，由線面平行的性質(zhì)知MNAC，又MN平面PQMN，AC平面PQMN，則AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，則ACBD，故A，B正確.又因為BDMQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45°，故D正確.答案C13.如圖所示，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點且A1B平面B1CD，則A1DDC1的值為_.解析設(shè)BC1B1CO，連接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四邊形BCC1B1是菱形，O為BC1的中點，D為A1C1的中點，則A1DDC11.答案114.(2015·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點為D，B1CBC1E.求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DEAC.又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因為AC平面ABC，所以ACCC1.又因為ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因為BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因為BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因為AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因為AB1平面B1AC，所以BC1AB1.6