第2課時(shí)圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后訓(xùn)練案鞏固提升一、A組1.(2016海南?？诟叨z測(cè))已知橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)D是線段PF1的中點(diǎn),則F1OD的周長(zhǎng)為()A.6B.5C.12D.10解析:橢圓方程為x29+y25=1,則a=3,b=5,c=2.如右圖,設(shè)右焦點(diǎn)為F2,連接PF2.由橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a=6.在PF1F2中,D,O分別是PF1,F1F2的中點(diǎn),故|OD|=12|PF2|,所以F1OD的周長(zhǎng)為|F1D|+|DO|+|F1O|=12(|PF1|+|PF2|)+c=3+2=5.答案:B2.(2015湖南高考)若雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率為()A.73B.54C.43D.53解析:雙曲線的漸近線方程為y=±bax,且過(guò)點(diǎn)(3,-4),-4=-ba×3,ba=43.離心率e=1+ba2=1+432=53,故選D.答案:D3.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若POF的面積為2,則|PF|=()A.52B.3C.72D.4解析:由已知得F(2,0),設(shè)P(x0,y0),則12·2·|y0|=2,所以|y0|=2,于是x0=12,故|PF|=x0+p2=52.答案:A4.(2016全國(guó)丙高考)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且PFx軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為()A.13B.12C.23D.34解析:由題意知,A(-a,0),B(a,0),根據(jù)對(duì)稱性,不妨令P-c,b2a,設(shè)l:x=my-a,M-c,a-cm,E0,am.直線BM:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故選A.答案:A5.(2016山東濟(jì)寧高二檢測(cè))已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B,C,且|BC|=|CF2|,則雙曲線的漸近線方程為()A.y=±(3+1)xB.y=±3xC.y=±(3-1)xD.y=±x解析:因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B,C,且|BC|=|CF2|,所以|BF1|=2a.不妨設(shè)切點(diǎn)為T,B(x,y),y>0,則利用三角形相似可得ya=c+xb=2ac,所以x=2ab-c2c,y=2a2c.所以B2ab-c2c,2a2c,代入雙曲線方程,化簡(jiǎn)可得b=(3+1)a,所以雙曲線的漸近線方程為y=±(3+1)x.答案:A6.已知拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程為y=-12,則實(shí)數(shù)a=. 解析:拋物線方程化為x2=1ay,依題意有14a=12,所以a=12.答案:127.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|PF2|=4,則雙曲線的離心率的最大值為. 解析:由已知得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a,所以|PF2|=2a3c-a.所以5a3c,即e=ca1,53,故離心率e的最大值為53.答案:538.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-1),則雙曲線的焦距為. 解析:點(diǎn)(-2,-1)在拋物線的準(zhǔn)線上,可得p=4,于是雙曲線的左頂點(diǎn)為(-2,0),即a=2,點(diǎn)(-2,-1)在雙曲線的漸近線上,則得雙曲線的漸近線方程為y=±12x.由雙曲線的性質(zhì),可得b=1,所以c=5,則焦距為2c=25.答案:259.已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C1:y2=-16x的焦點(diǎn)重合,且其離心率為2.(1)求雙曲線C的方程;(2)求雙曲線C的漸近線與拋物線C1的準(zhǔn)線所圍成三角形的面積.解:(1)拋物線C1:y2=-16x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),因此可設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則依題意有c=4,ca=2,解得a2=4,b2=12.故雙曲線C的方程為x24-y212=1.(2)拋物線C1的準(zhǔn)線方程為x=4,雙曲線C的漸近線方程為y=±3x,于是雙曲線C的漸近線與拋物線C1的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn)為(4,43),(4,-43),所圍成三角形的面積S=12×83×4=163.10.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,右焦點(diǎn)是F,過(guò)點(diǎn)F作直線與長(zhǎng)軸垂直,與橢圓交于P,Q兩點(diǎn).(1)若PBF=60°,求橢圓的離心率;(2)求證:APB一定為鈍角.(1)解:不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c,由于點(diǎn)P在橢圓上,故可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為b2a,即Pc,b2a.于是在RtBFP中,tanPBF=|PF|FB|=b2aa-c=a+ca=1+e=tan60°=3,所以e=3-1.(2)證明:因?yàn)镻c,b2a,A(-a,0),B(a,0),所以PA=-a-c,-b2a,PB=a-c,-b2a,則PA·PB=c2-a2+b4a2=b4a2-b2=b4-a2b2a2=-b2c2a2<0,因此向量PA與PB的夾角是鈍角,即APB一定為鈍角.二、B組1.(2016浙江高考)已知橢圓C1:x2m2+y2=1(m>1)與雙曲線C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則()A.m>n,且e1e2>1B.m>n,且e1e2<1C.m<n,且e1e2>1D.m<n,且e1e2<1解析:橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合,m2-1=n2+1.m2-n2=2,m>n.e1=1-1m2,e2=1+1n2,e1e2=1-1m21+1n2=1+1n2-1m2-1m2n2=1+m2-n2-1m2n2=1+1m2n2>1.故選A.答案:A2.已知點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓x212+y23=1上,其左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,若F1PF2為鈍角,則x0的取值范圍是()A.-3<x0<3B.x0<-22或x0>22C.x0<-3或x0>3D.-22<x0<22解析:由已知得F1(-3,0),F2(3,0),所以PF1=(-3-x0,-y0),PF2=(3-x0,-y0),則PF1·PF2=x02+y02-9,而y02=3-14x02,所以PF1·PF2=34x02-6.又F1PF2為鈍角,所以34x02-6<0,解得-22<x0<22.答案:D3.(2016浙江杭州高二檢測(cè))已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線C上,且PFOF,則|OF-PF|=. 解析:易知|OF|=1,|PF|=2,則|OF-PF|=|FO-FP|=|OP|=|OF|2+|FP|2=5.答案:54.已知F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|.若PF1F2為等腰三角形,則該雙曲線的離心率為. 解析:P為雙曲線右支上的一點(diǎn),則由雙曲線的定義可得,|PF1|-|PF2|=2a,由|PF1|=2|PF2|,則|PF1|=4a,|PF2|=2a.由PF1F2為等腰三角形,則|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|,即有4a=2c或2c=2a,即有e=ca=2(e=1舍去).答案:25.已知拋物線C:x2=2py(p>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A,B是以點(diǎn)M(0,10)為圓心,|OA|的長(zhǎng)為半徑的圓與拋物線C的兩個(gè)公共點(diǎn),且ABO為等邊三角形,則p的值等于. 解析:由拋物線的性質(zhì)及題意可知,A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,所以可設(shè)A(x1,y1),B(-x1,y1),則x12+y12=x12+(y1-10)2=4x12,解之得x12=253,y1=5,又因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,所以253=2p×5,解得p=56.答案:566.導(dǎo)學(xué)號(hào)59254061(2016安徽蚌埠高二檢測(cè))已知橢圓C:x24+y2m=1(m>0).(1)若m=2,求橢圓C的離心率及短軸長(zhǎng);(2)如存在過(guò)點(diǎn)P(-1,0),且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)的直線l,使得以線段AB為直徑的圓恰好通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求m的取值范圍.解:(1)因?yàn)閙=2,所以x24+y22=1,c=4-2=2.所以e=22,b=2.所以橢圓C的離心率為22,短軸長(zhǎng)為22.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由x24+y2m=1,y=k(x+1),得(m+4k2)x2+8k2x+4k2-4m=0.所以>0,x1+x2=-8k2m+4k2,x1x2=4k2-4mm+4k2.因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),所以O(shè)AOB.所以x1x2+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0.所以(1+k2)4k2-4mm+4k2+k2-8k2m+4k2+k2=0.即k2=4m4-3m.由k2=4m4-3m0,m>0,得0<m<43.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓恰好通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以A(-1,1).所以14+1m=1,即m=43.綜上所述,m的取值范圍是0<m43.5