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3.1.3空間向量的數(shù)量積運算,,,l,A,P,,,B,,,,特別地，若P為A,B中點,則,如圖不共線，,結(jié)論：,設O為平面上任一點，則A、P、B三點共線,或：令x=1-t，y=t，則A、P、B三點共線,,,平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使,,,,,,,,,二.共面向量:,1.共面向量:能平移到同一平面內(nèi)的向量,叫做共面向量.,注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面的了。,,,,,,,,,,,,結(jié)論:空間一點P位于平面ABC內(nèi)存在有序?qū)崝?shù)對x,y使或?qū)臻g任一點O,有,,可證明或判斷四點共面,⒈掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；⒉掌握兩個向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計算方法及運算律；⒊掌握兩個向量數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題．一、證垂直二、求長度三、求夾角四、求投影,教學過程,一、幾個概念,1）兩個向量的夾角的定義,2）兩個向量的數(shù)量積,注意：①兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.②零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。,,4)空間向量的數(shù)量積性質(zhì),注意：①性質(zhì)2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；②性質(zhì)3）是求向量的長度（模）的依據(jù)；,對于非零向量，有：,3)空間向量的投影,5)空間向量的數(shù)量積滿足的運算律,注意：（教材P90思考）,數(shù)量積不滿足消去率和結(jié)合律,,二、課堂練習,三、典型例題-------證垂直（教材P91例3）已知m,n是平面?內(nèi)的兩條相交直線，直線l與?的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥?,,,分析：由定義可知，只需證l與平面內(nèi)任意直線g垂直。,l,,,證明：在?內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使g=xm+yn,lg=xlm+yln∵lm=0,ln=0∴l(xiāng)g=0∴l(xiāng)⊥g∴l(xiāng)⊥g這就證明了直線l垂直于平面?內(nèi)的任一條直線，所以l⊥?,三、典型例題（教材P91例2）利用向量知識證明三垂線定理,試著證明三垂線定理的逆定理教材P91,三、典型例題教材P92思考：用向量的數(shù)量積運算推證垂直關系的過程，步驟是什么？,,,例2：已知：在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求證：OC⊥AB,,例3如圖，已知線段在平面內(nèi)，線段，線段，線段，，如果，求、之間的距離。,解：由，可知.由知.,三、典型例題----求長度,例4已知在平行六面體中，,,求對角線的長。,解：,3.已知線段、在平面內(nèi)，，線段，如果，求、之間的距離.,解：∵,教材P92練習1、2、3題,三、典型例題---求夾角,《點金》P64知識點3例3,1.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點分別是邊的中點。求證：。,同理，,課后練習,2.已知空間四邊形，求證：。,證明：∵,3.如圖，已知正方體，和相交于點，連結(jié)，求證：。,4、已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于,點分別是的中點，求下列向量的數(shù)量積：,5、設，，則向量與的夾角為,6、在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=900,將它沿對角線AC折起，使AB與CD成600角，求B,D兩點間距離。,,1．兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計算；2、運用向量的數(shù)量積解決簡單的立體幾何問題。,