培優(yōu)點九 線性規(guī)劃 一、求線性目標的最值 例1：設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為． 【答案】 【解析】由約束條件，作出可行域如圖， ，化目標函數(shù)為， 由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，有最大值為． 二、求非線性目標的最值 例2：若滿足約束條件，則的取值范圍為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出約束條件所表示的的可行域如圖： 表示區(qū)域內的點與點連線的斜率， 聯(lián)立方程組，可解得，同理可得， 當直線經過點時，斜率取最小值：； 當直線經過點時，斜率取最大值， 則的取值范圍是，故選A． 三、線性規(guī)劃的含參問題 例3：已知，滿足約束條件，若的最大值為，則（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 則，，若過時取得最大值為，則，解得， 此時，目標函數(shù)為，即， 平移直線，當直線經過時，截距最大，此時最大為，滿足條件， 若過時取得最大值為，則，解得， 此時，目標函數(shù)為，即，平移直線， 當直線經過時，截距最大，此時最大為，不滿足條件，故，故選B． 四、線性規(guī)劃的實際應用 例4：某高科技企業(yè)生產產品和產品需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品需要甲材料，乙材料，用個工時；生產一件產品需要甲材料，乙材料，用個工時， 生產一件產品的利潤為元，生產一件產品的利潤為元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料，乙 材料，則在不超過個工時的條件下，生產產品、產品的利潤之和的最大值為元． 【答案】 【解析】設生產產品、產品分別為、件，利潤之和為元， 那么，① 目標函數(shù)，二元一次不等式組①等價于，② 作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖），即可行域． 將變形，得，平移直線， 當直線經過點時，取得最大值， 解方程組，得的坐標， 所以當，時，元． 對點增分集訓 一、選擇題 1．已知滿足，若對任意都有成立，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，畫出表示的可行域， 由可行域知，目標函數(shù)過點時取最大值， 由可得，，可得時，的最大值為． ∴要使恒成立，只需使目標函數(shù)的最大值小于等于即可， ∴的取值范圍為．故選D． 2．已知變量，滿足的不等式組表示的平面區(qū)域是一個直角三角形，則實數(shù) （） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由約束條件作出可行域如圖， 直線過定點， ∵不等式組表示的平面區(qū)域是一個直角三角形， ∴當時，平面區(qū)域為直角三角形及其內部區(qū)域； 當時，平面區(qū)域為直角三角形及其內部區(qū)域． ∴的值應為或，故選D． 3．若實數(shù)、滿足，則的最小值為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，滿足，表示的可行域如圖， 它的幾何意義是可行域內的點與點的距離的平方減去． 顯然點到直線的距離最小，且最小值為， ∴．故選B． 4．設，滿足約束條件，則的最大值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由根據(jù)題意畫出對應的平面區(qū)域如圖， 區(qū)域為滿足不等式組的所有點的集合， 設，． 當直線過點時，取最小值，且； 當直線過點時，取最大值，且； ∴，則，故選C． 5．如果點在平面區(qū)域上，則的最大值和最小值分別是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】如圖，先作出點所在的平面區(qū)域： 表示動點到定點距離的平方， 當點在時，，而點到直線的距離的平方為， ∴的最小值為； 當點在時，離最遠，，∴的最大值為．故選B． 6．設變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，則，， 代入，得，作出可行域如圖， 化為． 分別聯(lián)立方程組，，解得，． ∴的范圍為．故選C． 7．設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分， 目標函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距， 由圖可知目標函數(shù)在點處取得最大值．由，點， 所以，故選C． 8．已知實數(shù)滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為，則的值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件作出可行域如圖所示，其中，，， 目標函數(shù)可化為， 當直線過點時最大，所以，解得，故選C． 9．已知實數(shù)滿足，若目標函數(shù)的最大值為，最小值為，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】畫出可行域如下圖所示， 依題意可知，目標函數(shù)在點取得最大值，在點取得最小值． 由圖可知，當時，；當時，， ∴實數(shù)的取值范圍是，故選C． 10．已知，滿足約束條件，當目標函數(shù)（，）在該約束條件下取得最小值時，則的最小值為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下圖，畫出可行域， 目標函數(shù)的斜率為， ∴當目標函數(shù)過點時函數(shù)取得最小值，即， 那么， 等號成立的條件為．故選C． 11．某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要，，三種主要原料．生產車皮甲種肥料和生產車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 已知生產車皮甲種肥料，產生的利潤為萬元；生產車皮乙種肥料，產生的利潤為萬元． 現(xiàn)有種原料噸，種原料噸，種原料噸，在此基礎上生產甲乙兩種肥料的最大利潤為（）萬元． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設，表示生產甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)，利潤為萬元． 由已知，滿足，該二元一次不等式組所表示的區(qū)域為圖中的陰影部分． 目標函數(shù)是斜率為，隨變化的一束平行直線，為直線在軸上的截距， 當取最大值時，的值最大． 又因為，滿足約束條件，所以由圖可知，當直線經過可行域中的點時， 截距的值最大，即的值最大， 解方程組，得點的坐標為， ∴，故選B． 12．設實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖： 則，，， 設，則，由圖象可知直線經過點時，斜率取得最大值； 經過點時，斜率取得最小值．∴． ，當時，；當時，， ∴在上單調遞減，在上單調遞增，可得．故選A． 二、填空題 13．已知實數(shù)，滿足，若的最大值為，則的 最小值為． 【答案】 【解析】作出可行域如圖， 目標函數(shù)化簡得：， ∵，故只可能在處取最大值． 聯(lián)立，解得， 聯(lián)立，解得， 聯(lián)立，解得， 若目標函數(shù)過點時，不符合題意， ∴過時取得最大值，此時，解得， 過點時，． 14．已知變量，滿足，則的取值范圍是． 【答案】 【解析】由變量，滿足，作出可行域如圖： 由，解得；由，解得， 的幾何意義為可行域內動點與定點連線的斜率． ∵，，∴的取值范圍是． 15．某紡紗廠生產甲、乙兩種棉紗，已知生產甲種棉紗噸消耗一級子棉噸、二級子棉噸，生產乙種棉紗噸消耗一級子棉噸、二級子棉噸，每噸甲種、乙種棉紗的利潤分別是元和元，工廠在生產中要求消耗一級子棉不超過噸、二級子棉不超過噸，且甲種棉紗的產量不能超過乙種棉紗的產量噸．在此條件下，生產甲、乙兩種棉紗可以獲得的最大利潤為元． 【答案】 【解析】設生產甲、乙兩種棉紗分別為噸、噸，利潤總額為元， 則有，目標函數(shù)為．作出不等式組所表示的可行域， 把變形為，其中是這條直線在軸上的截距， 當直線經過可行域上點時，截距最大，即最大． 解方程組，得的坐標為，， ∴． 16．太極圖被稱為“中華第一圖”．從孔廟大成殿梁祝，到樓觀臺、三茅宮、白外五觀的標記物；從道袍、 卦攤、中醫(yī)、氣功、武術到南韓國、新加坡空軍機徽……太極圖無不躍居其上．這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”．在如圖所示的陰陽魚圖案中，陰影部分的區(qū)域可用不等式組來表示，設是陰影部分中任意一點，則的最大值為． 【答案】 【解析】如圖，作出直線， 當直線往上平移至與陰影部分的圓的邊界相切時，最大， 此時圓心到直線的距離等于半徑， 即，解得． 21