第6講雙曲線一、選擇題1.(2017·鄭州模擬)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為()A.y±x B.y±x C.y±x D.y±2x解析因為2b2，所以b1，因為2c2，所以c，所以a，所以雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選B.答案B2.(2015·廣東卷)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析因為所求雙曲線的右焦點為F2(5，0)且離心率為e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求雙曲線方程為1，故選C.答案C3.(2017·山西省四校聯(lián)考)已知雙曲線C：1(a0，b0)，右焦點F到漸近線的距離為2，點F到原點的距離為3，則雙曲線C的離心率e為()A. B. C. D.解析右焦點F到漸近線的距離為2，F(xiàn)(c，0)到y(tǒng)x的距離為2，即2，又b0，c0，a2b2c2，b2，又點F到原點的距離為3，c3，a，離心率e.答案B4.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cos F1PF2()A. B. C. D.解析由x2y22，知ab，c2.由雙曲線定義，|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cos F1PF2.答案C5.(2017·成都調(diào)研)過雙曲線x21的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|()A. B.2 C.6 D.4解析由題意知，雙曲線x21的漸近線方程為y±x，將xc2代入得y±2，即A，B兩點的坐標分別為(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.答案D二、填空題6.(2016·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的焦距是_.解析由已知，得a27，b23，則c27310，故焦距為2c2.答案27.(2016·北京卷)雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a_.解析取B為雙曲線右焦點，如圖所示.四邊形OABC為正方形且邊長為2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.答案28.(2016·山東卷)已知雙曲線E：1(a0，b0).若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_.解析由已知得|AB|，|BC|2c，2×3×2c.又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，兩邊同除以a2得2320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去).答案2三、解答題9.(2017·安徽江南十校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，).(1)求雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·0.(1)解e，可設(shè)雙曲線的方程為x2y2(0).雙曲線過點(4，)，1610，即6.雙曲線的方程為x2y26.(2)證明法一由(1)可知，ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2.點M(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.法二由(1)可知，ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，(23，m)，(23，m)，·(32)×(32)m23m2，點M(3，0)在雙曲線上，9m26，即m230，·0.10.已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·2(其中O為原點)，求k的取值范圍.解(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1(a0，b0)，則a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得k2且k21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范圍為.11.過雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(O為坐標原點)，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析由雙曲線方程知右頂點為(a，0)，不妨設(shè)其中一條漸近線方程為yx，因此可得點A的坐標為(a，b).設(shè)右焦點為F(c，0)，由已知可知c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，又c2a2b2，則c2a，即a2，所以b2c2a2422212.故雙曲線的方程為1，故選A.答案A12.若雙曲線1(a0，b0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標原點)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.解析由條件，得|OP|22ab，又P為雙曲線上一點，從而|OP|a，2aba2，2ba，又c2a2b2a2a2，e.答案C13.(2016·浙江卷)設(shè)雙曲線x21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_.解析如圖，由已知可得a1，b，c2，從而|F1F2|4，由對稱性不妨設(shè)點P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實際意義需滿足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.答案(2，8)14.已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點到漸近線的距離為.(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點，A，B兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求AOB的面積.解(1)依題意得解得故雙曲線的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y±2x，設(shè)A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0，由得點P的坐標為.將點P的坐標代入x21，整理得mn1.設(shè)AOB2，tan2，則tan ，從而sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn2.7