第1節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)分類按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.按終邊位置不同分為象限角和軸線角.(3)終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S=|=+k·360°,kZ.2.弧度制(1)定義:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,用符號 rad表示,讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負角的弧度數(shù)是一個負數(shù),零角的弧度數(shù)是0.(2)角的弧度數(shù)公式:在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對的圓心角為 rad,則|=lr.(3)角度制和弧度制的互化:180°= rad,1°=180 rad0.017 45 rad,1 rad=(180)°57.30°=57°18.(4)扇形的弧長公式:l=|·r,扇形的面積公式:S=12lr=12|·r2.3.任意角的三角函數(shù)(1)定義設(shè)是一個任意角,R,它的終邊OP與單位圓交于點P(x,y),那么sin =y,cos =x,tan =yx(x0).(2)三角函數(shù)值的符號規(guī)律三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x,y)是角終邊上異于原點O的任一點,其到原點O的距離為r,則sin =yr,cos =xr,tan =yx(x0).1.扇環(huán)的面積公式S=12(l+l)(r-r).其中l(wèi),l是扇環(huán)的兩條弧長,r,r是兩條弧所在圓的半徑,且r>r.2.面積(周長)一定的扇形,周長最小(面積最大)時,扇形的弧長l與半徑r滿足l=2r,即扇形圓心角等于2 rad.3.若角(0,2),則sin <<tan .1.(必修第一冊P171練習(xí)T3改編)角-860°的終邊所在的象限是(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:-860°=-2×360°-140°,-860°和-140°的終邊相同,故-860°的終邊在第三象限.故選C.2.下列與94的終邊相同的角的表達式中正確的是(C)A.2k-45°(kZ)B.k·360°+94(kZ)C.k·360°-315°(kZ)D.k+54(kZ)解析:與94的終邊相同的角可以寫成2k+94(kZ),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有C正確.故選C.3.若角同時滿足sin <0且tan <0,則角的終邊一定落在(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:由sin <0,可知的終邊可能位于第三或第四象限,也可能與y軸的非正半軸重合;由tan <0,可知的終邊可能位于第二或第四象限.故的終邊只能位于第四象限.故選D.4.已知角的終邊與單位圓的交點為M(12,y),則sin 等于(B)A.32B.±32C.22D.±22解析:由題意知r2=(12)2+y2=1,所以y=±32.由三角函數(shù)的定義知sin =y=±32.故選B.5.角-225°=弧度,這個角在第象限. 答案:-54二6.已知半徑為120 mm的圓上,有一條弧長是144 mm,則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為 rad. 解析:由題意知=lr=144120 rad=1.2 rad.答案:1.2 象限角及終邊相同的角1.若角是第二象限角,則2是(C)A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角解析:因為是第二象限角,所以2+2k<<+2k,kZ,所以4+k<2<2+k,kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時,2是第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時,2是第三象限角.綜上,2是第一或第三象限角.故選C.2.-2 021°角是第象限角,與-2 021°角終邊相同的最小正角是,最大負角是. 解析:因為-2 021°=-6×360°+139°,所以-2 021°角的終邊與139°角的終邊相同.所以-2 021°角是第二象限角,與-2 021°角終邊相同的最小正角是139°.又139°-360°=-221°,故與-2 021°角終邊相同的最大負角是-221°.答案:二139°-221°3.終邊在直線y=3x上,且在-2,2)內(nèi)的角的集合為. 解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y=3x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是3,在0,2)內(nèi),終邊在直線y=3x上的角有兩個:3,43;在-2,0)內(nèi)滿足條件的角有兩個:-23,-53,故滿足條件的角構(gòu)成的集合為(53,-23,3,43).答案:(-53,-23,3,43)4.已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角的集合用弧度制可表示為. 解析:在0,2)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為(4,56),所以所求角的集合為2k+4<<2k+56,kZ.答案:2k+4<<2k+56,kZ1.象限角的判定有兩種方法:(1)圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中,作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.(2)轉(zhuǎn)化法:先將已知角化為k·360°+(0°<360°,kZ)的形式,即找出與已知角終邊相同的角,再由角終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.2.由所在象限判定2所在象限,應(yīng)先確定2的范圍,并對整數(shù)k的奇、偶情況進行討論.3.表示區(qū)間角的三個步驟:(1)先按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°360°范圍內(nèi)的角和,寫出最簡區(qū)間.(3)起始、終止邊界對應(yīng)角,再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合. 弧長公式與扇形的弧長和面積公式 已知一扇形的圓心角為,半徑為R,弧長為l.若=3,R=10 cm,求扇形的面積.解:由已知得=3,R=10,所以S扇形=12·R2=12·3·102=503(cm2).典例遷移1 若本例條件不變,求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.解:l=·R=3×10=103(cm),S弓形=S扇形-S三角形=12·l·R-12·R2·sin 3=12·103·10-12·102·32=50-7533(cm2).典例遷移2 若本例條件改為:“若扇形周長為20 cm”,當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時,這個扇形的面積最大?解:由已知得,l+2R=20,即l=20-2R(0<R<10).所以S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以當(dāng)R=5 cm時,S取得最大值25 cm2,此時l=10 cm,=2 rad.1.應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度;(2)求扇形面積最大值的問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決.2.求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量. 三角函數(shù)定義三角函數(shù)定義的應(yīng)用 已知角的終邊過點P(-8m,-6sin 30°),且cos =-45,則m的值為()A.-12B.12C.-32D.32解析:因為r=64m2+9,所以cos =-8m64m2+9=-45,所以m>0,所以4m264m2+9=125,即m=12.故選B.利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法(1)已知角終邊上一點P的坐標(biāo),則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo),求出此點到原點的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解.三角函數(shù)值的符號判定 (2021·山西四校聯(lián)考)已知sin 2<0,且|cos |=-cos ,則點P(tan ,sin )在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:由|cos |=-cos 可知cos 0,由sin 2=2sin cos <0可知cos <0,sin >0,所以tan <0,所以點P(tan ,sin )在第二象限.故選B.三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號與角的終邊上的點的坐標(biāo)密切相關(guān).sin 在一、二象限為正,cos 在一、四象限為正,tan 在一、三象限為正.特別地,三角函數(shù)的正負有時還要考慮坐標(biāo)軸上的角,如sin 2=1>0,cos =-1<0.針對訓(xùn)練 1.已知角的頂點與原點重合,始邊與x軸正半軸重合,若A(x,3)是角終邊上一點且cos =-1010,則x等于()A.-33B.33 C.1 D.-1解析:cos =-1010<0及A(x,3)是角終邊上一點x<0,由三角函數(shù)的定義,得xx2+9=-1010,解得x=-1.故選D.2.若sin tan <0,且costan<0,則角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由sin tan <0可知sin ,tan 異號,則為第二或第三象限角;由costan<0可知cos ,tan 異號,則為第三或第四象限角.綜上可知,為第三象限角.故選C. 若=k·180°+45°(kZ),則在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限解析:當(dāng)k=2n(nZ)時,=2n·180°+45°=n·360°+45°,為第一象限角.當(dāng)k=2n+1(nZ)時,=(2n+1)·180°+45°=n·360°+225°,為第三象限角.所以為第一或第三象限角.故選A. 已知扇形的周長是4 cm,則扇形面積最大時,扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A.2B.1C.12D.3解析:設(shè)此扇形的半徑為r,弧長為l,圓心角為,則2r+l=4,即l=4-2r(0<r<2).面積S=12rl=12r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,故當(dāng)r=1時S最大,這時l=4-2r=2.從而=lr=21=2.故選A. 在平面直角坐標(biāo)系中,若角的終邊經(jīng)過點P(sin 3,cos 3),則sin(+)等于()A.-32B.-12C.12D.32解析:易知sin 3=32,cos 3=12,則P(32,12).由三角函數(shù)的定義可得sin =12(32) 2+(12) 2=12,則sin(+)=-sin =-12.故選B.如圖所示,質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動,其初始位置為P0(2,-2),角速度為1,那么點P到x軸的距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為()解析:因為P0(2,-2),所以P0Ox=-4.按逆時針轉(zhuǎn)時間t后,得POx=t-4.由三角函數(shù)的定義知,點P的縱坐標(biāo)為2sin(t-4),因此d=2|sin(t-4)|.令t=0,則d=2|sin(-4)|=2,當(dāng)t=4時,d=0.故選C. 已知2弧度的圓心角所對的弦長為1,那么這個圓心角所對的弧長是. 解析:如圖所示,設(shè)半徑為R,則12R=sin 1,所以R=12sin1,弧長l=R=2R=1sin1.答案:1sin1知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練角的概念的推廣1終邊相同角的表示方法5,81215弧度制及其應(yīng)用3,711,1314三角函數(shù)的定義及應(yīng)用2,4,69,101.給出下列四個命題:-34是第四象限角;43是第三象限角; -410°是第四象限角;-300°是第一象限角.其中正確命題的個數(shù)為(C)A.1B.2C.3D.4解析:-34是第三象限角,故錯誤.43=+3,從而43是第三象限角,正確.-410°=-360°-50°,從而正確.-300°=-360°+60°,從而正確.故選C.2.已知角的終邊與單位圓的交點為P(-12,y),則sin ·tan 等于(C)A.-33 B.±33 C.-32 D.±32解析:由|OP|2=14+y2=1,得y2=34,y=±32.當(dāng)y=32時,sin =32,tan =-3,此時,sin ·tan =-32.當(dāng)y=-32時,sin =-32,tan =3,此時,sin ·tan =-32.故選C.3.已知圓上的一段弧長等于該圓內(nèi)接正方形的邊長,則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)為(C)A.24B.22C.2D.22解析:設(shè)圓的半徑為r,則該圓內(nèi)接正方形的邊長為2r,即這段圓弧長為2r,則該圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為2rr=2.故選C.4.已知點M在角終邊的反向延長線上,且|OM|=2,則點M的坐標(biāo)為(C)A.(2cos ,2sin )B.(-2cos ,2sin )C.(-2cos ,-2sin )D.(2cos ,-2sin )解析:由題意知,M的坐標(biāo)為(2cos(+),2sin(+),即(-2cos ,-2sin ).故選C.5.在(0,2)內(nèi),使sin x>cos x成立的x的取值范圍為(D)A.( 4,2)(,54)B.( 4,)C.( 4,)(54,32)D.( 4,54)解析:如圖所示,找出在(0,2)內(nèi),使sin x=cos x成立的x的值,sin 4=cos 4=22,sin 54=cos 54=-22.滿足題中條件的角x(4,54).故選D.6.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角以O(shè)x為始邊,終邊經(jīng)過點P(-1,m)(m>0),則下列各式的值一定為負的是(CD)A.sin +cos B.sin -cos C.sin cos D.sintan解析:由已知得r=|OP|=m2+1,則sin =mm2+1>0,cos =-1m2+1<0,tan =-m<0,所以sin +cos 的符號不確定,sin -cos >0,sin cos <0,sintan=cos <0.故選CD.7.已知扇形的圓心角為6,面積為3,則扇形的弧長等于. 解析:設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則lr=6,12lr=3,解得l=3,r=2.答案:38.若=1 560°,角與角終邊相同,且-360°<<360°,則=. 解析:因為=1 560°=4×360°+120°,所以與終邊相同的角為360°×k+120°,kZ,令k=-1或k=0,可得=-240°或=120°.答案:120°或-240°9.ABC為銳角三角形,若角的終邊過點P(sin A-cos B,cos A-sin C),則sin|sin|+cos|cos|+tan|tan|的值為(B)A.1B.-1C.3D.-3解析:由ABC為銳角三角形,可知A+B>2,即A>2-B,又A,B(0,2),所以sin A>cos B,所以sin A-cos B>0,同理cos A-sin C<0,所以為第四象限角,所以sin <0,cos >0,tan <0,所以sin|sin|+cos|cos|+tan|tan|=-1+1-1=-1.故選B.10.頂點在原點,始邊在x軸的正半軸上的角,的終邊與單位圓交于A,B兩點,若=30°,=60°,則弦AB的長為. 解析:由三角函數(shù)的定義得A(cos 30°,sin 30°),B(cos 60°,sin 60°),即A(32,12),B(12,32).所以|AB|=(12-32) 2+(32-12) 2=2×(32-12)=6-22.答案:6-2211.若兩個圓心角相同的扇形的面積之比為14,則這兩個扇形的周長之比為. 解析:設(shè)兩個扇形的圓心角的弧度數(shù)為,半徑分別為r,R(其中r<R),則12r212R2=14,所以rR=12,兩個扇形的周長之比為2r+r2R+R=12.答案:1212.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin =13,則sin =. 解析:由已知可得,sin =sin(2k+-)=sin(-)=sin =13(kZ).答案:1313.分別以邊長為1的正方形ABCD的頂點B,C為圓心,1為半徑作圓弧AC,BD交于點E,則曲邊三角形ABE的周長為. 解析:如圖,連接BE,EC.因為兩圓半徑都是1,正方形邊長也是1,所以BCE為正三角形,圓心角EBC,ECB都是3,lBE=3×1=3,EBA=2-3=6,lAE=6×1=6,所以曲邊三角形ABE的周長是1+3+6=1+2.答案:1+214.已知圓O與直線l相切于點A,點P,Q同時從A點出發(fā),P沿著直線l向右,Q沿著圓周按逆時針以相同的速度運動,當(dāng)Q運動到點A時,點P也停止運動,連接OQ,OP(如圖),則陰影部分面積S1,S2的大小關(guān)系是. 解析:因為直線l與圓O相切,所以O(shè)AAP,設(shè)AQ的長為l,所以S扇形AOQ=12·l·r=12·l·OA,SAOP=12·OA·AP,因為l=AP,所以S扇形AOQ=SAOP,即S扇形AOQ-S扇形AOB=SAOP-S扇形AOB,所以S1=S2.答案:S1=S215.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個單位圓(半徑為1的圓)上爬動,若兩只螞蟻均從點A(1,0)同時逆時針勻速爬動,若紅螞蟻每秒爬過角,黑螞蟻每秒爬過角(其中0°<<<180°), 如果兩只螞蟻都在第14秒時回到A點,并且在第2秒時均位于第二象限,則=,=. 解析:根據(jù)題意可知14,14均為360°的整數(shù)倍,故可設(shè)14=m·360°,mZ,14=n·360°,nZ, 從而可知=m7·180°,=n7·180°,m,nZ.又由兩只螞蟻在第2秒時均位于第二象限,則2,2在第二象限.又0°<<<180°,從而可得0° <2<2<360°,因此2,2均為鈍角,即90° <2<2<180°.于是45°<<90°,45°<<90°.所以45°<m7·180°<90°,45°<n7·180°<90° ,即74<m<72,74<n<72.又因為<,所以m<n,從而可得m=2,n=3.即=360°7,=540°7.答案:360°7540°7